王世鐸

(山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，山東 濟(jì)寧 312400)

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求解復(fù)數(shù)問題的思維策略

王世鐸

(山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，山東 濟(jì)寧 312400)

本文就復(fù)數(shù)問題求解中常用的思維策略加以闡述，對(duì)提高解答復(fù)數(shù)問題的能力具有參考價(jià)值.

復(fù)數(shù)問題；思維策略；解題

一、化虛為實(shí)的思維策略

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是一種最常見的解題策略，主要運(yùn)用復(fù)數(shù)相等和模的概念，把復(fù)數(shù)問題“實(shí)數(shù)化”.

故所求一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以是x2-6x+10=0.

二、分類討論的思維策略

分類討論是指按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成幾個(gè)部分或幾種情況逐一求解的過程，這也是一種常見的解題策略．解題時(shí)，應(yīng)關(guān)注復(fù)數(shù)的分類，掌握一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件.

解 若α、β為實(shí)數(shù)，則Δ=4-4k≥0且|α-β|2=(α-β)2,解得k=-1.

若α、β為虛數(shù)，則Δ=4-4k<0且α,β共軛，|α-β|2=-(α-β)2，解得k=3．

綜上，k=-1或k=3．

三、整體處理的思維策略

整體處理是數(shù)學(xué)解題策略中的又一種重要的思維方法，解答復(fù)數(shù)問題，要學(xué)會(huì)從整體的角度出發(fā)去分析和求解(整體思想貫穿整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容).若遇到復(fù)數(shù)就設(shè)z=a+bi(a、b∈R)，則有時(shí)會(huì)給問題的解答帶來不必要的運(yùn)算上的困難，如能把握住復(fù)數(shù)的整體性質(zhì)，充分運(yùn)用整體思想求解，往往能收到事半功倍的效果.

例3 若虛數(shù)z滿足z3=8，則z3+z2+2z+2的值是____．

分析 若設(shè)z=a+bi(b≠0)，代入求值，過程復(fù)雜，不易求解，但運(yùn)用整體代入的思維策略則顯得簡(jiǎn)潔明快．

解 ∵z3=8,∴(z-2)(z2+2z+4)=0.

∵z是虛數(shù)，∴z≠2．

∴z2+2z+4=0，即z2+2z+2=-2．

故z3+z2+2z+2=8-2=6．

實(shí)際上例1也可以整體化處理：

四、數(shù)形結(jié)合的思維策略

由于復(fù)數(shù)既可用代數(shù)形式，也可用幾何形式表示，這使復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算都具有了幾何意義，因此復(fù)數(shù)解題時(shí)常以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，使問題的解決更加形象．

例4 復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=-2+i,z3=-1-2i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．

注：利用向量運(yùn)算法則求復(fù)數(shù)關(guān)鍵是找出所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，然后再根據(jù)幾何意義求出復(fù)數(shù)．

解法2 如圖1，設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2,z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi (x、y∈R)， ∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B、D關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，即(-2+i)+(x+yi)=0,∴x=2,y=-1． 故D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i．

點(diǎn)評(píng) 解法1的關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)問題中可能被利用的條件，尋找最佳的解題方法；解法2利用正方形是對(duì)稱圖形，數(shù)形結(jié)合.解題思路巧妙，實(shí)質(zhì)是運(yùn)用了平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)．

五、函數(shù)與方程的思維策略

例5 (2008年高考題(滬))已知z∈C,且|z-2 -2i|=1,i為虛數(shù)單位，則|z+2-2i|的最小值是____.

解 設(shè)z=x+yi(x、y∈R)，則(x-2)2+(y-2)2=1.

另外，本題考慮幾何意義也可速解：z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(2，2)為圓心，1為半徑的圓上，|z+2-2i|表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(-2，2)的距離，則|z+2-2i|的最小值是3.

例6 已知關(guān)于x的方程x2+zx+4+3i=0有實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)z的模的最小值．

解 設(shè)x∈R且x≠0，則

點(diǎn)評(píng) 虛系數(shù)方程有實(shí)根，只說明x可以取實(shí)數(shù)，而不能用判別式判斷方程是否有實(shí)根．

[1]鄭毓信.“數(shù)學(xué)文化”與數(shù)學(xué)教育[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005(10).

[2]趙菁蕾，張維忠.數(shù)學(xué)新教材中的數(shù)學(xué)文化[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006(14).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王世鐸(2000.8)，男,山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2015級(jí)實(shí)驗(yàn)班8班學(xué)生。

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