王統(tǒng)文

(重慶市墊江中學(xué)校,重慶 墊江408300)

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直線與圓位置關(guān)系類(lèi)問(wèn)題的解法

王統(tǒng)文

(重慶市墊江中學(xué)校,重慶 墊江408300)

直線與圓方程問(wèn)題求解問(wèn)題，對(duì)剛進(jìn)入解析幾何學(xué)習(xí)的初學(xué)者是較為困難的.怎樣才能順利完成解答是題他們非常關(guān)心的問(wèn)題.本文就如何挖掘條件、怎樣利用幾何知識(shí)探求解決問(wèn)題的途徑介紹幾種方法，幫助初學(xué)者樹(shù)立正確理念、掌握解題方法.

直線與圓；直線與圓的位置關(guān)系；解法

直線與圓方程的求解問(wèn)題，對(duì)剛進(jìn)入解析幾何學(xué)習(xí)的初學(xué)者是較為困難的.怎樣才能順利完成解答是他們非常關(guān)心的問(wèn)題.本文就如何挖掘條件、怎樣利用幾何知識(shí)探求解決問(wèn)題的途徑介紹幾種方法，幫助初學(xué)者樹(shù)立正確理念、掌握解題方法.

直線與圓的位置關(guān)系的判定通常有兩類(lèi)方法：一是代數(shù)法，就是將直線方程代入圓方程后得到一個(gè)一元二次方程，該方程有兩個(gè)不同實(shí)根(即根的判別式Δ>0)時(shí)直線與圓相交，該方程有兩個(gè)相同實(shí)根(即根的判別式Δ=0)時(shí)直線與圓相切，該方程無(wú)實(shí)根(即根的判別式Δ<0)時(shí)直線與圓相離；二是幾何法，就是計(jì)算出圓心到直線的距離d后，與圓半徑r比較大小，當(dāng)dr時(shí)直線與圓相離.在實(shí)際解題中，僅按照這些基本方法解決直線與圓位置關(guān)系類(lèi)問(wèn)題是有困難的.本文就如何解決直線與圓位置關(guān)系類(lèi)問(wèn)題介紹幾種方法.

一、利用直譯法判別直線與圓的位置關(guān)系

在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)常常用直譯法.直譯法就是將題設(shè)條件“翻譯”為數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，再利用相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題.這個(gè)方法同樣適合判斷直線與圓的位置關(guān)系，就是直接計(jì)算出圓心到直線的距離d，再與圓半徑r比較大小.

例1 如果點(diǎn)M(x0,y0)為圓x2+y2=a2(a>0)內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，那么直線x0x+y0y=a2與該圓的位置關(guān)系是( ).

A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交

所以直線x0x+y0y=a2與圓x2+y2=a2(a>0)相離.

A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交

所以直線與圓相交.

二、利用曲線系解決切點(diǎn)弦問(wèn)題

從圓外一點(diǎn)向圓引切線，這樣的切線有兩條，求兩條切線的方程是比較簡(jiǎn)單的.若要通過(guò)求切線方程，進(jìn)而求出兩切點(diǎn)坐標(biāo)后得到過(guò)兩切點(diǎn)的直線(通常稱為切點(diǎn)弦)方程就比較麻煩.但是，如果利用切線垂直過(guò)切點(diǎn)的半徑，從而判定圓心、兩切點(diǎn)及圓外已知點(diǎn)四點(diǎn)共圓，再利用圓系，就可求出公共弦方程完成求解.

例3 過(guò)點(diǎn)P(3，-2)引圓C：(x+1)2+(y-2)2=9的兩切線，切點(diǎn)為A、B，則直線AB的直線方程為_(kāi)___.

分析 若按常規(guī)思路求解，一般要設(shè)出切線PA、PB的直線方程y+2=k(x-3)后，利用圓心到直線的距離等于圓半徑求出切線斜率k的值，再求出切點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到直線AB的方程.這個(gè)方法運(yùn)算量較大，不宜使用.考慮到切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的垂直關(guān)系，不妨利用C、A、P、B都在以CP為直徑的圓上，從而AB是兩圓的公共弦，問(wèn)題解決就變得簡(jiǎn)單了.

解 如圖1，因?yàn)镻A⊥CA，PB⊥CB，

所以C、A、P、B都在以CP為直徑的圓上.

且線段CP的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,0),

所以圓M的方程為(x-1)2+y2=8.

所以公共弦AB的直線方程為

[(x+1)2+(y-2)2]-[(x-1)2+y2]=9-8,即4x-4y+3=0.

三、利用平面幾何知識(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)換

解析幾何法就是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法.在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)自然要利用幾何知識(shí)解決相應(yīng)問(wèn)題.

例4 到點(diǎn)A(2,3)的距離等于1的直線同時(shí)到點(diǎn)B(-1,-1)的距離為d，當(dāng)這樣的直線有4條時(shí)，則d的取值范圍是____.

分析 到點(diǎn)A距離等于1的直線就是與以A為圓心、1為半徑的圓的切線，到點(diǎn)B的距離等于d的直線是與以B為圓心、d為半徑的圓的切線.本題的4條直線就是上述兩圓的公切線，所以兩圓相離.

解 由題設(shè)知|AB|>d+1，即5>d+1，所以0

例5 圓C：(x-1)2+(y-2)2=2上至少有3點(diǎn)到直線l:x+y+m=0的距離1，則m的取值范圍是____.

分析 到直線距離相等的兩個(gè)點(diǎn)有兩種情況，一是過(guò)這兩點(diǎn)的直線與已知直線平行，二是已知直線過(guò)這兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn).當(dāng)圓上至少有三點(diǎn)到直線l距離等于1時(shí)，三點(diǎn)中必有兩點(diǎn)在直線l的靠近圓心的同側(cè)，過(guò)這兩點(diǎn)的直線l1與已知直線l平行且距離為1，另外的點(diǎn)在直線l的另一側(cè)且與l平行距離也等于1的直線l2上(如圖2).從而圓心C到l1的距離小于半徑，到l2的距離不大于半徑.由此可求出參數(shù)范圍.

解 圓C：(x-1)2+(y-2)2=2的圓心C(1,2)到直線l:x+y+m=0的距離d為

當(dāng)圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線l:x+y+m=0的距離等于1時(shí),

四、利用解三角形法解決有關(guān)圓的問(wèn)題

涉及三角形問(wèn)題時(shí)，要聯(lián)系三角形的解法，利用邊角關(guān)系、正弦定理、余弦定理等尋找解題方法.同時(shí)，要分析問(wèn)題涉及的元素特征，選擇適當(dāng)?shù)娜切瓮瓿山獯?

例6 直線與圓C：(x-1)2+(y-2)2=2相交于A、B兩點(diǎn)，則正三角形ABP的頂點(diǎn)P到圓心C的最大距離是____.

五、利用對(duì)稱性求解直線與圓方程問(wèn)題

有些試題題設(shè)條件給出的有用信息較為隱蔽，如果不能挖掘這些隱藏的對(duì)解題有用的信息就很難完成試題解答.對(duì)稱性就是容易隱藏的信息，如角的兩邊關(guān)于角平分線對(duì)稱、入射線與反射線所在直線關(guān)于反射直線對(duì)稱等，解題時(shí)需重視.

例7 已知△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,4)，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線所在直線的方程分別為x-y=0,5x-y-10=0，求邊BC所在直線的方程.

分析 關(guān)于直線BC現(xiàn)有的已知條件很隱蔽，斜率、截距、直線上的點(diǎn)坐標(biāo)都不是已知，要求BC的方程好像無(wú)從下手.但是，如果對(duì)角平分線有較深刻的認(rèn)識(shí)，知道角的兩邊關(guān)于角平分線對(duì)稱，求出點(diǎn)A關(guān)于角平分線x-y=0,5x-y-13=0的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2(如圖4)的坐標(biāo)，即可求出直線BC的方程.

利用關(guān)于直線對(duì)稱解答試題時(shí)，抓住兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直，連線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上是關(guān)鍵.

利用對(duì)稱性，還可以解決一些最值問(wèn)題.

[1]王統(tǒng)文.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)探討[J].教育，2016(11)：06.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王統(tǒng)文(1962.8-)，男，漢族，重慶市墊江縣人，中學(xué)高級(jí)教師，從事解題方法研究.

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