岳茂富

(山東省寧陽縣第二實驗中學(xué),山東 泰安 271400)

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例談求參問題的解題策略

岳茂富

(山東省寧陽縣第二實驗中學(xué),山東 泰安 271400)

函數(shù)中的求參問題是高中階段一種重要題型，本文提供了四種求參方法，旨在培養(yǎng)學(xué)生通過對題目信息的分析以期在第一時間內(nèi)選擇恰當?shù)慕忸}方法的能力.

求參;分離;討論;特值;放縮;能力;反思;數(shù)學(xué)思維

波利亞說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練.”而解題方法的優(yōu)劣關(guān)乎解題效率.對于同一類型的題目，因方法選擇的不同，會使解題過程的繁簡程度大不一樣，思維量也有很大的不同.求參數(shù)的取值范圍一直以來為高考命題者所鐘愛，此種題目的解題方法也逐漸由單一走向多姿多彩.筆者結(jié)合近幾年求參數(shù)范圍題目的變化歸納了以下幾種方法，方便大家在做此類題目時根據(jù)題目特點進行恰當選擇.

一、分離參數(shù)法

分離參數(shù)法是最基本也是最常用的求參數(shù)范圍的方法，大體分兩步，一是分離，二是求函數(shù)值域.

例1 (2013年新課標Ⅰ卷理21)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(Ⅰ)求a，b，c，d的值;

(Ⅱ)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

解析 (Ⅰ)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.

而f′(x)=2x+b，g′(x)=ex(cx+d+c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2.

(Ⅱ)當x≥-2時，x2+4x+2≤2kex(x+1)

①當x=-1時，-1≤0恒成立，所以k∈R.

綜上所述，k的取值范圍是[1,e2].

二、討論求參

自導(dǎo)數(shù)進入高中教材以來，在解答題中求參數(shù)取值范圍的方法不再單調(diào)，其中計算函數(shù)導(dǎo)數(shù)后分類討論求參數(shù)的范圍在每年高考題目中都有所涉及.這種題目若采用分離參數(shù)法，在求函數(shù)值域的時候會遇到瓶頸，這時往往要求導(dǎo)后通過討論參數(shù)的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的零點尋找滿足題意的參數(shù)范圍.

例2 (2014新課標Ⅱ卷理21)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0,求b的最大值；(Ⅲ)略.

解析 (Ⅰ)略；

(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)，顯然g(0)=0，g′(x)=2(e2x+e-2x-2)-4b(ex+e-x-2)=2(ex-e-x)2-4b(ex/2-e-x/2)2=2(ex/2+e-x/2)2(ex/2-e-x/2)2-4b(ex/2-e-x/2)2=2(ex/2-e-x/2)2[(ex/2+e-x/2)2-2b]，

因為x>0，所以ex/2+e-x/2>2，(ex/2+e-x/2)2>4，

當2b≤4，即b≤2時，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，所以g(x)>g(0)=0，所以b≤2滿足題意.

綜上知，b≤2.

三、特值輔助求參

對于在某個區(qū)間內(nèi)的不等式恒成立求參問題，可以根據(jù)題目特點，選取適當?shù)奶刂荡氩坏仁角蟮脜?shù)的一個范圍，而參數(shù)的準確范圍顯然是由這個特值求得的范圍的子集，但是這個范圍對于進一步求參數(shù)的準確范圍有時會起到事半功備的效果.

例3 (2012浙江名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).

(Ⅰ)若a=-1，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

四、放縮求參

若f(x)≥g(x)，求f(x)≥h(x)恒成的某參數(shù)的取值范圍，若參數(shù)的準確范圍滿足g(x)≥h(x)(這是出題背景)，這時可以通過g(x)≥h(x)求參數(shù)的范圍.此種方法在2013年遼寧高考題中出現(xiàn)，題目中第二問的解決緊緊依賴第一問所證明的結(jié)論鋪墊.

(Ⅱ)若f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析 (Ⅰ)略.

下面證明當a>-3時，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.

啟示：通過四種求參方法的分析，筆者認為解決這類題目應(yīng)注意以下幾個方面.

1.培養(yǎng)學(xué)生敏銳的數(shù)學(xué)觀察能力與過硬的運算能力

運算能力是思維能力與運算技能的結(jié)合，對高考而言，離開運算談數(shù)學(xué)題目的解題思路與解決方法是沒有意義的．一般來說，運算通暢說明解題方法選擇正確，運算受阻時往往會對解題方法有所懷疑.所以，當解題方法正確時，過硬的運算能力就成為解題的保障.

2.培養(yǎng)學(xué)生解后反思的習(xí)慣

解后反思可以加深對題目的理解，提高解題的質(zhì)量.解后反思重在反思解題切入點與解題細節(jié).解題的切入點說到底是就解題方法的選擇，決定了解題的成敗.解題細節(jié)組成了解題過程，對解題細節(jié)反思，是因為每一個解題細節(jié)都決定了解題方向.

3.培養(yǎng)學(xué)生靈活的數(shù)學(xué)思維

每一道數(shù)學(xué)題目總有適合它的最優(yōu)解法，而一種數(shù)學(xué)思想方法并不一定適用于一類題目，這就需要培養(yǎng)學(xué)生靈活的數(shù)學(xué)思維.對于一類數(shù)學(xué)題目，不能過份的依賴一種解題方法，以免形成非良性思維定勢.

[1]蘇凡文，高中數(shù)學(xué)中分離技巧的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015(08).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

岳茂富(1974.11-)，男，山東省泰安市寧陽縣人，中學(xué)一級，本科,從事中學(xué)階段的解題方法與課程改革研究.

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