呂 濤

(廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué)，廣東 佛山 528303)

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空間動點(diǎn)軌跡問題的判斷與確定

呂 濤

(廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué)，廣東 佛山 528303)

立體幾何是高考命題的重要部分，在近年的高考試題中，與立體幾何交匯的一類軌跡問題不斷涌現(xiàn)，是考生比較懼怕的一類難度較大的試題.本文力求把這些分散的問題集中起來，揭示了空間動點(diǎn)軌跡問題的本質(zhì)，對這一類問題的解法給出了一個(gè)系統(tǒng)的歸納.

空間動點(diǎn)；軌跡問題；解題策略

《中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》對學(xué)生的空間想象能力考查提出了更高要求：“能夠想象幾何圖形的運(yùn)動和變化情況”．正是這一高要求導(dǎo)致了近幾年的高考試題或模擬試題中設(shè)置了許多與立體幾何交匯的一類軌跡問題．筆者從全國高考試題和有關(guān)省市高考模擬試題中收集并歸納了這類題目，試圖從解題策略上揭示題型規(guī)律，探索解題方法.

一、通過線面位置關(guān)系確定動點(diǎn)軌跡

例1 (2016年黃岡調(diào)考題) 平面α的斜線AB交α于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動直線l與AB垂直，且交α于點(diǎn)C，則動點(diǎn)C的軌跡是( ).

A．一條直線 B．一個(gè)圓

C．一個(gè)橢圓 D．雙曲線的一支

解 過點(diǎn)A作直線AB的垂面β有且只有一個(gè)，該平面β與平面α必相交(否則AB⊥β，α∥β?AB⊥α,與AB為α的斜線矛盾)于一條直線m，則直線m即為點(diǎn)C的軌跡，故選A．

例2 (2015北京模擬題)l1、l2是兩條異面直線，在l1、l2之間有一平面α，與l1、l2都平行，且與l1、l2距離相等，求證：平面α上與l1、l2距離相等的點(diǎn)的軌跡是兩條相交直線．

分析 先將空間幾何的有關(guān)元素“集中”到平面α內(nèi)，再利用平面幾何知識即可順利求解．

解 如圖1，設(shè)MN為l1、l2的公垂線段，交平面α于點(diǎn)O．因?yàn)閘1、l2與α平行且距離相等，所以點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，且MN⊥平面α．

設(shè)P為所求軌跡上的一點(diǎn)，則P到l1、l2的距離PA、PB相等．設(shè)MA、MO確定的平面與α的交線為l3，則l3必過O點(diǎn)．在此平面內(nèi)作AA′⊥l3，則AA′⊥平面α，故PA′為PA在平面α內(nèi)的射影．由l1∥l3得AP⊥OA′，根據(jù)三垂線定理的逆定理知，PA′⊥l3．再設(shè)NB、NO確定的平面與α的交線為l4，在此平面內(nèi)作BB′⊥l4，同理可證PB′⊥l4(PB′為PB在平面α內(nèi)的射影)．∵AA′=BB′，PA=PB，∴PA′=PB′．∴P點(diǎn)的軌跡是∠A′OB′及其外角的平分線．故平面α上與l1、l2距離相等的點(diǎn)的軌跡是兩條相交直線．

點(diǎn)評 以上幾例都是通過題目中的線面位置關(guān)系得出一些容易判定的等式，從而確定動點(diǎn)的軌跡，其基本策略就是將空間問題“平面化”．

二、利用曲線的定義確定動點(diǎn)的軌跡

例4 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是( ).

A.直線 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

解 連結(jié)PC1，在正方體中，由D1C1⊥平面BCC1B1，得D1C1⊥PC1，即PC1是P到直線C1D1的距離．由題意，點(diǎn)P到直線BC與點(diǎn)C1的距離相等．故P點(diǎn)的軌跡是以C1為焦點(diǎn)，BC為準(zhǔn)線的拋物線，選D．

變式1 把“P到直線BC與直線C1D1的距離相等”變?yōu)椤癙到直線BC與直線C1D1的距離之比為2∶1”，則動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是橢圓．

變式2 把“P到直線BC與直線C1D1的距離相等”變?yōu)椤癙到直線BC與直線C1D1的距離之比為1∶2”，則動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是雙曲線．

點(diǎn)評 以上兩例先仍然是由點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系得出一些等式或不等式，再結(jié)合圓錐曲線的定義求解，它完全符合“在知識交匯點(diǎn)處命題”的高考命題原則．

三、通過建系設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程形式確定動點(diǎn)軌跡

A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.直線

點(diǎn)評 對于復(fù)雜一些的空間圖形中點(diǎn)的軌跡問題可先將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面內(nèi)，再建立平面直角坐標(biāo)系，利用解析幾何或代數(shù)的方法求出軌跡方程進(jìn)行判斷解決．

四、利用向量的方法確定動點(diǎn)軌跡

例7 (2016年深圳模擬)一定長線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別沿互相垂直的兩條異面直線l、m運(yùn)動，求它的中點(diǎn)的軌跡．

解 如圖7，設(shè)MN為l、m的公垂線段，連結(jié)AN，則AM⊥MN，NB⊥MN．分別記MN、AB的中點(diǎn)為O、P，AB=a，MN=b，

∴P點(diǎn)必在MN的垂直平分面上．

[1]王勇. 探求空間圖形中的軌跡問題[J].考試(高考數(shù)學(xué)版) ,2007(2).

[2]唐永,徐秀. 聚焦“正方體”中的軌跡[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué),2005(07).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

呂濤(1977.10-),男，湖北當(dāng)陽，大學(xué)本科，中學(xué)一級教師,從事高考研究.

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