張 卜

(陜西省西安市周至縣第二中學(xué),陜西 西安 710400)

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一道競(jìng)賽題的多種證法

張 卜

(陜西省西安市周至縣第二中學(xué),陜西 西安 710400)

通過對(duì)1963年莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一道經(jīng)典不等式的研究，探究出它的多種證法.

不等式;證明;競(jìng)賽題

題目 設(shè)a,b,c∈R+求證：

這是1963年莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一道題，考查的是不等式最值問題，其靈活性強(qiáng)、難度大.筆者從不同角度來探究該題的證法.

證明1 柯西不等式法

證明2 排序不等式法

由對(duì)稱性，這里不妨設(shè)a≥b≥c>0，

再由排序不等式知，順序和≥亂序和，

證明3 換元法

令x=b+c，y=c+a，z=a+b，可求解出

證明4 均值不等式法

證明5 構(gòu)造函數(shù)法

證明6 放縮法

由上式左端可以看出，三個(gè)分式的分子之和等于0，所以，在不增大各個(gè)分?jǐn)?shù)值的前提下，可將它們的分母變?yōu)橄嗟? 這里假設(shè)a≥b≥c，則有a≥1，c≤1.

(Ⅱ)若a≥1≥b≥c，則將上述不等式左端的三個(gè)分式的分母換為3-b，即保證其中一個(gè)負(fù)分?jǐn)?shù)值不變，另一個(gè)負(fù)分?jǐn)?shù)值只可能減小，正分?jǐn)?shù)值不增大，可得

證明7 向量法

以上三式相加即證.

證明8 切線法

不等式等號(hào)成立的條件是a=b=c=1，

以上三式相加即證.

通過對(duì)一道競(jìng)賽題的多視角分析，開拓和啟發(fā)解題思維能力和發(fā)散思維能力.根據(jù)不同的問題角度，逐一給出數(shù)學(xué)思想方法，不斷地優(yōu)化數(shù)學(xué)思維能力，使知識(shí)和方法融化貫通，提高自身的分析問題能力和解決問題的能力.

[1]許波.一道不等式證明題的多種解法[J].中等職業(yè)教育(理論)，2008(4).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

張卜(1987.4-),陜西省西安市高陵區(qū),碩士,中學(xué)二級(jí),從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

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