李敏

摘 要：人工智能是20世紀(jì)三大科學(xué)技術(shù)成就之一，數(shù)學(xué)是其關(guān)鍵的理論基礎(chǔ)，使其成為了一門規(guī)范的科學(xué)。以人工智能的萌芽期、誕生期、發(fā)展期為視角，介紹了人工智能典型數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——布爾邏輯、概率論、可計算理論、模糊集理論、粗糙集理論、混沌與分形、核函數(shù)和主曲線、云模型、貝葉斯網(wǎng)等的發(fā)展簡史，并對人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)展趨勢做了展望。

關(guān)鍵詞：人工智能；概率論；可計算理論；不確定性推理

中圖分類號：TP39；TM74 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：2095-1302（2017）07-00-04

0 引 言

人工智能、空間技術(shù)和原子能技術(shù)被稱為20世紀(jì)的三大科學(xué)技術(shù)成就，人工智能的研究開展是智能機器人技術(shù)、信息技術(shù)、自動化技術(shù)以及探索人類自身智能奧秘的需要[1]?？茖W(xué)界有一個共識，即智能化是管理、自動化、計算機以及通信等技術(shù)領(lǐng)域的新方法、新技術(shù)、新產(chǎn)品的重要發(fā)展方向。人工智能是由數(shù)學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)、語言學(xué)、信息論、控制論、計算機科學(xué)等多學(xué)科相互滲透而發(fā)展起來的綜合性新學(xué)科[2]。數(shù)學(xué)使人工智能成為一門規(guī)范的科學(xué)，是人工智能發(fā)展必不可少的基礎(chǔ)，在人工智能的各個發(fā)展階段都起著關(guān)鍵的作用。目前，關(guān)于人工智能數(shù)學(xué)發(fā)展史的研究綜述還很少。本文以人工智能發(fā)展的三個階段——萌芽期、誕生期、發(fā)展期為視角，介紹了人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)展史，并對其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展趨勢進行了展望。

1 人工智能萌芽期的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1956年以前被稱為人工智能的萌芽期，在這個期間，布爾邏輯、概率論、可計算理論取得了長足的發(fā)展。布爾邏輯是英國數(shù)學(xué)家George Boole于19世紀(jì)中葉提出，典型的一元算符叫做邏輯非（NOT），基本的二元算符為邏輯或（OR）和邏輯與（AND），衍生的二元算符為邏輯異或（XOR）[3]。在Boole邏輯的基礎(chǔ)上，F(xiàn)rege發(fā)展出了一階邏輯，研究了命題及由這些命題和量詞、連接詞組成的更復(fù)雜的命題之間的推理關(guān)系與推理規(guī)則[4]，從而出現(xiàn)了謂詞演算。這就奠定了人工智能抽取合理結(jié)論的形式化規(guī)則——命題邏輯和一階謂詞邏輯。

人工智能要解決各種不確定問題如天氣預(yù)測、經(jīng)濟形勢預(yù)測、自然語言理解等，這需要數(shù)學(xué)為其提供不確定推理的基礎(chǔ)，概率理論則是實現(xiàn)不確定推理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。概率理論源于17世紀(jì)，有數(shù)百年的發(fā)展。瑞士數(shù)學(xué)家Jacob Bernoulli證明了伯努力大數(shù)定理，從理論上支持了頻率的穩(wěn)定性；P.S.Laplace和J.W.Lindeberg證明了中心極限定理；20世紀(jì)初，俄國數(shù)學(xué)家A.N.Kolmogrov逐步建立了概率的公理化體系；K.Pearson將標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)曲線、平均變差、均方根誤差等統(tǒng)計方法用于生物統(tǒng)計研究，為概率論在自然科學(xué)中的應(yīng)用做出了卓越的貢獻；R.Brown發(fā)現(xiàn)了布朗運動，維納提出了布朗運動的數(shù)學(xué)模型，奠定了隨機過程的基礎(chǔ)；A.K.Erlang提出了泊松過程，成為排隊論的開創(chuàng)者[5]。概率論、隨機過程、數(shù)理統(tǒng)計構(gòu)成了概率理論，為人工智能處理各種不確定問題奠定了基礎(chǔ)。

支持向量機是人工智能的主要分類方法之一，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為核函數(shù)。1909年，英國學(xué)者James Mercer用Mercer定理證明了核函數(shù)的存在[6]?？捎嬎憷碚撌侨斯ぶ悄艿闹匾碚摶A(chǔ)和工具，建立于20世紀(jì)30年代。為了回答是否存在不可判定的問題，數(shù)理邏輯學(xué)家提出了關(guān)于算法的定義（把一般數(shù)學(xué)推理形式化為邏輯演繹）?？梢员挥嬎?，就是要找到一個解決問題的算法[7]。1900年，David Hilber提出了著名的“23個問題”，其最后一個問題：是否存在一個算法可以判定任何涉及自然數(shù)的邏輯命題的真實性。1931， Kurt Godel證明了這一問題，確實存在真實的局限——整數(shù)的某些函數(shù)無法用算法表示，即不可計算。在不可計算性以外，如果解決一個問題需要的計算時間隨著實例規(guī)模呈指數(shù)級增長，則該問題被稱為不可操作的，對這個問題的研究產(chǎn)生了計算復(fù)雜性。計算復(fù)雜性是討論P=NP的問題，這個問題到現(xiàn)在都是計算機科學(xué)中最大的未解決問題之一[8]。關(guān)于P與NP問題有很多定義，較為典型的一種定義是在確定圖靈機（人工智能之父——英國數(shù)學(xué)家圖靈1937年提出的一種機器計算模型，包括存儲器、表示語言、掃描、計算意向和執(zhí)行下一步計算）上能用多項式求解的問題是P問題，在非確定圖靈機上能用多項式求解的問題是NP問題[9]?？捎嬎阈院陀嬎銖?fù)雜性為人工智能判斷問題求解可能性奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2 人工智能誕生期的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1956年，麥卡錫、明斯基、香農(nóng)和羅切斯特等學(xué)者召開了達特莫斯會議，該會議集聚了數(shù)學(xué)、心理學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)、信息論和電腦科學(xué)等研究領(lǐng)域的年輕精英。該會議歷時兩個月，學(xué)者們在充分討論的基礎(chǔ)上，首次將人工智能作為一門新學(xué)科提出來。1956年至1961年被稱為人工智能的誕生期?；煦缡侨斯ぶ悄懿淮_定推理的新的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，最早來源于物理學(xué)科的研究。學(xué)術(shù)界認(rèn)為，第一位發(fā)展混沌現(xiàn)象的學(xué)者是法國數(shù)學(xué)家物理學(xué)家龐加萊，他發(fā)現(xiàn)了天體動力學(xué)方程的某些解的不可預(yù)見性，即動力學(xué)混沌現(xiàn)象。以科爾莫戈夫、阿諾德和莫澤三個人命名的KAM定理被認(rèn)為是創(chuàng)建混沌理論的標(biāo)志[10]。在概率論的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了條件概率及貝葉斯定理，奠定了大多數(shù)人工智能系統(tǒng)中不確定推理的現(xiàn)代方法基礎(chǔ)[5]。

3 人工智能發(fā)展期的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1961年之后，被稱為是人工智能的發(fā)展期。在這期間，人工智能在機器證明、專家系統(tǒng)、第五代計算機、模式識別、人腦復(fù)制、人腦與電腦連接以及生物智能等領(lǐng)域取得了很多理論和實踐成果。所有的成果都離不開數(shù)學(xué)知識的支撐，人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在這個時期也取得了長足的發(fā)展。

混沌與分形為人工智能的不確定推理打開了新的思路，在人工智能的發(fā)展期，混沌與分形完成了理論的發(fā)展和應(yīng)用研究的開展。1963年，美國氣象學(xué)家E.N.Lorenz在研究耗散系統(tǒng)時首先發(fā)現(xiàn)了混沌運動，在他當(dāng)年發(fā)表的論文“確定性非周期流”中解釋了混沌運動的基本特征，介紹了洛倫茲吸引子和計算機數(shù)值模擬研究混沌的方法；1971年，法國的D.Ruelle和荷蘭的F.Takens首次用混沌研究湍流，發(fā)現(xiàn)了一類特別復(fù)雜的新型混沌吸引子；1975年，華人學(xué)者李天巖和導(dǎo)師J.Yorke對混沌的數(shù)學(xué)特征進行了研究，標(biāo)志著混沌理論的基本形成；1979年，E.N.Lorenz在美國科學(xué)促進會的一次演講中提出了著名的“蝴蝶效應(yīng)”，使得混沌學(xué)令人著迷、令人激動，激勵著越來越多的學(xué)者參與到混沌學(xué)的理論和應(yīng)用研究中來。1989年，R.L.Devney 給出了混沌的數(shù)學(xué)定義：設(shè)X是一個度量空間，f是一個連續(xù)映射，如果f滿足以下三個條件則稱為X上的混沌。

（1）f是拓撲傳遞的；

（2）f的周期點在X中稠密；

（3）f對初始條件敏感。

混沌理論在復(fù)雜問題優(yōu)化、聯(lián)想記憶和圖像處理、模式識別、網(wǎng)絡(luò)通信等諸多領(lǐng)域都有成功的運用。Yamada T 將混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于TSP問題優(yōu)化中，結(jié)果混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出強大的優(yōu)化性能[11]?；煦缋碚撛诼?lián)想記憶的應(yīng)用上顯示出優(yōu)越的性能，可應(yīng)用于信息存儲、信息檢索、聯(lián)想記憶、圖像識別等方面[12]。模式識別是人工智能的主要研究問題之一，混沌學(xué)在此領(lǐng)域也有成功的應(yīng)用，Kyung Rung[13]將混沌回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于朝鮮口語數(shù)字和單音節(jié)語音識別，與常規(guī)的回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，新方法的效果更佳。李緒[14]等將混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用于手寫體數(shù)字識別和簡單圖像識別，實驗顯示，混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對手寫體識別正確率和可靠度高達90%以上。

1967年，法國數(shù)學(xué)家B.B.Mandel brot 提出了分形學(xué)的里程碑問題——英國海岸線有多長？成為人類研究分形幾何的開端[15]，分形理論是對歐氏幾何相關(guān)理論的拓展和延伸。1968年，Madndelbrot 和Ness提出了分形布朗運動，并給出了離散分形布朗隨機場的定義[16]。Peleg S于1984年提出了雙毯覆蓋模型[17]，這是對Mandel brot在估計英國海岸線長度時的一種推廣?；诜中蔚睦碚摵退枷?，人們抽象出一種方法論——分形方法論[17]，該理論在人工智能領(lǐng)域的典型應(yīng)用是用于網(wǎng)絡(luò)流量分析。1993年以來，陸續(xù)有許多這方面的研究成果出現(xiàn)。通過對局域網(wǎng)高分辨率的測量分析，leland[18]發(fā)現(xiàn)以太網(wǎng)流量表現(xiàn)出自相似的分形性質(zhì)。進一步深入研究發(fā)現(xiàn)，在較小的時間尺度上，網(wǎng)絡(luò)流量體現(xiàn)出更復(fù)雜的變化規(guī)律，由此出現(xiàn)了多重分形的概念[19]。分形理論用于實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)流量智能分析，已經(jīng)有很多成功的案例，如TCP流量的擁塞控制[20]，Internet 流量建模[21]。陸錦軍等還提出了網(wǎng)絡(luò)行為的概念[22]，用于研究大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上觀測到的尺度行為。

扎德對不確定性就是隨機性這一長期以來的觀點提出了挑戰(zhàn)，認(rèn)為有一類不確定性問題無法用概率論解決。1965年發(fā)表了論文Fuzzy Sets，創(chuàng)立了模糊集合論[23]。除了傳統(tǒng)的屬于或不屬于一個集合之外，模糊集認(rèn)為集合之間還有某種程度隸屬于的關(guān)系，屬于的程度用[0，1]之間的數(shù)值表示，該數(shù)值稱為隸屬度。隸屬度函數(shù)的確定方法大致有6種形態(tài)，包括正態(tài)（鐘形）隸屬度函數(shù)、嶺形隸屬函數(shù)、柯西隸屬函數(shù)、凸凹型隸屬函數(shù)、隸屬函數(shù)以及線性隸屬函數(shù)[24]。1978年，在模糊集的基礎(chǔ)上，扎德提出了可能性理論，將不確定理解為與概率不同的“可能性”，與之對應(yīng)的可能性測度也是一種集合賦值方法[25]。聚類在人工智能領(lǐng)域有大量應(yīng)用，是模糊集研究的較早的一個方向[26]。模糊集理論在人工智能領(lǐng)域的典型應(yīng)用還有數(shù)據(jù)選擇[27]、屬性范化[28]、數(shù)據(jù)總結(jié)等[29]。

離開了隸屬度或隸屬函數(shù)的先驗信息，模糊集合運算難以進行，粗糙集理論研究了用不確定本身提供的信息來研究不確定性。上世紀(jì)80年代初，粗糙集的奠基人波蘭科學(xué)家Pawlak[30]基于邊界區(qū)域的思想提出了粗糙集的概念并給出了相應(yīng)的定義。粗糙集從知識分類入手，研究在保持分類能力不變的情況下，經(jīng)過知識約簡，推出概念的分類規(guī)則，最后獲得規(guī)則知識。粗糙集隸屬度函數(shù)的定義有多種形式，典型的是Yao Y Y在1998年用三值邏輯進行的定義[31]。粗糙集理論的核心基礎(chǔ)是從近似空間導(dǎo)出上下近似算子，典型的構(gòu)造方法是公理化方法。1994年，Lin T Y最早提出用公理化方法研究粗糙集[32]，之后不少學(xué)者對公理化方法進行了完善和改進。粗糙集在人工智能領(lǐng)域的應(yīng)用主要體現(xiàn)在知識獲取[33]，知識的不確定性度量[34]和智能化數(shù)據(jù)挖掘[35]等方面。

傳統(tǒng)的模糊數(shù)學(xué)存在隸屬度、可能測度與概率區(qū)分不是絕對分明的問題，目前，已經(jīng)無法滿足很多領(lǐng)域?qū)Σ淮_定推理的需要。在發(fā)現(xiàn)狀態(tài)空間理論以及云與語言原子模型后，1993年，李德毅院士在其文獻《隸屬云和語言原子模型》[36]中首次提出了云的概念，并逐步建立了云模型。云模型通過3個數(shù)字特征，即期望Ex，熵En和超熵He實現(xiàn)定性概念到定量數(shù)據(jù)間的轉(zhuǎn)化，并以云圖的方式表現(xiàn)出來，比傳統(tǒng)的模糊概念更直觀具體。1995年，李德毅等人在其文獻隸屬云發(fā)生器中系統(tǒng)化的提出了云的概念[37]。1998年，該課題組在一維云的基礎(chǔ)上進一步提出了二維云的數(shù)學(xué)模型和二維云發(fā)生器的構(gòu)成方法[38]。2001年，杜鹢提出了基于云模型的概念劃分方法——云變換[39]。2003年，李德毅課題組提出了逆向云算法[40]。2004年至2007年，該課題組進一步完善了云模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)性質(zhì)，將云模型抽象到更深層次的普適性空間。云模型在人工智能的多個領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用，包括定性知識推理與控制，數(shù)據(jù)挖掘和模式識別。如1999年，李德毅將云模型用于倒立擺的控制[41]；2002年，張光衛(wèi)建立了基于云模型的對等網(wǎng)信任模型[42]；2001年，岳訓(xùn)等人將云模型用于Web數(shù)據(jù)挖掘[43]；2003年，田永青等人基于云模型提出了新的決策樹生成方法[44]；2009年，牟峰等人將云模型用于遺傳算法的改進[45]。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)起源于條件概率，是一種描述變量間不確定因果關(guān)系的圖形網(wǎng)絡(luò)模型，是目前人工智能，典型用于各種推理的數(shù)學(xué)工具。最初的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)時間復(fù)雜度很大，限制了其在實際工程中的應(yīng)用。1986年，PEARL提出的消息傳遞算法為貝葉斯網(wǎng)提供了一個有效算法[46]，為其進入實用領(lǐng)域奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1992年，丹麥AALBORG大學(xué)基于貝葉斯網(wǎng)開發(fā)了第一個商業(yè)軟件（HUGIN）[47]，可實現(xiàn)貝葉斯網(wǎng)的推理，使貝葉斯網(wǎng)真正進入實用階段。1997年，Koller和Pfeffer[48]將面向?qū)ο蟮乃枷胍胴惾~斯網(wǎng)，用于解決大型復(fù)雜系統(tǒng)的建模問題。將時間量引入貝葉斯網(wǎng)則形成了動態(tài)貝葉斯網(wǎng)[47]，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)提供了隨時間變化的建模和推理工具。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點兼容離散變量和連續(xù)數(shù)字變量則形成了混合貝葉斯網(wǎng)，混合貝葉斯網(wǎng)在海量數(shù)據(jù)的挖掘和推理上有較大優(yōu)勢[49]。貝葉斯在人工智能領(lǐng)域的應(yīng)用主要包括故障診斷[50]，系統(tǒng)可靠性分析[51]，航空交通管理[52]，車輛類型分類[53]等。

4 結(jié) 語

人工智能科學(xué)想要解決的問題是讓電腦也具有聽、說、讀、寫、思考、學(xué)習(xí)、適應(yīng)環(huán)境變化以及解決各種實際問題的能力。布爾邏輯、概率論以及可信計算理論為人工智能的誕生奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這些數(shù)學(xué)理論經(jīng)歷了上百年的發(fā)展，已經(jīng)比較成熟?；煦缗c分形、模糊集與粗糙集、云模型等人工智能的數(shù)學(xué)理論是近30年發(fā)展起來的，為不確定性人工智能奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但還存在很多問題需要解決。就混沌與分形來說，其理論體系還不成熟，其應(yīng)用在復(fù)雜問題的優(yōu)化、聯(lián)想、記憶等方面將更有生命力；對于粗糙集來說，其理論研究可以從粗糙集的擴展方面進行，并在相關(guān)模型下進行應(yīng)用研究；就云模型來說，如何揭示其理論上的優(yōu)勢以及和其他相關(guān)模型的聯(lián)系與區(qū)別，以及如何實現(xiàn)數(shù)值域和符號域共同表達的云模型都是值得研究的問題。貝葉斯網(wǎng)是人工智能領(lǐng)域目前最有效的推理工具，將來的研究應(yīng)集中在概率繁殖算法的改進、混合貝葉斯網(wǎng)以及動態(tài)貝葉斯網(wǎng)的擴展研究等方面。

參考文獻

[1] George F luger.Artificial Intelligence structures and strategies for complex problem solving， Fifth Edition[Z].Pearson Eduation， 2005.

[2] George F.Luger.人工智能——復(fù)雜問題求解的結(jié)構(gòu)和策略[M].史忠植，張銀奎，等，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2006.

[3]呂家俊，朱秋月，孫耕田.布爾代數(shù)[M].濟南：山東教育出版社，1982.

[4] MOLODTSOV D.Soft Set theory-first results [J].Computers and Mathematics With Applications，1999，37（4-5）：19-31.

[5]王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1995.

[6] Mercer J. Functions of Positive and negative type and their connection with the theory of integral equations. Philosophical Transactions of the Royal Society of London[Z].1909，209：415-446.

[7] Deutsch D，Jozsa R，Rapid solution of problems by quantum computation[J].Proc R Soc London A，1992，439：553-558.

[8]杜立智，符海東，張鴻，等.P與NP問題研究[J].計算機技術(shù)與發(fā)展，2013，23（1）：37-42.

[9] Sahni S.Data Structures， Algorithms and Applications in C++[M].McGraw-Hill，1998.

[10]吳祥興，陳忠. 混沌學(xué)導(dǎo)論[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)文獻出版社，2001.

[11] Yamada T，Aihara K，Kotani M. chaotic Neural Networks and the Traveling Salesman Problems[C].Proc of Int Joint Conf on Neural Networks，1993.

[12]余群明，王耀南，柳青.混沌動力在智能信息處理中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2001，23（5）：97-101.

[13] Kyung Ryeu Jin，Sun Chung Ho. Chaotic Recurrent Neural Networks and Their Application to Speech Recognition[J].Neurocomputing ，1996，13（2-4）：281-294.

[14]李緒，李光，汪樂.嗅覺混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究和應(yīng)用[J].傳感技術(shù)學(xué)報，2004，17（2）：179-184.

[15]孫霞，吳自勤，黃畇.分形原理及其應(yīng)用[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2003.

[16]斯林.利用分形方法提取遙感影像空間結(jié)構(gòu)信息的應(yīng)用研究[D].北京：中國林業(yè)科學(xué)研究院，2000.

[17] Peleg S，Narorand J，Hartley R.Multiple resolution texture analysis and classification[J].IEEE Trans PAM，1984，6（4）：518-523.

[18]亢寬盈.分形理論的創(chuàng)立發(fā)展及科學(xué)方法論意義[J].科學(xué)管理研究，1998，16（6）：56-59.

[19] Leland W E，Taqqums，Willenger W，et al. On the self-similar nature of ethernet traffic[J].IEEE/ACM Transactions on Networking（ Extending Version），1994，2（1）：1-15.

[20]叢鎖，韓良秀，劉巖，等.基于離散小波變換的網(wǎng)絡(luò)流量多重分形模型[J].通信學(xué)報，2003，24（5）：43-48.

[21]陸俊秀，山秀明，任勇.TCP 流量的多尺度分析[J].數(shù)據(jù)采集與處理，2004，19（1）：5-9.

[22]鄭建華，曹陽，劉翀，等.Internet流量預(yù)報研究[J].計算機工程，2003，29（3）：129-130.

[23] Zadeh L A. Fuzzy Sets[J]. Information and Control，1965（8）：338-353.

[24]李洪興，汪培莊.模糊數(shù)學(xué)[M].北京：國防工業(yè)出版社，1994.

[25]汪培莊，韓立巖.應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)[M].北京：北京經(jīng)濟學(xué)院出版社，1989.

[26] Pal N，Pal K，Keller J.A new hybrid C-means clustering model[C].IEEE Proc of FUZZ，2004：179-184.

[27] Richard Jensen，Shen Qiang. Fuzzy rough data reduction with ant colony optimization[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，149（1）：5-20.

[28] Frederick E Petry ，Zhao Lei .Data mining by attribute generalization with fuzzy hierarchies in fuzzy databases[J].Fuzzy Sets and Systems，2009，160（15）：2206-2223.

[29] Raschia G， Mouaddib N.SAINTETIQ：a fuzzy set-based approach to database summarization[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，129（2）：137-162.

[30] Pawlak Z. Rough Set [J].International Journal of Computer and Information Sciences， 1982， 11：341-356.

[31] Yao Y Y.Generalized rough set models[C].PolkowskiL Skow ron A eds.Rough Sets in knowledge Discovery， Heideberg： Physica-Verlag， 1998：286-318.

[32] Lin T Y， Liu Q. Rough approximate operators： Axiomatic rough set theory[C].Ziarko w p ed. Rough Sets ，F(xiàn)uzzy Sets and knowledge Discovery，London：Springer-Verlag，1994.

[33]王國胤.Rough集理論與知識獲取[M].西安：西安交通大學(xué)出版社， 2001.

[34]梁吉業(yè)， 李德玉.信息系統(tǒng)中的不確定性與知識獲取[M].北京：科學(xué)出版社， 2005.

[35] Zhao J， Wang G Y.A data-driven knowledge acquisition method based on system uncertainty[C].Proceedings of the 4th IEEE International Conference on Cognitive Informatics. Irvine， USA， 2005：267-275.

[36]李德毅.隸屬云和語言原子模型[C].計算機智能接口與應(yīng)用，1993：272-277.

[37]李德毅，孟海軍，史雪梅.隸屬云和隸屬云發(fā)生器[J].計算機研究與發(fā)展， 1995， 32（6）：15-20.

[38]楊朝暉，李德毅.二維云模型及其在預(yù)測中的應(yīng)用[J].計算機學(xué)報， 1998， 21（11）：961-969.

[39]杜鹢，李德毅.基于云的概念劃分及其在關(guān)聯(lián)采掘上的應(yīng)用[J].軟件學(xué)報，2001，12（2）：196-203.

[40]呂輝軍，王曄，李德毅，等.逆向云在定性評價中的應(yīng)用[J].計算機學(xué)報，2003，26（8）：1009-1014.

[41]張飛舟， 李德毅.基于隸屬云發(fā)生器的智能控制[J].航空學(xué)報，1999，20（1）：89-92.

[42] ZHANG Guang-wei， KANG Jian-chu， HE Rui.Towards a trust model with uncertainty for e-commerce systems[C].Proc of IEEE International Conference on e-Business Engineering，2005.

[43]岳訓(xùn)，孫忠林.定性預(yù)測系統(tǒng)的建模方法[J].計算機工程， 2001，27（9）：97-99.

[44]田永青，杜國寧，李志，等.基于云理論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)決策樹的生成算法[J].上海交通大學(xué)學(xué)報， 2003， 37（Z1）：113-117.

[45]牟峰，王慈光，袁曉輝.基于云模型的參數(shù)自適應(yīng)蟻群遺傳算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2009， 31（7）：1763-1766.

[46] Pearl J F.Propagation and structuring in belief networks[J].Artificial Intelligence，1986，29（3）：241-288.

[47] Hugin Expert.The leading decision support tool[EB/OL].http：//www.hugin.com.

[48] Koller D，Pfeffer A.Object-oriented Bayesian networks [C].Proceedings of the 13th Annual Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence. Providence， Rhode Island，1997.

[49] Neil M，Tailor M. Inference in hybrid Bayesian networks using dynamic discretization[J].Statistics and Computing，2007，17（3）：219-233.

[50] Heckerman D，Breese J S，Rommelse K.Decision –the –oretic trouble shooting[J].Communication of the ACM，1995，38（3）：49-57.

[51] Torres-Toledano J G，Sucar L E.Bayesian networks for reliability analysis of complex systems lecture notes in computer science[C].Proceeding of the 6th Ibero-Amercian Conference on AI： Progress in Artificial Intelligence.London，1998：195-206.

[52] Neil M，Malcolm B，Shaw R.Modelling an air traffic control environment using Bayesian belief networks[C].Proceedings of Twenty-first International System Safety Conference，Ottawa，Canada，2003.

[53] Kafai M，Bhanu B.Dynamic Bayesian networks for vehicle classification in video[J].IEEE Transactions on Industrial Informatics，2016，8（1）：100-109.