田延國,馬東魁

(華南理工大學數學學院,廣東廣州 510641)

關于連續(xù)映射半群拓撲熵的一點注記

田延國,馬東魁

(華南理工大學數學學院,廣東廣州 510641)

本文研究了度量空間中連續(xù)映射構成半群的拓撲熵.利用Patro[8]的方法,給出了度量空間中兩種有限個連續(xù)映射構成的半群的拓撲d-熵的定義,比較了兩種拓撲d-熵的大小.證明了局部緊致可分度量空間上有限個真映射構成的半群的拓撲d-熵和它的一點緊化空間上對應的拓撲熵相等.上面結果推廣了Patro的相應結論.

拓撲熵;半群;真映射;度量空間

1 引言

拓撲熵是動力系統(tǒng)中一個非常重要的量,可用來刻畫系統(tǒng)的復雜度.從Adler,Konheim和McAndrew[1]首先給出拓撲熵的定義以來,拓撲熵的研究逐漸發(fā)展成為動力系統(tǒng)的一個重要方向.隨著研究的深入及新問題的出現,人們從各個角度研究和推廣拓撲熵,如文獻[4,6,12].其中一個重要方向就是半群作用系統(tǒng)的拓撲熵.首先,Bi[2]和Bufetov[5]分別給出了緊致度量空間上有限個連續(xù)映射構成的半群的拓撲熵的定義.在此基礎上,人們又深入研究了這兩種拓撲熵,比如針對緊致度量空間上有限個連續(xù)映射構成的半群系統(tǒng),Ma和Wu[7]定義了任意子集的拓撲熵;Wang和Ma[10]及Wang,Ma和Lin[9]分別推廣Bi[2]和Bufetov[5]的拓撲熵,給出了一般度量空間上由有限個一致連續(xù)映射構成的半群的拓撲熵的定義.

在此基礎上,我們將Bufetov[5]緊致度量空間中有限個連續(xù)映射構成半群的拓撲熵的定義推廣到一般的度量空間中,定義了一種度量空間中有限個連續(xù)映射構成半群的拓撲d-熵.然后將Bi[2]在緊致度量空間中拓撲熵的定義推廣到一般的度量空間中,定義另一種度量空間中有限個連續(xù)映射構成半群的拓撲d-熵,比較了兩種定義的拓撲d-熵的大小,并且證明局部緊致可分度量空間上有限個真映射構成的半群的拓撲d-熵和它的一點緊化空間上對應的拓撲熵相等.

2 預備知識

對任意的ε＞0,n∈N,X的子集E稱為X的(n,ε)張成集,若對每一個x∈X,存在y∈E滿足d(g(x),g(y))≤ε,其中g∈Gn.記X的所有(n,ε)張成集的最小基數為r(n,ε,X,G1).Bi′s定義了由G1生成的半群G的拓撲熵

下面介紹Bufetov[5]的定義.設X為緊致度量空間,X上的度量記為d,fi：X→X為連續(xù)映射 (i=0,1,···,m-1),記,用G′表示由生成的半群.記={w|w=w0w1···wk,wi=0,1,···,m-1}. 若存在滿足w=w′′w′,記為w′ ≤w. 對w∈,w=w1w2···wk,記 |w|=k,fw=fw1fw2···fwk,則顯然fww′=fwfw′.對每一個w∈,X上的度量定義為

Bufetov[5]定義了半群的拓撲熵

我們可用Bufetov方法定義了拓撲d-熵.設X為一個度量空間,fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).令Y為X的子集,對任意的w∈,ε＞0,F?X稱為Y的(w,ε,)張成集,若對任意的x∈Y,存在y∈F滿足dw(x,y)≤ε.記Y的所有(w,ε,)的最小基數為B(w,ε,Y,).

定義2.1設(X,d)為一個度量空間={f0,f1,···,fm-1},其中fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).Y為X的子集,定義,其中

則可定義X關于生成半群的拓撲d-熵為,其中上確界取遍X的所有子集Y.

注2.1(1)當X為緊致度量空間時,定義2.1與Bufetov的定義等價,即

(2)當X為度量空間,fi均為一致連續(xù)時,定義2.1與文獻[9]中定義等價.

下面給出真映射[8]的概念.設X為一個拓撲空間,T：X→X為連續(xù)映射,稱T為真映射,若X的任意緊致子集在T下的原像為緊致子集.

3 本文定義的拓撲d-熵及主要結果

令Y為X的子集,對任意的ε＞0,n∈N,E?X稱為Y的(n,ε)張成集,若對任意的x∈Y,存在y∈E滿足.記Y的所有(n,ε)張成集的最小基數為r(n,ε,Y,G1).

定義3.1設(X,d)為一個度量空間,G是由集合G1={idX,f0,f1,···,fm-1}生成的半群,其中fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).Y為X的子集,定義

其中

可定義由G1生成的半群G的拓撲d-熵為,其中上確界取遍X的所有子集Y.

注3.1(1)當X為緊致度量空間時,定義3.1與Bi[2]的定義等價,即hd(G1)=h(G1).

(2)當X為度量空間,fi均為一致連續(xù)時,定義3.1與文獻[10]中定義等價.

(3)hd(G1)=hd(G1,X).

下面可以比較定義2.1和定義3.1中兩種度量空間中有限個連續(xù)映射構成的半群的拓撲d-熵的大小.

定理3.1設(X,d)為一個度量空間,G1={idX,f0,f1,···,fm-1},G′1={f0,f1,···,fm-1},其中fi：X→X為連續(xù)映射(i=0,1,···,m-1).則

證對X的任意子集Y以及n∈N,對任意的ε＞0,若M為Y的(n,ε,G1)張成集,則對任意的x∈Y,存在y∈M滿足ε.由上式可推出d(fw(x),fw(y))≤ε,其中.即Y的(n,ε,G1)張成集為Y的(w,ε,)張成集,從而有

進而

兩邊同時取log,除以n及取極限可得,由Y的任意性,兩邊對Y取上確界,可得,證畢.

令X為局部緊致可分度量空間,它的一點緊化空間記作.fi：X→X(i=0,1,···,m-1)為真映射.定義且

下面的定理說明了局部緊致可分度量空間上有限個真映射構成的半群的拓撲d-熵和它的一點緊化空間上對應的拓撲熵相等.

定理3.2設X為一個局部緊致可分空間,為X的一點緊化空間.度量d是上的度量在X上的限制.G是由集合G1={idX,f0,f1,···,fm-1}生成的半群,其中fi：X→X為真映射(i=0,1,···,m-1),1={idX,0,···,m-1}.則有,其中h(1)表示Bi′s定義的由1生成的半群的拓撲熵.

證首先說明對任意的n∈N及ε＞0,有r(n,ε,G1)是有限的.令的一個張成集.由X在中的稠密性,存在{x1,···,xk}?X滿足.對任意的x∈X?,存在滿足.由上可得

故

S

={

x

1

,···,xk

}為

X

的(

n,ε,G

1

)張成集.若選取

的元素個數為

,則可得

反之,令U={x1,···,xk}為X的張成集.對任意的,由X在中稠密,則存在x∈X滿足,從而有xi∈U滿足.于是

故U={x1,···,xk}為的(n,ε,1)張成集.若選取U的元素個數為r(n,ε,G1),可得

結合(3.2)和(3.3)式可得

[1]Adler R L,Konheim A G,McAndrew M H.Topological entropy[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1965,114(2)：309-319.

[4]Bowen R.Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1971,153(1)：401-414.

[5]Bufetov A.Topological entropy of free semigroup actions and skew-product transformations[J].J.Dynam.Control Sys.,1998,5(1)：137-143.

[6]Dinaburg E I.The relation between topological entropy and metric entropy[J].Soviet Math.Dokl,1970,11(1),13-16.

[7]Ma Dongkui,Wu Min.Topological pressure and topological entropy of a semigroup of maps[J].Discrete Contin.Dyn.Sys.,2011,31(2)：545-557.

[9]Wang Yupan,Ma Dongkui,Lin Xiaogang.On the topological entropy of free semigroup actions[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,435(2)：1573-1590.

[10]Wang Yupan,Ma Dongkui.On the topological entropy of a semigroup of continuous maps[J].J.Math.Anal.Appl,2005,427(2)：1084-1100.

[11]Waters P.An introduction to ergodic theory[M].New York,Heidelberg,Berlin：Springer-Verlag,1982.

[12]彭麗.低復雜度序列的維數[J].數學雜志,2006,26(2)：133-136.

A REMARK ON THE TOPOLOGICAL ENTROPY OF A SEMIGROUP OF CONTINUOUS MAPS

TIAN Yan-guo,MA Dong-kui
(School of Mathematics,South China University of Technology,Guangzhou,510641,China)

In this paper,we study the topological entropy of a semigroup of continuous maps on a metric space.By using Patro’s[8]method,we give two de fi nitions of topologicald-entropy of a semigroup generated by fi nite continuous maps on a metric space,the size of these twod-entropies are compared.We also show that the topologicald-entropy of the semigroup generated by fi nite proper maps on a locally compact separable metric space and the topological entropy on its one-point compacti fi cation space coincide,which extend the results obtained by Patro.

topological entropy;semigroup;proper maps;metric space

on：37A35;37B40

O189.1

A

0255-7797(2017)04-0792-05

2016-08-03接收日期：2016-10-31

國家自然科學基金資助(11671149);廣東省自然科學基金資助(2014A030313230);中央高?；A研究基金資助(SCUT(2015ZZ055;2015ZZ127)).

田延國(1990-),男,山東德州,碩士,主要研究方向：拓撲動力系統(tǒng)與遍歷理論.