王建林，劉偉旻，邱科鵬，張維佳，于濤

（北京化工大學信息科學與技術學院，北京 100029）

基于LWPT-DTW的間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化

王建林，劉偉旻，邱科鵬，張維佳，于濤

（北京化工大學信息科學與技術學院，北京 100029）

間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)直接影響數(shù)據(jù)驅動的多元統(tǒng)計分析時段建模精度，導致間歇過程的監(jiān)控性能降低。針對間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)問題，提出一種基于提升小波包變換（LWPT）和動態(tài)時間規(guī)整（DTW）算法的間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化方法。該方法引入LWPT對間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)軌跡進行高低頻的多級分解，充分提取數(shù)據(jù)軌跡的所有時頻域信息；采用DTW算法對不同頻段的系數(shù)矩陣進行同步化，并利用提升小波包逆變換對同步化后的系數(shù)矩陣進行合成，降低吉布斯現(xiàn)象對數(shù)據(jù)軌跡合成的影響，獲得等長的時段軌跡，實現(xiàn)了間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化。青霉素發(fā)酵過程仿真實驗表明，所提出的方法運算速度快、穩(wěn)定，不等長時段數(shù)據(jù)的同步化結果具有較高的準確性，為間歇過程時段建模提供了可靠的過程數(shù)據(jù)。

不等長時段數(shù)據(jù)；同步化；提升小波包變換；動態(tài)時間規(guī)整；間歇過程

引 言

間歇過程是現(xiàn)代工業(yè)中重要的生產(chǎn)方式，在精細化工、制藥及食品等領域有著廣泛的應用[1-2]?；跀?shù)據(jù)驅動的間歇過程多元統(tǒng)計建模及監(jiān)測，促進了其生產(chǎn)安全、運行可靠和產(chǎn)品質量的提高。間歇過程具有復雜的過程特性，多時段是間歇過程的固有特征[3-4]，若將單批次的多時段間歇過程當作一個整體進行過程建模和監(jiān)測，將導致所建過程模型難以準確描述間歇過程，并造成較高的間歇過程監(jiān)測誤報率和漏報率；同時間歇過程的不同批次對應時段的操作時間因生產(chǎn)原料的質量差異、初始條件的設置差異等出現(xiàn)不同步，導致各個批次對應時段的數(shù)據(jù)長度不一致，難以滿足數(shù)據(jù)驅動的多元統(tǒng)計分析過程建模和監(jiān)測方法[5-6]對過程數(shù)據(jù)長度一致性的要求，因此解決間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)問題，能夠為基于多元統(tǒng)計分析的間歇過程時段建模和監(jiān)測提供可靠的過程數(shù)據(jù)。

傳統(tǒng)的間歇過程不等長數(shù)據(jù)軌跡同步化方法有：最短長度法[7]和最長長度法[8]，即分別以最短長度批次和最長長度批次作為參考批次，將其他批次通過截取或者填充的方法實現(xiàn)同步化，這兩種方法計算簡單，但容易丟失過程數(shù)據(jù)中的重要信息或引入累贅信息。動態(tài)時間規(guī)整（dynamic time warping，DTW）算法[9-10]，基于動態(tài)規(guī)劃原理，靈活匹配不同模式之間的相似特征，已在間歇過程的不等長時段數(shù)據(jù)同步化中得到應用[11-13]。近年來出現(xiàn)了改進的 DTW 算法，Bork等[14]利用 derivative DTW（DDTW）算法解決了間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化中的峰值漂移問題；Zhang等[15-16]在DDTW算法的基礎上構建了一種robust DDTW（RDDTW）算法，用于間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化，降低了測量噪聲帶來的誤差，然而沒有充分提取時段數(shù)據(jù)軌跡的所有時頻域信息。這些算法均是在時域對間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化，僅僅是挖掘不等長時段數(shù)據(jù)的時域信息，而且計算量大、運算速度慢。Li等[17]將離散小波變換和DTW算法相結合，給出一種多尺度DTW（multi-scale DTW，MSDTW）算法，用于間歇過程的不等長時段數(shù)據(jù)同步化，取得了較好的同步化結果；Barbon等[18]應用MSDTW算法同步化不等長數(shù)據(jù)軌跡，提高了同步化過程的運算速度。然而MSDTW方法中的離散小波變換僅僅對軌跡的低頻部分進行多級分解，忽略了高頻部分的分解[19-20]，沒有挖掘高頻部分的有用信息，且處理具有突變點的軌跡時會出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象[21]，增加了軌跡的合成誤差，因此MSDTW方法具有一定的局限性，制約了該方法的實際應用。

本文引入提升小波包變換（lifting wavelet package transform，LWPT）解決間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)問題，提出一種基于 LWPT-DTW 的間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化方法，利用提升小波包變換對不等長時段數(shù)據(jù)軌跡進行高低頻多級分解，充分提取數(shù)據(jù)軌跡的所有時頻域信息，使用DTW算法對分解后得到的不同頻段的系數(shù)矩陣進行同步化，并利用提升小波包逆變換進行合成，降低吉布斯現(xiàn)象對數(shù)據(jù)軌跡合成的影響，實現(xiàn)了不等長時段數(shù)據(jù)同步化，運算速度快，獲得的同步化結果具有更高的準確性，最后通過青霉素發(fā)酵過程仿真驗證所提方法的有效性。

1 基于MSDTW的不等長時段數(shù)據(jù)同步化

1.1 基于DTW的不等長時段數(shù)據(jù)同步化

設T和R代表間歇過程中的時段數(shù)據(jù)待同步化軌跡和參考軌跡，分別為t×N維和r×N的數(shù)據(jù)矩陣，t和r為兩軌跡的時間長度，N是被測變量的個數(shù)。T和R的局部距離為

其中，1≤i≤t，1≤j≤r。局部距離 d是指 T和 R點對點的距離，刻畫兩軌跡之間的局部特征。設D為正向累積距離矩陣，根據(jù)局部約束[22]用動態(tài)規(guī)劃算法可以由d(i, j)得到D(i, j)，遞推式為

初始條件為D(1,1)2d(1,1)，T和R的最短距離為?；谧疃叹嚯x*D進行反向尋優(yōu)獲得一條處于t×r網(wǎng)格中的最優(yōu)路徑，如圖1所示。通過最優(yōu)路徑對T和R進行點對點的匹配，當出現(xiàn)T中的多個點同時與R中的一個點匹配時，如圖1所示，T的A和B兩點同時與R的點C匹配，設點C對應的時刻為k，采取多點平均法[23]完成匹配，T第k時刻的值為

經(jīng)過同步化后，T和R具有一致的時間長度。

圖1 DTW同步化路徑Fig.1 Synchronization path of DTW

圖2 MSDTW方法(a)和同步化路徑(b)，LWPT-DTW方法(c)和同步化路徑(d)Fig.2 MSDTW method(a) and synchronization path (b)，LWPT-DTW method(c) and synchronization path (d)

1.2 基于MSDTW的不等長時段數(shù)據(jù)同步化

MSDTW[18]是基于離散小波變換[19]和 DTW 算法提出的間歇過程不等長數(shù)據(jù)軌跡同步化方法。首先基于離散小波變換分別對時段數(shù)據(jù)參考軌跡R和待同步化軌跡T進行多級的低頻分解，然后將分解后的對應過程變量的節(jié)點系數(shù)組成系數(shù)矩陣，使用DTW 對參考軌跡和待同步化軌跡各個尺度下的系數(shù)矩陣進行同步化，最后利用離散小波逆變換得到同步化后的等長時段數(shù)據(jù)。以2級分解為例，如圖2(a)所示，經(jīng)過2級分解后，R和T分別得到3個頻段系數(shù)矩陣：Rd1、Rd2、Ra2和 Td1、Td2、Ta2，每組頻段系數(shù)矩陣對應一條同步化路徑，如圖2(b)所示，各個頻段的同步化路徑差異反映出兩軌跡在各個頻段中的差異性。

2 基于 LWPT-DTW 的不等長時段數(shù)據(jù)同步化

2.1 基于LWPT-DTW的不等長時段數(shù)據(jù)同步化

由于MSDTW方法僅僅對軌跡的低頻部分進行多級分解，高頻上的有用信息很容易被去掉，沒有挖掘高頻部分的有用信息，且使用離散小波變換在處理具有突變點的軌跡時會出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象，增加了軌跡的合成誤差。為了充分提取軌跡在多尺度下的高低頻信息，提高同步化結果的準確性，本文結合LWPT和DTW算法，提出一種基于LWPT-DTW的間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)軌跡同步化方法。LWPT是基于提升方法的小波包變換[24]，不依賴于傅里葉變換，有效避免復雜的卷積運算和降低吉布斯現(xiàn)象的影響，運算快速且穩(wěn)定，而且同時對高低頻部分進行多級分解，可以對軌跡進行更精細的分析。參考軌跡R基于LWPT的分解過程如下：

（1）將 R根據(jù)奇偶性分解成采樣時刻的偶次項Re和奇次項Ro

（2）基于數(shù)據(jù)相關性的基礎上，用偶次項 Re去預測奇次項Ro，預測算子為P，令預測誤差為

（3）通過預測誤差 R1,0去調整 Re，更新算子為U，令調整后的Re為

經(jīng)過上述步驟后，軌跡R完成了一級分解，得到高頻分量R1,0和低頻分量R1,1。分別對R1,0和R1,1重復以上的分解過程運算，獲得軌跡R基于LWPT的多級分解結果，同理獲得待同步化軌跡T基于LWPT的多級分解結果。LWPT的合成過程只需將分解等式的左右變量互換和改變符號的正負。

對R和T進行多級提升小波包分解，得到R和T不同頻段的系數(shù)矩陣，利用DTW算法對頻段系數(shù)矩陣進行同步化，通過提升小波包逆變換獲得同步化后的等長時段數(shù)據(jù)，以2級分解的LWPT-DTW為例，如圖2(c)所示，經(jīng)過2級分解之后，R和T分別得到4個頻段系數(shù)矩陣：R2,0、R2,1、R2,2和R2,3；T2,0、T2,1、T2,2和 T2,3，因此 LWPT-DTW方法可以獲取4條同步化路徑，如圖2(d)所示。對比MSDTW方法， LWPT-DTW方法可以獲得更多的頻段系數(shù)矩陣和同步化路徑，因此在相同的分解級數(shù)條件下，LWPT-DTW 方法可以更加充分提取原始軌跡的所有信息，而且可以更加精細地分析兩軌跡在各個頻段中的差異，因此基于 LWPT-DTW 的不等長時段數(shù)據(jù)軌跡同步化結果具有更高的準確性。

2.2 小波基函數(shù)和分解級數(shù)的選擇

LWPT-DTW 軌跡同步化方法的參數(shù)是小波基函數(shù)和分解級數(shù)。本文針對在不同小波基函數(shù)和分解級數(shù)的設定下，根據(jù)最優(yōu)同步化準確性，實現(xiàn)最優(yōu)參數(shù)選擇。選取PCA相似因子M判定同步化結果的準確性[25]，M由式（7）計算。

式中，R和T表示兩條不等長時段數(shù)據(jù)的軌跡，λ表示協(xié)方差矩陣的特征值；θpq表示R的負載矩陣的第p個負載向量與T的負載矩陣的第q個負載向量的角度；A是主元個數(shù)。

M越大，同步化結果的準確性越高，考慮不同批次數(shù)據(jù)之間的差異性，定義一個平均同步化準確性指標G

其中，Mi是第i個批次的不等長時段的同步化準確性，I是批次總數(shù)。G的值越大，說明在當前的分解級數(shù)和小波基函數(shù)設定下，不等長時段的同步化結果具有更高的準確性和魯棒性。

3 實驗驗證

青霉素是一種具有廣泛臨床醫(yī)用價值的抗生素，其生產(chǎn)過程是一個典型的非線性、動態(tài)和多時段的間歇生產(chǎn)過程[26-27]。本文采用Pensim仿真平臺[28]，為青霉素分批補料發(fā)酵過程提供仿真數(shù)據(jù)，選取的10個主要過程變量為：①通風率（L·h-1）、②攪拌功率（W）、③底物流加速率（L·h-1）、④基質濃度（g·L-1）、⑤溶氧量濃度（g·L-1）、⑥生物質濃度（g·L-1）、⑦青霉素濃度（g·L-1）、⑧培養(yǎng)基容量（L）、⑨二氧化碳濃度（g·L-1）、⑩反應熱（kcal）。由Pensim仿真平臺產(chǎn)生20個在不同初始條件設定下的批次過程數(shù)據(jù)。每批次的采樣時間從380～420 h不等，采樣間隔為1 h。為了反映實際生產(chǎn)過程不同批次的不確定性，所有過程變量均加入了高斯白噪聲干擾。

基于K-均值聚類[29]算法將20個批次過程數(shù)據(jù)劃分為3個時段，劃分結果如圖3所示。從圖3中看出各個批次對應的時段數(shù)據(jù)存在不同步情況，因此需要對不等長時段數(shù)據(jù)進行同步化處理。分別利用DTW、MSDTW和LWPT-DTW對不等長時段數(shù)據(jù)進行同步化。設待同步化軌跡T經(jīng)過上述3種同步化方法后得到的軌跡為T1、T2和T3，根據(jù)式（7）分別計算T與T1、T2、T3的相似性M。選擇幾種具有較好光滑性和相似性的小波基函數(shù)[30]，如表1所示。圖4和表2分析了不同的小波基函數(shù)和分解級數(shù)組合對同步化結果準確性的影響。

表1 小波基函數(shù)Table 1 Wavelet base

圖3 基于K-均值的時段劃分Fig.3 Segmentation based K-means

圖4展示了當分解級數(shù)分別為2和3時，選取不同的小波基函數(shù)對批次過程時段一平均同步化準確性的影響。從圖中看出，在不同的小波基函數(shù)和分解級數(shù)的組合下，MSDTW 方法和 LWPT-DTW方法的平均同步化準確性有很大差異，甚至存在平均同步化準確性低于DTW方法的情況。當小波基函數(shù)選擇bior2.4，分解級數(shù)為3時，平均同步化準確性最高，達到0.9990。表2列出了時段二和時段三的3種方法的平均同步化結果準確性，可以看出，對于時段二和時段三，當小波基函數(shù)選擇bior2.4，分解級數(shù)為3時，平均同步化準確性最高。這是由于bior2.4小波基函數(shù)[31]具緊支撐性、雙正交性和線性相位性等特性，采用一個小波函數(shù)進行軌跡分解，用另外一個小波函數(shù)進行合成，可以有效解決用同一個小波基函數(shù)進行分解與合成帶來的對稱性與合成信號準確性的矛盾問題，進而提高軌跡合成的準確性，因此本文選擇的小波基函數(shù)為bior2.4以及分解級數(shù)設置為3。比較3種方法對所有訓練批次不等長時段數(shù)據(jù)同步化的總耗時，其中DTW的總耗時為38.801 s，MSDTW方法總耗時為16.978 s，LWPT-DTW 方法的總耗時為 12.775 s。這是因為DTW算法中正向累積距離矩陣D的獲取需要遍歷R和T，MSDTW方法對R和T進行多尺度的低頻部分分解，降低了數(shù)據(jù)計算量，LWPT-DTW方法中同時對高低頻部分進行多尺度分解，且不依賴于傅里葉變換，避免復雜的卷積運算，因此LWPT-DTW方法具有更快的運算速度?；?LWPT-DTW 對所有訓練批次對應的不等長時段數(shù)據(jù)進行同步化，得到等長的時段。其中時段三的底物流加速率變量軌跡同步化結果如圖 5所示，DTW、MSDTW 和LWPT-DTW 3種方法的同步化軌跡與原始軌跡的相似性分別為0.9550、0.9642和0.9764，LWPT-DTW方法的同步化結果具有更高的準確性，因此LWPT-DTW 方法在實現(xiàn)不等長時段數(shù)據(jù)同步化的情況下保留原始軌跡的更多信息。

圖4 3種方法的平均同步化結果準確性Fig.4 Mean synchronization accuracy of three methods

表2 3種方法的同步化準確性Table 2 Synchronization accuracy of three methods

圖5 底物流加速率軌跡的同步化結果Fig.5 Synchronization of substrate feed rate trajectory

4 結 論

間歇過程具有多時段特性，同時間歇過程的不同批次對應時段的操作時間因生產(chǎn)原料的質量差異、初始條件的設置差異等出現(xiàn)不同步，導致各個批次對應時段的數(shù)據(jù)長度不一致。針對間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)問題，提出一種基于 LWPT-DTW 的間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化方法，與DTW方法和MSDTW方法比較，LWPT-DTW方法對間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)軌跡進行高低頻的多級分解，可以充分提取數(shù)據(jù)軌跡的所有時頻域信息，利用提升小波包逆變換對同步化后的系數(shù)矩陣進行合成，降低吉布斯現(xiàn)象對數(shù)據(jù)軌跡合成的影響，獲得了間歇過程等長的時段。結合青霉素發(fā)酵過程進行了方法驗證，實驗結果表明，所提出的方法運算速度快、穩(wěn)定，提高了間歇過程不等長時段數(shù)據(jù)同步化結果的準確性，能為間歇過程時段建模提供可靠的過程數(shù)據(jù)。

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LWPT-DTW trajectory synchronization of uneven-length phase data in batch processes

WANG Jianlin, LIU Weimin, QIU Kepeng, ZHANG Weijia, YU Tao
(College of Information Science and Technology, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China)

Uneven-length phase data of batch processes directly affect phase modeling accuracy of data-driven multivariate statistical analysis, resulting in reduced process monitoring performance. A trajectory synchronization method of lifting wavelet package transform (LWPT) and dynamic time warping (DTW) was proposed for the uneven-length phase data of batch process. First, LWPT was used to decompose trajectories of uneven-length phase data at multiple levels of high and low frequency and extract complete time-frequency domain information.Secondly, DTW was used to synchronize coefficient matrices at different frequency bands. Finally, inverse LWPT was used to integrate synchronized coefficient matrices, to obtain the even-length phases, and to reduce the impact of the Gibbs phenomenon on data trajectory synthesis. The simulation results of penicillin fermentation batch process show that the new method calculates fast and stable with better accuracy of synchronization, which can provide reliable process data for data-driven phase modeling of batch processes.

uneven-length phase data; trajectory synchronization; lifting wavelet package transform; dynamic time warping; batch process

date：2016-12-02.

Prof. WANG Jianlin, wangjl@ mail.buct.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China (61240047) and the Natural Science Foundation of Beijing(4152041).

TQ 277

A

0438—1157（2017）07—2866—07

10.11949/j.issn.0438-1157.20161705

2016-12-02收到初稿，2017-04-21收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者：王建林（1965—），男，教授。

國家自然科學基金項目（61240047）；北京市自然科學基金項目（4152041）。