李世松，袁燕嶺，董 杰，甘景福，黃松嶺，趙 偉

（1.清華大學(xué)電機(jī)系，北京 100084；2.國(guó)網(wǎng)唐山供電公司，河北 唐山 063000）

一種計(jì)算三芯電力電纜表面磁場(chǎng)的解析方法

李世松1，袁燕嶺2，董 杰2，甘景福2，黃松嶺1，趙 偉1

（1.清華大學(xué)電機(jī)系，北京 100084；2.國(guó)網(wǎng)唐山供電公司，河北 唐山 063000）

因三芯電力電纜穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)傳輸?shù)娜嚯娏髦蜑?，以傳統(tǒng)的電流互感器無法測(cè)量出其中各芯線即各相電流，該文從表征通流狀態(tài)下三芯電力電纜中各處電磁特性的電磁場(chǎng)方程出發(fā)，提出一種三芯電力電纜表面磁場(chǎng)的解析計(jì)算方法，其不僅適用于對(duì)稱三芯電纜，還適用于其他電纜三芯任意分布的情形?；谠摻馕鏊惴ǎㄟ^測(cè)量三芯電纜表面的磁場(chǎng)，就可以較準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)對(duì)三芯電力電纜各芯線電流的測(cè)量。以該解析模型進(jìn)行計(jì)算和采用有限元仿真模型計(jì)算的結(jié)果均表明，所提出解析算法具有較好的準(zhǔn)確性，對(duì)構(gòu)建新型電纜在線監(jiān)測(cè)系統(tǒng)具有理論指導(dǎo)價(jià)值。

電力電纜；磁場(chǎng)計(jì)算；解析模型；電流測(cè)量

0 引 言

近年來，隨著電纜制作工藝的不斷進(jìn)步，電纜輸配電工程獲得了長(zhǎng)足發(fā)展[1]。一般地，35 kV以上的三相電力系統(tǒng)電纜輸配電工程多采用單芯電纜，而35kV以下的三相電力系統(tǒng)電纜輸配電工程則多采用三芯電纜[2]。由于電纜運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜，發(fā)生故障后很難及時(shí)排查和檢修，因此，電力電纜運(yùn)行的安全性越來越受到重視[3]。

為確保電力電纜供電的可靠性，十分需要對(duì)電力電纜的運(yùn)行狀態(tài)實(shí)施在線監(jiān)測(cè)。但目前國(guó)內(nèi)外已有的電力電纜在線監(jiān)測(cè)方法，大多是通過測(cè)量間接反映電纜運(yùn)行特性的相關(guān)參數(shù)實(shí)現(xiàn)的，例如對(duì)電纜溫度、老化等參數(shù)進(jìn)行在線測(cè)量等[4-11]。間接測(cè)量往往存在較大延遲，且大多數(shù)間接測(cè)量方法不能確診電纜運(yùn)行故障的位置和類型，存在較大局限性。

為了更直接地實(shí)現(xiàn)對(duì)三芯電力電纜運(yùn)行狀態(tài)的監(jiān)測(cè)，一種較為可靠的方法，是對(duì)實(shí)際運(yùn)行中電纜各芯線的電流即三相系統(tǒng)的各相電流進(jìn)行測(cè)量。對(duì)單芯電纜，相電流測(cè)量原理與一般的穿心電流互感器無異。但對(duì)于三芯電纜而言，其在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，三相電流之和為零，因而穿過電纜表面任意橫截面的總磁通也為零，故不能用傳統(tǒng)感應(yīng)式方法測(cè)量相電流。

為了解決以傳統(tǒng)感應(yīng)式電流測(cè)量裝置無法測(cè)量出三芯電力電纜各相電流的難題，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于磁傳感器測(cè)量對(duì)稱三芯電纜相電流的新方法，即通過測(cè)量三芯電力電纜表面周向磁場(chǎng)的變化來實(shí)現(xiàn)對(duì)對(duì)稱三芯電力電纜中各相電流的有效測(cè)量。但文獻(xiàn)[12]僅給出了電纜中三根芯線對(duì)稱的情形，而實(shí)際輸電工程應(yīng)用中的三芯電纜，三芯分布受電纜類型、電纜加工工藝水平等影響，未必滿足三芯對(duì)稱的條件。電纜三芯非對(duì)稱情況若仍采用文獻(xiàn)[12]中的模型，勢(shì)必會(huì)造成測(cè)量結(jié)果的不準(zhǔn)確。鑒于此，本文試提出一種更為普遍的三芯電力電纜表面磁場(chǎng)解析模型及其計(jì)算方法，旨在將文獻(xiàn)[12]中論及的電纜三芯對(duì)稱的情形推廣至三芯任意分布的情形。如此，可更普遍地指導(dǎo)基于磁傳感器的三芯電力電纜相電流的測(cè)量。

1 三芯電纜表面磁場(chǎng)計(jì)算解析模型

建立解析模型所使用的三芯電纜的結(jié)構(gòu)見圖1，其中，電纜中心為O，A、B、C分別是電纜各芯線的位置，電纜中心到A、B、C芯線的距離分別為r1、r2和r3。不失一般性，可設(shè)y軸與OA重合，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，r1）。 電纜中心到 B、C兩芯線的矢量，即OB、OC與x軸的夾角分別為α、β，故B點(diǎn)的坐標(biāo)為（r2cosα，r2sinα），C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（r3cosβ，r3sinβ）。

計(jì)算時(shí)，A、B、C 三相電流分別為 IA、IB和 IC。SA、SB、SC分別為OA、OB、OC延長(zhǎng)線與電纜表面的交點(diǎn)，亦即磁傳感器的安裝位置。SA、SB、SC到電纜中心的半徑為R。根據(jù)安培環(huán)路定理，A相電流IA在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

其中μ0為真空磁導(dǎo)率。

圖1 三芯電力電纜結(jié)構(gòu)及各相電流的測(cè)量原理示意

方便起見，定義磁傳感器沿圓周方向?yàn)閚，沿徑向方向?yàn)閞，如圖1所示。顯然，式（1）中的磁場(chǎng)方向全部為n分量。類似地，B相電流IB在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式（2）所示的磁感應(yīng)強(qiáng)度BSA-B的方向?yàn)?/p>

故BSA-B沿n方向和r方向的分量分別為

同理，C相電流IC在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

BSA-C沿n方向和r方向的分量分別為

聯(lián)立式（1）、式（4）和式（7），可得 SA 處磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向的分量為

聯(lián)立式（5）和式（8），可得SA處磁感應(yīng)強(qiáng)度沿r方向的分量為

在求解SB、SC處的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，可將x和y坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。例如求解SB處的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，將y軸旋轉(zhuǎn)至與OB重合。此情況下，OC、OA與x軸的夾角分別為 β-α+90°、180°-α。用 β-α+90°、180°-α分別替代式（9）和式（10）中的α和β，并輪換相應(yīng)的相電流和 ri（i=1，2，3），可得到 SB 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向和r方向的分量分別為

同理，計(jì)算SC處的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，將y軸旋轉(zhuǎn)至與OC重合，OA、OB與x軸的夾角分別為180°-β、α-β+90°。 用 180°-β、α-β+90°分別替代式（9）和式（10）中的 α 和 β，并輪換相應(yīng)的相電流和 ri（i=1，2，3），可得SC處磁感應(yīng)強(qiáng)度沿n方向和r方向的分量分別為

2 模型仿真驗(yàn)證

圖2 計(jì)算實(shí)例1中A、B、C三相電流的波形

圖3 計(jì)算實(shí)例1中SA、SB、SC處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

圖4 計(jì)算實(shí)例1中SA、SB、SC處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜表面切向分量與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

為驗(yàn)證所構(gòu)建解析模型的正確性，采用兩個(gè)計(jì)算實(shí)例，并將所建立的解析模型與有限元仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。計(jì)算實(shí)例1為對(duì)稱模型，參數(shù)設(shè)置如下：R=45 mm，r1=r2=r3=20 mm，IA=IB=IC=100 A，α=210°，β=330°；A、B、C 三相芯線的半徑均為 12.5mm。

圖2為A、B、C三相工頻正弦電流的波形；圖3為SA、SB、SC 3個(gè)磁場(chǎng)極值點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度解析模型與有限元仿真計(jì)算的結(jié)果對(duì)比；圖4為SA、SB、SC 3個(gè)磁場(chǎng)極值點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜表面切向即n方向分量的解析模型與有限元仿真計(jì)算的結(jié)果對(duì)比；圖5為SA、SB、SC 3個(gè)磁場(chǎng)極值點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜表面垂直方向即r方向分量的解析模型與有限元仿真計(jì)算的結(jié)果對(duì)比。

從圖3～圖5不難看出，計(jì)算實(shí)例1中，解析模型與有限元仿真的計(jì)算結(jié)果非常一致，很好地驗(yàn)證了所構(gòu)建的解析模型在電力電纜三芯對(duì)稱情況下的準(zhǔn)確性。

為定量說明計(jì)算實(shí)例1中解析算法的準(zhǔn)確性，表1給出本文解析算法與有限元仿真模型的計(jì)算結(jié)果（SA、SB、SC處磁感應(yīng)強(qiáng)度及其沿電纜表面的切向和垂直分量）之間最大差量的絕對(duì)值?？梢?，采用本文提出的解析計(jì)算模型與有限元仿真模型計(jì)算所得三芯電纜表面磁場(chǎng)最大差量的絕對(duì)值均小于0.03mT，完全滿足三芯電纜在線監(jiān)測(cè)的準(zhǔn)確性要求。

表1 計(jì)算實(shí)例1的解析算法與有限元仿真模型的計(jì)算結(jié)果之間最大差量的絕對(duì)值

計(jì)算實(shí)例2為非對(duì)稱模型，具體參數(shù)設(shè)置如下：R=45mm，r1=20mm，r2=28.28 mm，r3=25 mm，IA=IB=IC=100A，α=225°，β=323.13°；A、B、C 三相芯線半徑均為12.5mm。

圖6 計(jì)算實(shí)例2中SA、SB、SC處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

圖7 計(jì)算實(shí)例2中SA、SB、SC處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜表面切向分量與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

圖8 計(jì)算實(shí)例2中SA、SB、SC處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜表面垂直分量與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

計(jì)算實(shí)例2仍采用圖2所示的三相工頻正弦電流波形；圖6為SA、SB、SC 3個(gè)磁場(chǎng)極值點(diǎn)處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比；圖7為SA、SB、SC 3個(gè)磁場(chǎng)極值點(diǎn)處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜表面切向即n方向的分量與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比；圖8為SA、SB、SC 3個(gè)磁場(chǎng)極值點(diǎn)處以解析模型計(jì)算出的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿電纜表面垂直方向即r方向的分量與有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。

從圖6～圖8可見，計(jì)算實(shí)例2中，解析模型與有限元仿真的計(jì)算結(jié)果也非常一致，如此，就驗(yàn)證了所提出解析模型在電力電纜三芯非對(duì)稱情況下的正確性。類似地，表2給出了計(jì)算實(shí)例2中以本文提出的解析算法進(jìn)行計(jì)算，與利用有限元仿真模型計(jì)算結(jié)果（SA、SB、SC處磁感應(yīng)強(qiáng)度及其沿電纜表面的切向和垂直分量）之間最大差量的絕對(duì)值。可見，兩模型計(jì)算所得三芯電纜表面磁場(chǎng)的最大差量的絕對(duì)值均小于0.02mT，完全滿足三芯電纜在線監(jiān)測(cè)的準(zhǔn)確性要求。

表2 計(jì)算實(shí)例2以解析算法與有限元仿真模型計(jì)算出結(jié)果之間最大差量的絕對(duì)值

3 結(jié)束語

針對(duì)文獻(xiàn)[12]中基于磁傳感器測(cè)量三芯電纜相電流法僅適用于電纜三芯對(duì)稱的情形，本文提出了一種更為普遍適用的三芯電力電纜表面磁場(chǎng)解析計(jì)算方法，其可將電纜三芯對(duì)稱推廣至更為普遍的任意分布的情形。通過有限元仿真計(jì)算，很好地驗(yàn)證了所建立解析模型的正確性。

所提出的解析模型，明確了磁傳感器的輸出量與三芯任意分布的電力電纜各芯線電流之間的量值關(guān)系，對(duì)基于磁傳感器原理、芯線非對(duì)稱分布三芯電力電纜的相電流測(cè)量和運(yùn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)均具有指導(dǎo)價(jià)值。

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（編輯：劉楊）

An analytical method for calculating the surface magnetic field for three-core electrical power cables

LI Shisong1，YUAN Yanling2，DONG Jie2，GAN Jingfu2，HUANG Songling1，ZHAO Wei1
（1.Department of Electrical Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China；2.Tangshan Electrical Power Company，Tangshan 063000，China）

Since the sum currents of three phases in the three-core cable is zero in steady state，traditional inductive current measurement methods， a current transformer， cannot measure the phase current.In order to solve this problem，this paper developed an analytical method for calculating the magnetic field on the surface of a three-core cable based on Maxwell equations which can be used for the generalized core contribution case rather than a symmetrical condition.Based on this analytical method，the phase current of the three-core cable can be represented by measurements of the magnetic field on the cable surface.The finite element simulations show that the presented analytical method has a good accuracy，and can be employed in future to realize an online power cable monitoring system.

electrical power cable；magnetic field calculation；analytical model；current measurement

A

1674-5124（2017）04-0095-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.04.020

2016-10-13；

2016-11-19

李世松（1987-），男，山東昌樂縣人，主要從事現(xiàn)代電磁測(cè)量和電磁計(jì)量方法研究。