高曉飛，李春書(shū)，齊立哲，閆堯

（1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300130；2.智通機(jī)器人有限公司研發(fā)部，天津301739）

6R輕量化關(guān)節(jié)機(jī)器人的靜剛度建模及分析

高曉飛1，李春書(shū)1，齊立哲2，閆堯1

（1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300130；2.智通機(jī)器人有限公司研發(fā)部，天津301739）

串聯(lián)機(jī)器人末端的形變對(duì)機(jī)器人作業(yè)的精準(zhǔn)性會(huì)產(chǎn)生影響，為了提高機(jī)器人的絕對(duì)定位精度，通過(guò)對(duì)6R輕量化關(guān)節(jié)機(jī)器人末端撓性變形的分析研究，綜合考慮了包括伺服電機(jī)傳動(dòng)變形和諧波減速器傳動(dòng)變形在內(nèi)的關(guān)節(jié)變形，以及機(jī)器人各個(gè)臂桿末端的彎曲變形、扭轉(zhuǎn)變形和拉伸變形，分別建立了機(jī)器人關(guān)節(jié)和臂桿的靜剛度模型.然后，分析了基于該剛度模型的關(guān)節(jié)變形和臂桿變形分別在機(jī)器人末端的映射關(guān)系，得到了機(jī)器人末端的總撓度變形.最后，基于機(jī)器人的剛度模型利用Matlab分析軟件對(duì)實(shí)例進(jìn)行分析，所得結(jié)果與其利用有限元分析的結(jié)果相對(duì)比，驗(yàn)證了靜剛度模型的正確性和有效性.其對(duì)輕量化機(jī)器人的設(shè)計(jì)分析及其運(yùn)動(dòng)控制具有指導(dǎo)作用.

輕量化串聯(lián)機(jī)器人；靜剛度模型；關(guān)節(jié)變形；臂桿變形；有限元分析

0 前言

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用.輕量化機(jī)器人相對(duì)于傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)器人來(lái)說(shuō)具有質(zhì)量輕、體積小、易裝配、控制靈活等特點(diǎn)[1]，但是在某些精度要求比較高的任務(wù)作業(yè)中機(jī)器人末端的撓度變形不能被忽略，特別是對(duì)于機(jī)器人末端絕對(duì)定位精度要求較高的工作任務(wù)，如醫(yī)療、精密裝配、噴涂等，必須將其末端變形控制在一定的范圍內(nèi).因此，輕量化機(jī)器人在負(fù)載作用下既要滿足強(qiáng)度要求，也要滿足剛度要求.

目前，對(duì)于機(jī)器人剛度分析的方法主要有3種：1）忽略關(guān)節(jié)變形，建立臂桿剛度，研究臂桿變形與末端形變的關(guān)系[2-3]；2）忽略臂桿變形，建立關(guān)節(jié)剛度，研究關(guān)節(jié)變形與末端形變的關(guān)系[4-6]；3）綜合考慮關(guān)節(jié)變形和臂桿變形在機(jī)器人末端的映射，建立整體的剛度模型，得出臂桿變形和關(guān)節(jié)變形分別與末端形變的映射關(guān)系[7-10].本文基于第3種研究方法針對(duì)6R關(guān)節(jié)機(jī)器人，通過(guò)建立關(guān)節(jié)和臂桿的靜剛度模型，分析了關(guān)節(jié)變形和臂桿變形在機(jī)器人末端的映射關(guān)系，得出機(jī)器人末端的總撓度變形，為了更好的研究臂桿的壁厚變化對(duì)于機(jī)器人末端變形的影響，通過(guò)對(duì)電機(jī)和減速器的選型，減小關(guān)節(jié)變形，在一定的精度要求范圍內(nèi)忽略了關(guān)節(jié)變形，只研究了臂桿桿徑的變化對(duì)于機(jī)器人變形的影響，并給出了驗(yàn)證.

1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)器人本體結(jié)構(gòu)分析

圖1所示的為6R關(guān)節(jié)式機(jī)器人，由腰部、大臂、小臂和腕部3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)組成.機(jī)器人關(guān)節(jié)由驅(qū)動(dòng)器、伺服電機(jī)、減速器和編碼器等零部件組成，各臂桿均為空心圓桿，可將控制線放于機(jī)器人內(nèi)腔中，使得整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔靈巧、裝配方便.機(jī)器人關(guān)節(jié)和臂桿的接口為模塊化接口，針對(duì)于不同的任務(wù)作業(yè)，能夠更換不同參數(shù)的關(guān)節(jié)和臂桿，具有廣泛的應(yīng)用前景.

1.2 連桿坐標(biāo)系的建立

采用D-H法建立6R機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系，如圖2所示，機(jī)器人各連桿的D-H參數(shù)如表1所示.

設(shè)iRi-1為相鄰桿系的變化矩陣，可表示為

圖1 機(jī)器人本體Fig.1 The mechanical arm body

機(jī)器人末端坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣表示為：

該矩陣可寫(xiě)成如式（2）表示的形式：

圖2 機(jī)器人坐標(biāo)系Fig.2 The mechanical arm coordinate system

式中：[nxnynz]T表示機(jī)器人末端x軸在基坐標(biāo)系中的方向矢量；[oxoyoz]T表示機(jī)器人末端y軸在基坐標(biāo)系中的方向矢量；[axayaz]T表示機(jī)器人末端z軸在基坐標(biāo)系中的方向矢量；[pxpypz]T表示機(jī)器人末端在基坐標(biāo)系中的位置矢量.

表1 連桿參數(shù)Tab.1 Parameters of connecting rod

2 靜剛度模型的建立

2.1 建立關(guān)節(jié)剛度模型

機(jī)器人末端的撓度變形主要來(lái)源于各關(guān)節(jié)變形和臂桿變形，針對(duì)于本課題研究的機(jī)器人，關(guān)節(jié)變形主要考慮諧波減速器傳動(dòng)變形和電機(jī)的傳動(dòng)變形，而臂桿變形主要考慮機(jī)器人臂桿的彎曲變形、拉伸變形和扭轉(zhuǎn)變形.

該機(jī)器人選用科爾摩根伺服電機(jī)，型號(hào)為KBM57和KBM43，該電機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度為

式中：t為電機(jī)的機(jī)械時(shí)間常數(shù)，s；J為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2.

減速器選用哈默納克諧波減速器，型號(hào)為HDSHD14-80和HDSHD17-50，其剛度K諧為

式中：T為傳遞扭矩；Ψ為轉(zhuǎn)角誤差.則關(guān)節(jié)的等效剛度K等效為

關(guān)節(jié)i的變形量Δδθi和所傳遞力矩τi的關(guān)系為

其寫(xiě)成矩陣形式，可表示為

建立速度雅可比矩陣Δ=JΔδθ和力雅可比矩陣σ=JTF，定義剛度矩陣為Kz=F/ΔX.

其中：F為機(jī)器人臂桿末端廣義力；ΔX為末端廣義變形，聯(lián)立可得

根據(jù)關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)組成得到關(guān)節(jié)變形在機(jī)器人臂桿末端的映射為

2.2 建立臂桿剛度模型

把機(jī)器人臂桿當(dāng)作一個(gè)彈性體處理，假設(shè)臂桿的材料均勻，各向同性，本構(gòu)關(guān)系滿足胡克定律，各桿的橫截面面積相等，不考慮偏心，桿的變形滿足柔性桿小變形假設(shè)理論[7]，柔性桿的變形包括拉伸變形、彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形，如圖3所示.

圖3 柔性桿變形Fig.3 Deformation of flexible rod

圖3中Δxi1和Δxi2分別表示臂桿在關(guān)節(jié)力Fxi、彎矩Mxi作用下產(chǎn)生的x方向的變形；Δyi1和Δyi2分別表示臂桿受到關(guān)節(jié)力Fyi、彎矩Myi產(chǎn)生的y方向的變形，Δli表示臂桿受到Fzi作用產(chǎn)生的z方向的變形，Δoi是由于臂桿受到扭矩Ti產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形.由胡克定律可以得到：

式中：Ai為臂桿截面面積；EIi為臂桿i的彎曲剛度；GIi表示扭轉(zhuǎn)剛度；且當(dāng)機(jī)器人臂桿的外徑為D，內(nèi)外徑比值為α?xí)r，彎曲慣性矩和扭轉(zhuǎn)慣性矩可分別表示為

機(jī)器人臂桿的剛度矩陣可表示為

則機(jī)器人臂桿的末端變形量的表達(dá)式為

如圖4所示，不考慮機(jī)器人末端形變時(shí)，機(jī)器人末端的坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系中的表達(dá)為Σ6，考慮機(jī)器人末端形變時(shí)，其末端坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系中的表達(dá)為Σ6′.設(shè)由Σ6到Σ6′的變換矩陣為ΔT，變形后的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣0R6′可表示為

圖4 末端坐標(biāo)系的撓度變形Fig.4 Deflection of end coordinate system

其中[ΔpxΔpyΔpz]T為機(jī)器人末端線形變量的矢量表達(dá)式.

利用通用旋轉(zhuǎn)變換[11]中的等效轉(zhuǎn)角可求得坐標(biāo)系Σ6′在坐標(biāo)系Σ6中的旋轉(zhuǎn)變換，即：

所以機(jī)器人臂桿變形在末端的映射為

根據(jù)線性疊加原理，機(jī)器人末端的總變形為

3 實(shí)例仿真分析和驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建剛度模型的正確性，下面通過(guò)實(shí)例仿真的方法進(jìn)行分析.如圖5所示的為機(jī)器人運(yùn)行過(guò)程中的1條曲線，末端負(fù)載為100 N，要求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)器人的重復(fù)定位精度不小于±0.1 mm，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)明顯振動(dòng).根據(jù)任務(wù)要求，現(xiàn)對(duì)機(jī)器人的剛度模型進(jìn)行分析，分析過(guò)程如下.

首先根據(jù)任務(wù)要求，初步選定機(jī)器人的臂桿參數(shù)，建立機(jī)器人的三維模型，然后導(dǎo)入到Adams中進(jìn)行仿真分析，得出機(jī)器人各關(guān)節(jié)所需的驅(qū)動(dòng)力矩大小τi，如圖6所示，根據(jù)仿真數(shù)值對(duì)機(jī)器人電機(jī)和減速器進(jìn)行選型，由于本文研究的機(jī)器人是模塊化的機(jī)器人，為了增加機(jī)器人末端承受負(fù)載的范圍，在電機(jī)進(jìn)行選型時(shí)應(yīng)盡量選擇電機(jī)扭矩變化范圍比較大的型號(hào)，得出了電機(jī)和減速器的性能參數(shù)，然后根據(jù)式（3）和式（4）計(jì)算出電機(jī)和減速器的剛度，再根據(jù)式（5）得出各個(gè)關(guān)節(jié)的等效剛度Kθi，根據(jù)式（8）、式（9）可得到機(jī)器人的關(guān)節(jié)剛度和機(jī)器人的關(guān)節(jié)變形在機(jī)器人末端的映射Kz和Δδθ.已知機(jī)器人的末端負(fù)載，根據(jù)動(dòng)力學(xué)逆解可以得到機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的力fi與力矩ni，選擇機(jī)器人的材料，確定彈性模量E和泊松比μ，根據(jù)式（10）可以得出機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)的臂桿變形Δδi，根據(jù)式（13）到式（14）可以得出機(jī)器人臂桿變形在機(jī)器人末端的映射Δδl.借助于Matlab計(jì)算軟件對(duì)該過(guò)程進(jìn)行編程計(jì)算，分別分析關(guān)節(jié)剛度和臂桿剛度對(duì)機(jī)器人剛度的影響，計(jì)算結(jié)果如表2所示.

圖5 曲線軌跡圖Fig.5 Curve trace

圖6 各關(guān)節(jié)力矩Fig.6 Each joint torque

從分析結(jié)果看，機(jī)器人的關(guān)節(jié)變形在機(jī)器人末端的映射值要小于機(jī)器人的設(shè)計(jì)要求，所以在分析過(guò)程中為了方便對(duì)臂桿變形的分析，忽略機(jī)器人的關(guān)節(jié)變形，只考慮機(jī)器人的臂桿剛度對(duì)機(jī)器人操作精度的影響.

選定機(jī)器人材料為鋁合金7075-T6，彈性模量為72 GPa，剪切模量為36.9 GPa，泊松比為0.33，屈服強(qiáng)度為505 MPa，密度為2 810 kg/m3.設(shè)定機(jī)器人的臂桿外徑相同，取值為100 mm，臂桿內(nèi)徑不同，取不同的值進(jìn)行驗(yàn)證.臂桿內(nèi)徑分別取95 mm，90 mm，85 mm，80 mm，建立不同參數(shù)的機(jī)器人的模型.結(jié)果如表3計(jì)算撓度所示.

表2 關(guān)節(jié)變形和臂桿變形在機(jī)器人末端的映射Tab.2 Mapping of joint deformation and bar deformation at the end of robot

表3 水平姿態(tài)下機(jī)器人桿的末端撓度Tab.3 The end deflection of the mechanical arm in horizontal posture

將不同的機(jī)器人模型導(dǎo)入到有限元分析軟件abaqus中，定義材料屬性，添加連桿之間的相互作用和載荷，建立分析步，劃分網(wǎng)格，進(jìn)行有限元分析，由圖7和圖8可以看出，機(jī)器人在臂桿伸展的位姿下產(chǎn)生的末端變形最大，對(duì)該位姿下的末端撓度變形進(jìn)行驗(yàn)證，在機(jī)器人末端y方向施加100 N的載荷，通過(guò)對(duì)相同外徑，不同內(nèi)徑臂桿的機(jī)器人進(jìn)行分析，得出如表2所示的數(shù)據(jù)，分析撓度為機(jī)器人在水平位姿下通過(guò)有限元分析得到的末端形變，計(jì)算撓度是通過(guò)Matlab將上述分析方法編程計(jì)算得出的機(jī)器人末端撓度，最大誤差是x、y、z3個(gè)方向的計(jì)算撓度和分析撓度之差與計(jì)算撓度的比值.圖9是機(jī)器人臂桿外徑為100mm，內(nèi)徑為90 mm時(shí)的分析結(jié)果.通過(guò)表2中的數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出分析結(jié)果與計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)基本一致，驗(yàn)證了剛度模型的正確性.

圖7 水平姿態(tài)形變分析結(jié)果Fig.7 Horizontal posture deformation analysis results

圖8 一般姿態(tài)形變分析結(jié)果Fig.8 Ordinary posture deformation analysis results

圖9 x、y、z方向形變分析結(jié)果Fig.9 The deformation analysis results for xyz-directions

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)變形和臂桿變形在機(jī)器人末端的撓度映射的研究，建立了機(jī)器人的關(guān)節(jié)剛度模型和臂桿剛度模型，得出了機(jī)器人臂桿的最終撓度變形，并通過(guò)Matlab軟件將分析過(guò)程編程，計(jì)算出不同臂桿參數(shù)對(duì)應(yīng)的機(jī)器人末端撓度大小，運(yùn)用有限元分析軟件和動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)機(jī)器人進(jìn)行的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能分析，結(jié)果驗(yàn)證有限元分析結(jié)果和計(jì)算結(jié)果的變化趨勢(shì)基本一致，驗(yàn)證了靜剛度模型的正確性和分析方法的有效性，為該類(lèi)型的機(jī)器人提供了有效的剛度分析方法.

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[責(zé)任編輯 田豐夏紅梅]

On static stiffness modeling of 6R lightweight joint robot

GAO Xiaofei1，LI Chunshu1，QI Lizhe2，YAN Yao1
（1.School of Mechanical Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China;2.R&D Department,Inersmat Robotic System Co Ltd,Tianjin 301739,China）

The precision of robot operation is affected by the end deformation of the serial robot.In order to improve the absolute positioning accuracy of robot,the static stiffness model of robot joints and arms is set up,through the analysis of the end deflection of lightweight 6R joint robot.The static stiffness model of robot joints and arms is concluded by considering not only the joints deformation which mainly considering the deformations of servo motor and harmonic reducer,but also the arm deformation which includes bending,twisting and stretching deformation.Then,based on the stiffness model, the total end deformation of robot is concluded by analyzing the mapping relations between the deformation of joints and arms and the end deformation of robot.Finally,based on the stiffness model of the robot,the Matlab analysis software is used to analyze the example,and the results are compared with the results of finite element analysis.It can be used to guide the design and motion control of lightweight robots.

lightweight serial robot;static stiffness model;joint deformation;arm deformation;finite element analysis

TP24

A

1007-2373（2017）03-0029-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.03.006

2017-02-24

河北省自然科學(xué)基金（E2014202114）

高曉飛（1989-），男，碩士研究生，413179162@qq.com.通訊作者：李春書(shū)（1962-），女，教授.