程松林 上海電機(jī)學(xué)院

關(guān)于應(yīng)用型本科院?！毒€(xiàn)性代數(shù)》課程教學(xué)內(nèi)容的思考

程松林 上海電機(jī)學(xué)院

《線(xiàn)性代數(shù)》是高等院校廣泛開(kāi)設(shè)的一門(mén)以矩陣計(jì)算為主要工具來(lái)研究線(xiàn)性方程組求解的基礎(chǔ)理論課程，也是工科各專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)如運(yùn)籌學(xué)、離散量數(shù)學(xué)、數(shù)值分析和矩陣分析等后續(xù)課程的知識(shí)儲(chǔ)備課程之一，更重要的是線(xiàn)性代數(shù)模塊是每年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)一到數(shù)三中的必考內(nèi)容，因此，《線(xiàn)性代數(shù)》課程的教學(xué)改革和方法創(chuàng)新一直受到各高等院校數(shù)學(xué)教研室老師的重視和關(guān)注。

線(xiàn)性代數(shù) 應(yīng)用型教學(xué)改革

相對(duì)于高等院校數(shù)學(xué)學(xué)院和數(shù)學(xué)系側(cè)重于矩陣?yán)碚摰耐茖?dǎo)和分析，我們應(yīng)用型本科院校更側(cè)重于矩陣計(jì)算的教學(xué)和實(shí)踐，另外由于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)時(shí)較少，如何在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)讓學(xué)生熟練掌握矩陣的常規(guī)計(jì)算方法和求解線(xiàn)性方程組等工具是我們?cè)谡n程設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)中一直思考的核心問(wèn)題。結(jié)合我?！凹夹g(shù)立校、應(yīng)用為本”的辦學(xué)方針，借鑒國(guó)內(nèi)外高校創(chuàng)新人才培養(yǎng)的模式，我們線(xiàn)性代數(shù)教研組對(duì)我?！毒€(xiàn)性代數(shù)》課程教學(xué)大綱和授課計(jì)劃內(nèi)容等做了如下的討論和探索。

函數(shù)是大學(xué)微積分課程的研究對(duì)象，基于函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)與微分、不定積分、定積分、微分方程、多元函數(shù)微分、重積分、曲線(xiàn)積分與曲面積分、差分方程和無(wú)窮級(jí)數(shù)等是其具體研究?jī)?nèi)容。相比較而言，線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象是矩陣，基于矩陣我們主要講解矩陣的基本運(yùn)算、矩陣的行列式和矩陣的初等變換三種計(jì)算方法，以期通過(guò)學(xué)習(xí)該課程后，我校工科和經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)學(xué)生能夠?yàn)楹罄m(xù)專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的計(jì)算基礎(chǔ)。為此，在新的教學(xué)大綱和授課計(jì)劃中和大部分其他高校線(xiàn)性代數(shù)課程不同的是，我們將矩陣章節(jié)提前到第一章講解，以超市四種食品銷(xiāo)量統(tǒng)計(jì)表和曾獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的列昂惕夫投入產(chǎn)出模型為切入點(diǎn)，自然引入矩陣的概念和常見(jiàn)的分類(lèi)，并形象地表現(xiàn)了矩陣表示數(shù)表相對(duì)于其他圖表容易計(jì)算和統(tǒng)計(jì)分析的優(yōu)勢(shì)。在第一章中，我們講解矩陣的加法、數(shù)乘、矩陣相乘、轉(zhuǎn)置和逆矩陣運(yùn)算以及各運(yùn)算的性質(zhì)。具體授課時(shí)要強(qiáng)調(diào)單位矩陣和零矩陣在矩陣運(yùn)算中的特殊之處，有些類(lèi)似于數(shù)的運(yùn)算中1和0的作用，加法運(yùn)算的前提是兩個(gè)矩陣必須是同型的，矩陣相乘是建立在第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)的條件下。另外矩陣的逆運(yùn)算為線(xiàn)性方程組Ax = b求解提供了一種新的方法，初步使得學(xué)生對(duì)矩陣的定義和基本運(yùn)算有了總體上的認(rèn)識(shí)和了解，為后續(xù)章節(jié)矩陣其他計(jì)算的學(xué)習(xí)和掌握做好了知識(shí)準(zhǔn)備。

在第二章節(jié)中，我們?cè)谡n程設(shè)計(jì)時(shí)以二元和三元線(xiàn)性方程組的消元法求解引入二階、三階行列式的定義，并通過(guò)遞歸方法定義n階行列式。這樣避免了非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生因?yàn)槟嫘驍?shù)的計(jì)算困難而無(wú)法理解行列式的實(shí)質(zhì)。在講授行列式的計(jì)算性質(zhì)時(shí)也是淡化證明，側(cè)重于舉例驗(yàn)證和說(shuō)明性質(zhì)的用途，尤其要強(qiáng)調(diào)行列式換行（列）反號(hào)、某一行（列）有公因子可以提到行列式之外和某一行（列）的倍數(shù)加到其他行（列）行列式值不變等三條性質(zhì)在行列式化上三角形過(guò)程中的熟練運(yùn)用。另外，通過(guò)三階行列式的定義和等價(jià)轉(zhuǎn)化，引入行列式按行（列）降階展開(kāi)的計(jì)算方法，尤其要注意降階前把某一行（列）除一個(gè)非零元素外其他元素都通過(guò)行（列）變換變成零，這樣才能更快地化成只有一個(gè)元素和它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積，從而更準(zhǔn)確計(jì)算出所求行列式結(jié)果。對(duì)于行列式的運(yùn)用主要體現(xiàn)在求逆矩陣和運(yùn)用克萊默法則求解線(xiàn)性方程組。相對(duì)于第一章待定系數(shù)法求解比較繁瑣外，通過(guò)行列式計(jì)算元素的代數(shù)余子式構(gòu)造伴隨矩陣法來(lái)求逆矩陣的過(guò)程體現(xiàn)了簡(jiǎn)便和實(shí)用性。同時(shí)，基于克萊默法則和行列式的計(jì)算，我們?cè)谙禂?shù)矩陣行列式不為零的前提下容易求得線(xiàn)性方程組的解。需要注意的是，通過(guò)逆矩陣和克萊默法則求解都是建立在方程組系數(shù)矩陣行列式不為零，即是系數(shù)矩陣可逆的前提下。

當(dāng)線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣不是方陣，或是方陣但不可逆時(shí)，逆矩陣法和克萊默法則求解線(xiàn)性方程組是失效的，第三章和第四章所講解的矩陣的初等變換，尤其是初等行變換方法應(yīng)運(yùn)而生。矩陣的初等變換方法不僅可以解決前兩種方法適用的場(chǎng)景，而且可以解決它們失效時(shí)的情形。講解時(shí)要重點(diǎn)介紹矩陣初等變換的三種操作和怎樣將一個(gè)矩陣通過(guò)行變換化成行階梯型、行最簡(jiǎn)形，初等矩陣相對(duì)于初等行變換的作用，推導(dǎo)出用右添單位陣、常數(shù)向量并行變換的方法分別求矩陣的逆矩陣和線(xiàn)性方程組的求解的思路方法。在介紹矩陣的秩模塊時(shí)，利用矩陣的最高階非零子式的階數(shù)來(lái)定義秩，另外解釋基于矩陣經(jīng)初等行變換后得到的行階梯型非零行的函數(shù)來(lái)計(jì)算矩陣的秩的合理性，為運(yùn)用線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩的大小比較來(lái)判斷是否有解的判定定理引入做好了基本理論知識(shí)的鋪墊。

其實(shí)運(yùn)用矩陣的初等行變換方法能夠求解所有情況下的線(xiàn)性方程組求解，第四章我們講授向量組的線(xiàn)性相關(guān)性和線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)，主要是基于前面求解線(xiàn)性方程組的通解表達(dá)式形式上來(lái)思考如何通過(guò)求得有限個(gè)特解（非齊次方程組的特解和對(duì)應(yīng)齊次方程組的特解）來(lái)構(gòu)造通解。課堂上要強(qiáng)調(diào)在要保證對(duì)應(yīng)齊次方程組的特解“最具有代表性”，我們要探討其特解向量組的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性和最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)性，從而求得齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解表達(dá)式。最后運(yùn)用非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，求得非齊次方程組的通解表達(dá)式。

由于學(xué)時(shí)受限，應(yīng)用型本科院?！毒€(xiàn)性代數(shù)》課程旨在為理工科和經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)學(xué)生傳授一種矩陣計(jì)算工具并能夠?qū)W以致用。如何通過(guò)實(shí)例和背景引入有效啟發(fā)學(xué)生理解每一種運(yùn)算定義和性質(zhì)，并激發(fā)他們?cè)跀?shù)學(xué)建模過(guò)程中運(yùn)用矩陣計(jì)算解決所需要解決的問(wèn)題，值得我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者一直不斷的思考和探索。