張新春

選擇十進(jìn)制，顯然與人類長(zhǎng)有10個(gè)手指頭有關(guān)。這一點(diǎn)亞里士多德早就注意到了。在《問(wèn)題集》XV卷里，亞里士多德給出了人類采用十進(jìn)制的各種可能的解釋。其中有的與畢達(dá)哥拉斯有關(guān)，畢氏學(xué)派認(rèn)為10是一個(gè)完美的數(shù)，并給它披上神秘的外衣。首先，10是最小的4種類型的數(shù)之和：1+2+3+4=10，其中1非素?cái)?shù)也非合數(shù)，2是偶素?cái)?shù)，3是奇素?cái)?shù)，4是合數(shù)。另一種解釋是1代表點(diǎn)，2代表線（兩點(diǎn)確定一條直線），3代表面，4代表體……。最后，亞里士多德指出：是否因?yàn)槊總€(gè)人都有10個(gè)手指？事實(shí)上，前面幾種解釋都難以站住腳。

其實(shí)，在位值制記數(shù)法中，以哪個(gè)數(shù)為基并不是本質(zhì)問(wèn)題。因此，除了十進(jìn)位值制記數(shù)法外，還有非十進(jìn)位值制記數(shù)法。

以下一段摘自丹齊克的《數(shù)，科學(xué)的語(yǔ)言》（上海教育出版社）。

設(shè)想：要是人類沒有屈伸自如的手指，而只有兩只“不分關(guān)節(jié)”的禿拳，整個(gè)文化史會(huì)成個(gè)什么樣子？這是一個(gè)有趣的問(wèn)題。在這種情形之下，假如最終也發(fā)展出某種記數(shù)法的話，它很可能是二進(jìn)制的。

人類采用十進(jìn)制即是一種生理上的湊巧。如果相信從一切事物里都可以看出上帝的匠心，就不得不承認(rèn)上帝是一位蹩腳的數(shù)學(xué)家。因?yàn)槭M(jìn)制的基底除了生理上的優(yōu)點(diǎn)外，本身沒有多少可以稱道之處。幾乎一切其他的基底，除了9以外，都和它一樣高明，也許還強(qiáng)一些。

老實(shí)說(shuō)，如果讓一群專家來(lái)選擇基底的話，我們也許會(huì)看到實(shí)用家和數(shù)學(xué)家之間的爭(zhēng)論。實(shí)用家堅(jiān)持要用有最多因數(shù)的數(shù)，如12為基底；而數(shù)學(xué)家則要用質(zhì)數(shù)，如7或11為基底。事實(shí)上，18世紀(jì)后期的大博物學(xué)家布封曾經(jīng)提議舉世公用十二進(jìn)制。他指出：12有4個(gè)除數(shù)，而10只有2個(gè)。他堅(jiān)持說(shuō)，正是由于我們的十進(jìn)制，世世代代以來(lái)，人們都感到極為不便，所以雖然10是舉世公用的基底，而在大多數(shù)的度量衡中，都有以12為基底的輔助單位。

不管我們委托選擇基底的賢人們決定采用質(zhì)數(shù)還是合數(shù)作基底，我們敢肯定，10甚至是根本不會(huì)被考慮的，因?yàn)樗确琴|(zhì)數(shù)，又不含足夠多的因數(shù)。

在非十進(jìn)位值制中，最有特點(diǎn)的應(yīng)該是二進(jìn)制。相對(duì)于十進(jìn)制需要用10個(gè)數(shù)碼來(lái)說(shuō)，二進(jìn)制需要的數(shù)碼少得多，只需0和1兩個(gè)。比如，十進(jìn)制的6用二進(jìn)制表示就是1102，其中的下標(biāo)2即表明這個(gè)數(shù)是二進(jìn)制，從而區(qū)別于十進(jìn)制的110。最高位上的1表示為1個(gè)22，即1個(gè)4（若按十進(jìn)制的說(shuō)法，應(yīng)該把這個(gè)數(shù)位叫“四位”）。而右起第二位（應(yīng)該叫“二位”）上的1表示為1個(gè)21。右起第一位（還叫“個(gè)位”）的記數(shù)單位為20。一般地，任意一個(gè)大于0的自然數(shù)N都可以表示為：

這里確實(shí)只用了“一一得一”這一句口訣。

正因?yàn)槭褂梅?hào)少，運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單，二進(jìn)制記數(shù)法在計(jì)算機(jī)中普遍使用。使用二進(jìn)制必須付出的一個(gè)代價(jià)是：一個(gè)數(shù)寫出來(lái)很長(zhǎng)！比如，一千零九十三，用十進(jìn)制記為1093，而用二進(jìn)制則要記成10001000101。人類愿意在小時(shí)候多學(xué)幾個(gè)符號(hào)，多記幾句口訣，也不愿意把數(shù)寫得這么長(zhǎng)。而計(jì)算機(jī)則恰好相反：一個(gè)符號(hào)就需要用一種物理狀態(tài)表示，找到10種穩(wěn)定的物理狀態(tài)畢竟太難，而有兩種穩(wěn)定狀態(tài)的東西就多了，比如開關(guān)的斷開與閉合、電位的高與低、晶體管的導(dǎo)通與截止等，都可分別用0與1表示。簡(jiǎn)單的計(jì)算規(guī)則對(duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)也是非常重要的。而計(jì)算機(jī)恰恰不在乎多用幾個(gè)位置記錄一個(gè)數(shù)，于是數(shù)被記成很長(zhǎng)對(duì)它來(lái)說(shuō)影響不大。

二進(jìn)制數(shù)與偉大的萊布尼茨密切相關(guān)。萊布尼茨是與牛頓分享微積分發(fā)明權(quán)的數(shù)學(xué)家。與牛頓不同的是，他是一位“樣樣皆通的大師”，“可以說(shuō)萊布尼茨不止活了一生，而是活了好幾世。他作為一個(gè)外交官、歷史學(xué)家、哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，在每一個(gè)領(lǐng)域中都完成了足夠普通人干一輩子的事情”。（[美]E·T·貝爾，數(shù)學(xué)大師，上?？萍冀逃霭嫔?，2004）用拉普拉斯的話來(lái)說(shuō)，“萊布尼茨在他的二進(jìn)位算術(shù)中看到了宇宙創(chuàng)始的形象。他想象1代表上帝，而0代表虛無(wú)，上帝從虛無(wú)中創(chuàng)造出所有的實(shí)物，恰如在他的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中用1和0表示了所有的數(shù)”。