金啟勝, 周宗福

(1.安慶師范大學(xué),安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 安慶 246003;2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230039)

一類半線性橢圓型方程組邊值問(wèn)題的可解性

金啟勝1, 周宗福2

(1.安慶師范大學(xué),安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 安慶 246003;2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230039)

利用極大值原理和Holder,Poincare不等式,證明了一類半線性橢圓型方程組解的非負(fù)性和唯一性.在此基礎(chǔ)上,又利用連續(xù)統(tǒng)理論證明了該邊值問(wèn)題有且僅有唯一的正解,推廣了該邊值問(wèn)題可解性的結(jié)論.

連續(xù)統(tǒng);緊正算子;極大值原理;正解

1 引言

考察一類半線性橢圓型方程組:

其中

λ>0為實(shí)參數(shù).則問(wèn)題 (2)存在起始于 (0,0),延拓出的解 (λ,U)的連續(xù)統(tǒng)

引理 1.1[1]設(shè)Z是一個(gè)Banach空間,T:R+×Z→Z是一個(gè)連續(xù)映射,則非線性特征值問(wèn)題:

有一個(gè)相會(huì)于(0,0)∈R+×Z的解的無(wú)界連續(xù)統(tǒng).引理1.1證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1].

引理1.2[2](極大值原理)設(shè)Z是一個(gè)Banach空間,正錐K?Z,:Z→Z是一個(gè)線性算子,所謂極大值原理就是對(duì)于問(wèn)題U?U+H,U∈Z,在H≥0時(shí),即H∈K時(shí),能推出它的解U≥0.

引理1.3[2]設(shè):Z→Z是一個(gè)線性緊正算子,若由條件{U∈Z,t∈[0,1],U=tU}能推出U=0,則問(wèn)題U?U+H,U∈Z滿足極大值原理.

引理1.2、引理1.3證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2].

2 主要結(jié)果及證明

該問(wèn)題與問(wèn)題(1)同解.

引進(jìn)范數(shù)

λ1為Dirichlet條件下-?在?里的第一特征值.

定理 2.1[3-4]如果|G(x)<λ1,那么問(wèn)題(4)的解非負(fù).

因?yàn)锳(x)各項(xiàng)非負(fù)連續(xù),所以L?1A(x)仍然是緊正算子.故問(wèn)題(5)等價(jià)于:

將第k個(gè)方程兩邊乘以u(píng)k,k=1,2,···,n,并且在?上積分,利用格林公式可得

使用Holder不等式和Poincare不等式,可進(jìn)一步得到:

把上面各式相加得到:

從而U≡0.又因?yàn)镠(x)≥0,根據(jù)引理1.2和引理1.3可得到問(wèn)題(4)的解U≥0.從而問(wèn)題(1)的解非負(fù).

定理 2.2如果問(wèn)題(4)有解,那么其解必唯一.

證明不妨設(shè)U1,U2是問(wèn)題(4)的兩個(gè)解,則X=U1?U2滿足方程:

這和問(wèn)題(5)在t=1時(shí)等價(jià).和定理1證明方法一樣,可得到X=0.所以U1=U2.由問(wèn)題(4)的解唯一可得到問(wèn)題(1)的解也唯一.

定理 2.3[6]如果|G(x)|<λ1,那么問(wèn)題(1)有一個(gè)正解.

證明設(shè)定義范數(shù)

則是一個(gè)Banach空間.根據(jù)定理2.1的證明可知,L?1:Z→Z是一個(gè)線性緊正算子.

在R+×Z里考慮方程:

因?yàn)長(zhǎng)?1A,L?1H 為緊算子,由引理1.1可知,有一個(gè)相會(huì)于(0,0)∈R+×Z的解的無(wú)界連續(xù)統(tǒng) W 存在.因?yàn)?hk(x),k=1,2,···,n中至少有一個(gè)大于零,所以如果有 (λ,0)∈W,那么 λ=0.顯然 (U,0)∈W,所以 U=0.所以與R+×{0}|W相交于(0,0).如果λ≤1,根據(jù)定理2.1的證明可知,問(wèn)題(10)的每一個(gè)解都是正的.因?yàn)閃 無(wú)界，所以W可能.

分三種情況討論:

(Ⅰ)W 關(guān)于λ無(wú)界;

(Ⅱ)W 關(guān)于U無(wú)界;

(Ⅲ)W 關(guān)于λ和U無(wú)界.

如果(Ⅰ)、(Ⅲ)成立,則 W 通過(guò)線{1}×Z,所以問(wèn)題(4)有正解,從而問(wèn)題(1)有正解.

設(shè) (λ,U)∈W,λ ≤1,所以 W 關(guān)于 U 無(wú)界.存在一個(gè)序列 (λn,Un)∈W,滿足

所以

所以V為問(wèn)題(11)的非平凡解.而λ0≤1,根據(jù)定理2.1證明可知V≡0,顯然矛盾.從而W通過(guò)線{1}×Z,問(wèn)題(4)有一個(gè)正解,故問(wèn)題(1)有一個(gè)正解.

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[7]Deimling K.Nonlinear Functional Analysis[M].Berlin:Springer,1985.

Solvability of a class of semi-linear elliptic equations boundary value

Jin Qisheng,Zhou Zongfu
(1.Anqing Normal University,Anqing Vocational and Technical College,Anqing 246003,China;2.School of Mathematics Science,Anhui University,Hefei230039,China)

In this paper,we proved the non-negativity and uniqueness of the solution to a class of semilinear elliptic equations with the maximum principle and Holder and Poincare inequality.On the basis of this theory,we prove that the boundary-value problem has only one positive solution according to continuum theory,generalizing the conclusion of the solvability of boundary-value problem.

continuum,positive operator,maximum principle,positive solution

O175.2

A

1008-5513(2017)03-0248-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.004

2017-01-21.

安徽省教育廳項(xiàng)目(2015jyxm539);安徽省自然科研項(xiàng)目(KJ2016A447).

金啟勝(1972-),碩士,副教授,研究方向：主要從事微分方程研究.

2010 MSC:35J55