李志星，石博強

（1. 北京科技大學(xué)機械工程學(xué)院，北京 100083； 2. 內(nèi)蒙古科技大學(xué)機械工程學(xué)院，包頭 014000）

自適應(yīng)奇異值分解的隨機共振提取微弱故障特征

李志星1,2，石博強1※

（1. 北京科技大學(xué)機械工程學(xué)院，北京 100083； 2. 內(nèi)蒙古科技大學(xué)機械工程學(xué)院，包頭 014000）

針對農(nóng)業(yè)機械設(shè)備在強背景噪聲下微弱故障特征難以提取的問題，提出一種基于自適應(yīng)奇異值分解的隨機共振微弱故障特征提取方法。首先，將原始信號奇異值分解并重構(gòu)得到分量信號，構(gòu)建互信息差分譜，權(quán)衡各分量信號對原始信號的貢獻率，自適應(yīng)選取有效奇異值個數(shù)，以克服已有方法人為主觀選擇或僅考慮奇異值大小等不足；其次，對選取的有效奇異值對應(yīng)的分量信號自適應(yīng)隨機共振，使其微弱故障特征增強；最后，對增強的分量信號統(tǒng)計學(xué)平均以提取微弱故障特征。仿真和軸承外圈故障試驗結(jié)果表明，該方法不僅克服了強背景噪聲下有效奇異值的選取困難，而且結(jié)合自適應(yīng)隨機共振，有效提取出仿真信號100 Hz和軸承外圈 155.5 Hz的故障特征頻率，因此，所提方法不僅能夠更好的增強微弱故障特征，而且分析結(jié)果優(yōu)于單純的奇異值分解和隨機共振方法。該文提出的方法不僅可適用于強噪聲背景下軸承的故障診斷，同時為農(nóng)業(yè)機械設(shè)備的軸承故障診斷提供參考。

振動；農(nóng)業(yè)機械；故障檢測；奇異值分解；互信息差分譜；微弱特征

0 引 言

近年來，隨著農(nóng)業(yè)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，農(nóng)業(yè)機械設(shè)備不斷向大功率、大型化、高速化方向發(fā)展，而軸承是農(nóng)業(yè)機械設(shè)備的重要部件之一，其故障嚴重危害設(shè)備的健康運行，嚴重情況下可能導(dǎo)致機毀人亡，因此，農(nóng)業(yè)機械設(shè)備的故障診斷越來越受到重視[1-3]。對其進行故障診斷時，利用振動信號提取故障特征是最常用的方法，但對于強背景噪聲干擾下的微弱故障特征往往難以提取[4-5]，因此，提取強背景噪聲下極低信噪比的微弱故障特征成為農(nóng)業(yè)機械軸承故障診斷的關(guān)鍵。

針對強背景噪聲下的微弱故障特征提取一般有2種方法。一種方法是從抑制或消除噪聲的角度提取微弱故障特征，如小波分析[6-8]，奇異值分解（singular value decomposition, SVD）[9-10]及總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[11-13]等，其中SVD在軸承故障診斷中具有優(yōu)異的降噪特性[14-15]，尤其是脈沖信號。趙學(xué)智等[16]提出奇異值分解與小波變換具有相似性并研究了奇異值分解的機理，何田等[17]用奇異值分解方法檢測信號中的突變信息，Kang等[18]利用奇異值分解對感應(yīng)電機提取故障，并利用支持向量機對故障分類，鄭安總等[19]通過奇異值分解尋找特征信號分量與噪聲強度相匹配的分量信號，以獲取強噪聲背景下的特征信號，以上研究均根據(jù)奇異值曲線選取k個奇異值，其余奇異值置0，奇異值的個數(shù)選擇取決于人為設(shè)定，奇異值選擇過多，會使有用信號混入過多噪聲，選擇過少，則使有用信號丟失，因此有必要研究一種有效奇異值的選擇方法。楊文獻等[20]利用奇異值熵增量選擇有效奇異值，需人為經(jīng)驗才能確定奇異值個數(shù)，趙學(xué)智等[21]通過構(gòu)造奇異值差分譜實現(xiàn)了自適應(yīng)選擇，但僅考慮奇異值的大小，容易使隱藏在強背景噪聲下的有用信號被移除，影響微弱故障的檢測結(jié)果，因此，有效奇異值選擇問題并未從根本上解決[22]。

另一種方法不是消除噪聲而是利用噪聲提高信噪比以提取微弱故障特征，主要是隨機共振理論。隨機共振最早由Benzi等[23]在研究古氣象冰川問題時提出，它與傳統(tǒng)降噪方法相比，反其道而行之，利用噪聲能量向微弱信號轉(zhuǎn)移，在增強微弱故障特征的同時削弱部分噪聲，由于隨機共振在強背景噪聲中提取微弱故障特征的優(yōu)良特性，成為近年眾多學(xué)者研究的熱點[24]。Li等[25]提出一種變步長隨機共振用于軸承的故障診斷，雷亞國等[26-28]利用蟻群算法優(yōu)化隨機共振參數(shù)，使隨機共振效果達到最優(yōu)，以上研究為檢測大參數(shù)信號[29-30]（不滿足信號幅值A(chǔ)<<1，噪聲強度D<<1，信號頻率f<<1的信號）及隨機共振參數(shù)優(yōu)化提供了理論依據(jù)，尤其對提取強背景噪聲下的微弱故障特征具有重要意義。

結(jié)合SVD降噪和隨機共振各自的優(yōu)勢，本文提出自適應(yīng)奇異值分解的隨機共振微弱故障特征提取方法。首先對含噪信號奇異值分解并重構(gòu)得到k個分量信號，然后構(gòu)造互信息差分譜，選取有效奇異值，對選取的有效分量自適應(yīng)隨機共振，通過有效分量信號合成并統(tǒng)計學(xué)平均，以期提取出強背景噪聲下的微弱故障特征。

1 SVD降噪原理

對于實矩陣A∈Rm×n（假設(shè)m>n），其奇異值分解存在正交矩陣U∈Rm×n和V∈Rm×n，以及矩陣，使得

式中σ1≥σ2≥σ3…σq>0稱為矩陣A的奇異值。其中q≤min(m, n)，U、V分別稱為矩陣A的左、右奇異矩陣。

對于實測信號X=[x(1)， x(2)， …， x(N)]，利用此信號構(gòu)造Hankel矩陣如下：

式中1

式中ui∈Rm×1，vi∈Rn×1，i=1,2,··,q, q=min(m, n)。設(shè)Ai的第一個行矢量用Pi,n表示，而Hi,n是Ai最后一個列矢量減去第一個元素后的子列矢量，將Pi,1和Hi,n的轉(zhuǎn)置首尾相接構(gòu)成一個分量信號Pi，寫成矢量形式：

其中，Pi,1∈R1×n，Hi,1∈R(m-1)×1，所有分量信號Pi的線性疊加構(gòu)成了原始信號X的分解，即：

2 隨機共振理論

隨機共振系統(tǒng)一般包括非線性系統(tǒng)、周期信號及噪聲，當(dāng)三者達到最佳匹配時共振現(xiàn)象最為明顯。常用的隨機共振模型是雙穩(wěn)系統(tǒng)，用Langevin方程可表示為：

式中a>0，b>0為系統(tǒng)參數(shù)，s(t)為周期信號，n(t)是零均值的高斯白噪聲，雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢函數(shù)為：

3 有效奇異值選擇和隨機共振方法的提出

3.1 構(gòu)建互信息差分譜

互信息（mutual information，MI）是信息理論中的基本概念，通常用于描述系統(tǒng)之間的相關(guān)性。根據(jù)奇異值分解理論可知，原始信號可分解成一組分量信號。分量信號A與原始信號B的互信息用公式表示為：

QA(a)、QB(b)分別為分量信號與原始信號的邊緣概率分布，其公式：

QAB(a,b)是分量信號與原始信號的聯(lián)合概率分布，用2個信號重疊區(qū)域的歸一化聯(lián)合直方圖表示。

各分量信號的互信息不僅體現(xiàn)對原始信號的貢獻率，而且包含強背景噪聲下的全部故障信息，原始信號各分量的互信息所形成的序列S=[MI1,MI2,··MIq]，為了描述互信息之間突變信息，引入互信息差分譜的概念：

其中i=1,2,··,q+1，所有λi形成的序列C=[λ1, λ2,··,λq-1]稱為互信息差分譜（difference spectrum of mutual information，DSMI）。文中將奇異值重構(gòu)得到分量信號，各分量信號中都有可能包含有用信號與噪聲成分，采用互信息差分譜選取有效奇異值，重點考慮各分量信號對原始信號的互信息，通過互信息突變選取有效奇異值。當(dāng)相鄰互信息差別較大時，互信息差分譜發(fā)生突變，即相鄰兩分量信號對原始信號的貢獻率發(fā)生突變，在整個差分譜序列中必有一個最大突變峰值ki，它不僅反映了分量信號與原始信號的貢獻率變化達到極大值，而且說明信號在性質(zhì)上發(fā)生了根本性變化，也就是有用信號與噪聲信號之間發(fā)生轉(zhuǎn)變的自然反映，即前k個分量信號為有用信號（對應(yīng)k個奇異值），其余為噪聲信號。

3.2 自適應(yīng)隨機共振

由于隨機共振僅適用于幅值、噪聲強度和頻率遠遠小于1的情形，為滿足小參數(shù)要求，首先將選取的k個有效分量信號（對應(yīng)k個奇異值）移頻變尺度處理，即設(shè)計一個頻率壓縮尺度R，將信號頻率壓縮，然后利用蟻群算法自適應(yīng)優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)a和b，在0

本文方法具體步驟如下：1）原始信號X重構(gòu)得到Hankel矩陣，求出N個奇異值σi；2）對每個奇異值σi重構(gòu)得到N個分量信號Pi；3）計算分量信號Pi與原始信號X的邊緣概率分布及聯(lián)合概率分布，得出各分量信號的互信息，并求取各分量信號對原始信號的貢獻率；4）計算各分量信號Pi的互信息差分譜，根據(jù)最大突變峰值ki選取有效分量，即選取有效奇異值個數(shù)；5）將選取的k個有效奇異值σi對應(yīng)的分量信號Pi移頻變尺度處理，使其滿足小參數(shù)要求；6）將移頻變尺度處理后的分量信號Pi輸入到隨機共振系統(tǒng)，利用蟻群算法自適應(yīng)優(yōu)化隨機共振的2個參數(shù)a和b，得到k個被增強的有效分量信號；7）計算k個有效分量信號的均值，最終提取微弱故障特征。

4 自適應(yīng)選取仿真信號的奇異值及特征提取

為了驗證所提方法的有效性，仿真一個周期信號[31]，采樣頻率為10 KHz，特征頻率是100 Hz，采樣時間是0.3 s，如圖1a所示。為了模仿強背景噪聲下的軸承故障信號，向周期信號加入標(biāo)準(zhǔn)差為0.5的高斯白噪聲，如圖1b所示。

圖1 仿真信號時域波形和頻譜圖Fig.1 Time domain waveform and spectrum of simulation signal

由于周期信號被強噪聲所淹沒，在圖1c頻譜中不能獲取周期信號的特征頻率，因此，采用奇異值分解降噪，構(gòu)建行列式為1 700×30的Hankel矩陣，得到30個從大到小依次排列的奇異值，如圖2a所示。為了獲取強噪聲背景下的有效奇異值，將所有奇異值重構(gòu)得到30個分量信號，根據(jù)式（8）得出30個分量信號的互信息，如圖2b所示。從圖2b中可知，每個分量信號互信息不同，而各分量信號互信息與所有分量信號互信息的百分比以貢獻率衡量，由此得出各分量信號對原始信號的貢獻率，如表1所示。

圖2 互信息差分譜選取的有效奇異值Fig.2 Difference spectra of mutual information select effective singular value

表1 奇異值重構(gòu)的分量信號對原始信號的貢獻率Table 1 Contribution rate of singular value reconstruction component signal to raw signal

由圖2a可知，序列號4具有較大奇異值，但對原始信號的貢獻率最小僅為0.7%；同理，序列號14也具有較大奇異值，但對原始信號的貢獻率為2.0%，與其他奇異值對原始信號的貢獻率相比數(shù)值較小，根據(jù)互信息差分譜選取有效奇異值的方法，在序列號3處突變最大，因此選取前3個奇異值為有用信號，即得到3個有效奇異值，說明序列號4和14雖然具有較大奇異值，但并非有用信號，即奇異值大不一定包含有用信息，在強噪聲背景下可能為噪聲干擾。根據(jù)選取的前3個奇異值分別重構(gòu)分量信號，每個分量信號的頻譜圖，如圖3a所示。

圖3 自適應(yīng)選取的分量信號頻譜Fig.3 Spectrum of adaptive selected component signal

由圖3a可知，分量信號P1和P2高頻段頻率比較明顯，但特征頻率不在其范圍內(nèi)，而分量信號P3在低頻段有明顯頻率，但無法識別目標(biāo)頻率，說明對于強背景噪聲下的微弱故障特征，僅SVD降噪難以提取出特征頻率，因此，將3個有效分量信號分別輸入到隨機共振，首先采用移頻變尺度處理，由于目標(biāo)頻率是100 Hz，載波頻率是1 000 Hz，因此設(shè)定高通濾波器的通過頻率和截止頻率是分別是90和85 Hz，調(diào)制頻率為85 Hz，變尺度壓縮率是400，則預(yù)處理后的目標(biāo)頻率被壓縮為0.0751，滿足小參數(shù)要求，利用蟻群算法在0<α<10，0

從圖3b可知，有效分量信號自適應(yīng)隨機共振處理后，強背景噪聲下的周期信號特征頻率被明顯增強，但每個有效分量隨機共振的最大譜峰頻率不同，P1、P2分量信號的最大譜峰頻率為100 Hz，P3分量信號的最大譜峰頻率為96.67 Hz，由于故障特征頻率被載波信號所調(diào)制，在頻譜中表現(xiàn)為以載波頻率為中心，以故障特征頻率為邊帶的一個共振頻帶，因此不能根據(jù)P1和P2判斷故障頻率，只能判斷是否存在共振頻帶，另外，有效分量信號的最大譜峰頻率并不都是目標(biāo)頻率，因此，將3個有效分量信號統(tǒng)計學(xué)平均得出最終頻譜圖，如圖4所示。

圖4 統(tǒng)計學(xué)平均的頻譜圖Fig.4 Spectra of statistical average

由圖4可知，通過統(tǒng)計學(xué)平均后部分噪聲被過濾，噪聲減少意味著干擾減少，從而要提取的故障特征頻率100 Hz被明顯凸顯出來，幅值為0.106 9，與周期信號的特征頻率完全相同，從而驗證了所提方法的有效性。

5 試驗驗證

試驗中采用Spectra Quest公司生產(chǎn)的機械設(shè)備故障綜合試驗臺，如圖5所示。信號則由IOtech公司生產(chǎn)的Zonic Book/618E 型數(shù)據(jù)動態(tài)系統(tǒng)采集，該設(shè)備由8個信號輸出通道，幅值精度可達±0.5 dB，試驗中采用ER-10k滾動軸承作為故障軸承，其幾何尺寸D=33.5，d=7.939 5 mm，α=0°， Z=8，采樣頻率為2 560 Hz，轉(zhuǎn)速為3 060 r/min，根據(jù)振動理論分析可知，軸承外圈的特征頻率是155.664 Hz，原始信號的時域和頻譜圖如圖6所示。

圖5 機械設(shè)備綜合故障試驗臺Fig.5 Comprehensive failure test of mechanical equipment

由圖6a原始信號時域波形可知，由于軸承外圈故障頻率被強背景噪聲所淹沒信噪比極低，看不出任何故障特征，而在頻譜圖6b中有明顯的轉(zhuǎn)頻50.52 Hz以及轉(zhuǎn)頻的4～9倍頻，但無法看到155.664 Hz的故障頻率，為了提取微弱故障特征，利用本文所提出的方法檢測軸承外圈故障，將原始信號構(gòu)建行列式為1 700×20的Hankel矩陣，得出20個奇異值序列，如圖7a所示。

圖6 原始信號的時域波形和頻譜Fig.6 Time domain waveform and spectrum of raw signal

圖7 互信息差分譜選取有效奇異值Fig.7 Difference spectra of mutual information selecting effective singular value

通過重構(gòu)奇異值獲取20個分量信號，利用式（8）求取各分量信號的互信息，如圖7b所示。由圖7b可知，每個分量信號互信息不同，序列號11和15具有相對較大的奇異值，但貢獻率較小，由表2可知，其值分別為3.8%和3.3%，且序列號15的互信息達到最小，而根據(jù)互信息差分譜選取有效奇異值的方法，在序列號10處出現(xiàn)最大突變，因此選取前10個分量信號為有效分量，即選取前10個奇異值為有效奇異值，而序列號11和15并非有效奇異值，從而通過試驗驗證奇異值較大不一定為有效奇異值，有可能為噪聲信息。根據(jù)選取的前10個有效奇異值重構(gòu)得到分量信號，隨機選取不同貢獻率的分量信號，即序號為2、3、6、8和10的分量信號作為分析樣本，對其頻譜分析，如圖8所示。

表2 軸承外圈信號奇異值重構(gòu)的分量信號對原始信號的貢獻率Table 2 Contribution rate of component signal by singular value reconstruction to raw signal for bearing inner ring

圖8 P2，P3，P6，P8，P10分量信號頻譜圖Fig.8 Spectrum of P2, P3, P6, P8, P10component signal

由圖8可知，各分量信號噪聲有所降低，但仍難以提取故障特征，同樣說明在信噪比極低情況下僅奇異值分解無法提取故障特征，因此將選取的5個有效分量樣本信號自適應(yīng)隨機共振。由于軸承外圈的故障特征頻率是155.664 Hz，首先采用移頻變尺度處理，設(shè)定高通濾波器的通過頻率和截止頻率分別是是154和150 Hz，調(diào)制頻率為150 Hz，變尺度壓縮率是400，則預(yù)處理后的目標(biāo)頻率被壓縮為0.014 16，滿足小參數(shù)要求，利用蟻群算法在0<α<10，0

圖9 P2，P3，P6，P8，P10分量信號自適應(yīng)隨機共振頻譜圖Fig.9 Spectra of P2, P3, P6, P8, P10component signal adaptive stochastic resonance

由圖9可知，強背景噪聲中的微弱故障特征被明顯增強， P2，P6，P8，P10分量信號自適應(yīng)隨機共振的最大譜峰頻率接近于故障頻率155.664 Hz，但最大譜峰頻率大小不同，P3分量信號自適應(yīng)隨機共振的最大譜峰頻率為161.9 Hz，與特征頻率155.664 Hz相差較大，不能真實反映軸承的外圈故障，因此將各有效分量信號合成并統(tǒng)計學(xué)平均得出最終的頻譜圖，如圖10所示。

圖10 統(tǒng)計學(xué)平均頻域圖Fig.10 Spectra of statistical average

由圖10可知，最大譜峰頻率是155.5 Hz，與隨機選取分量信號自適應(yīng)隨機共振的最大譜峰頻率相比，統(tǒng)計學(xué)平均的最大譜峰頻率辨識度更高，更接近于軸承外圈故障頻率155.664 Hz，因此，利用統(tǒng)計學(xué)平均隨機共振比單個分量信號的隨機共振效果更優(yōu)，更接近于特征頻率，從而通過試驗再次驗證了所提方法的有效性。

6 結(jié) 論

提出了自適應(yīng)奇異值分解的隨機共振微弱故障特征提取方法，可有效提取強背景噪聲下的微弱故障特征。

1）通過構(gòu)造互信息差分譜，提出了一種有效奇異值選擇方法。該方法考慮分量信號與原始信號的貢獻率，一方面防止了有用信號的剔除；另一方面實現(xiàn)了自適應(yīng)選取，有效避免人為選擇的主觀性。另外，利用互信息差分譜，在仿真和軸承外圈信號中分別得出在序列號3和序列號10發(fā)生突變，因此，可分別選取3個和10個有效奇異值。

2）由于強背景噪聲的存在，較大的奇異值可能有較小的互信息，但并非是有效奇異值，說明奇異值較大不一定包含有用信息，有可能是噪聲干擾，因此有效奇異值的選擇不應(yīng)以奇異值的大小作為判定依據(jù)。

3）由于強背景噪聲下信噪比極低，僅通過奇異值分解不能提取微弱故障特征，而利用隨機共振提取分量信號的故障特征，最大譜峰頻率大小不同，本文將兩者結(jié)合，不僅克服了強背景噪聲下有效奇異值的選取困難，而且能夠更好的增強微弱故障特征，通過仿真和軸承外圈試驗有效提取出100和155.5 Hz的微弱故障特征，從而得出該方法提取效果優(yōu)于單純的奇異值分解和隨機共振方法。

該研究可廣泛應(yīng)用于強噪聲背景下的軸承故障診斷，可對農(nóng)業(yè)機械及大功率、高轉(zhuǎn)速設(shè)備的軸承故障診斷提供參考。

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Extracting weak fault characteristics with adaptive singular value decomposition and stochastic resonance

Li Zhixing1,2, Shi Boqiang1※
(1. School of Mechanical Engineering, University of Science & Technology Beijing, Beijing 100083, China; 2. School of Mechanical Engineering, University of Science & Technology Inner Mongolia, Baotou 014000, China)

Bearings are the important component of agricultural machinery and equipment, whose failure may seriously endanger the healthy operation of equipment and even lead to bodily injury. So the fault diagnosis of agricultural machinery and equipment gains more and more attention. Using the vibration signal to extract the fault characteristics is the most common method, but it is difficult to extract the weak fault characteristics in strong background noise. Therefore, the extraction of weak fault characteristics with very low SNR (signal-to-noise ratio) under strong background noise becomes the key to the fault diagnosis of agricultural machinery bearings. There are 2 general methods for weak feature extraction under weak background noise. One method is to extract weak faults from the perspective of suppressing or eliminating noise. The other one is not to eliminate noise but using noise to improve the SNR to extract the weak fault characteristics, such as stochastic resonance (SR) theory. Compared to the traditional noise reduction method, SR makes use of noise energy transfer to weak signal, so the weak fault characteristics are enhanced while some of the noises are weakened. Because of the excellent features of extracting weak fault characteristics in strong background noise, SR has become a hot topic for many scholars in recent years. In this paper, the weak fault characteristics extraction method of SR based on adaptive SVD (singular value decomposition) was proposed. In the method, firstly, the original signal was decomposed by singular value and reconstructed to obtain the component signal; the difference spectrum of mutual information was constructed, the mutual information of each component signal and the original signal was weighed, and the number of valid singular values was selected adaptively, in order to overcome the problem of existing methods including human subjective choice or only considering the size of singular values and other deficiencies. Using the mutual information difference spectrum, 3 and 10 effective singular values were obtained in the simulation signal and bearing outer ring signal, respectively. Secondly, the adaptive SR was performed for the component signal corresponding to the selected effective singular value which enhances weak fault characteristics. Finally, the enhanced component signals were statistically averaged to extract the weak fault characteristics. In this paper, constructing the mutual information differential spectrum, and considering the mutual information of the component signal and the original signal, on the one hand, it avoids the elimination of the useful signals; on the other hand, the adaptive selection is realized which avoids the subjectivity of the artificial selection. In addition, due to the presence of strong background noise, the larger singular value may have smaller mutual information, but it is not valid singular value. It indicates that large singular value does not necessarily contain useful information, and there may be noise interference. Hence, the selection of effective singular values should not be based on the size of the singular value. The above analysis shows that it is difficult to extract the weak fault characteristics by SVD in strong background noise. We combine the 2 methods to process the effective component signal selected by mutual information difference spectrum in SR, and the maximum spectral frequency of each component is obtained. The statistical average is used to achieve noise filtering in order to highlight the characteristics of weak fault frequency. The results of simulation and bearing outer ring test show that, the proposed method is superior to the SVD and SR method. The method can effectively extract 100 and 155.5 Hz weak fault characteristics respectively for simulation signal and bearing outer ring signal. The proposed method can be applied not only to the fault diagnosis of bearing in strong noise background, but also to provide reference for bearing fault diagnosis of agricultural machinery and equipment.

vibrations; agricultural machinery; fault detection; singular value decomposition; difference spectrum of mutual information; weak characteristic

10.11975/j.issn.1002-6819.2017.11.008

TN911.72

A

1002-6819(2017)-11-0060-08

李志星，石博強. 自適應(yīng)奇異值分解的隨機共振提取微弱故障特征[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2017，33(11)：60－67.

10.11975/j.issn.1002-6819.2017.11.008 http://www.tcsae.org

Li Zhixing, Shi Boqiang. Extracting weak fault characteristics with adaptive singular value decomposition and stochastic resonance[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2017, 33(11): 60－67. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2017.11.008 http://www.tcsae.org

2016-12-13

2017-05-10

國家自然科學(xué)基金資助項目（51075029）

李志星，男（漢族），河北衡水人，博士生，講師，主要從事機械設(shè)備故障診斷的研究。北京 北京科技大學(xué)機械工程學(xué)院，100083。

Email：onyxlzx@126.com

※通信作者：石博強，男（漢族），河北唐山人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事機械設(shè)備故障診斷、機械可靠性研究。北京 北京科技大學(xué)機械工程學(xué)院，100083。Email：shiboqiang@ustb.edu.cn