李翔云

吉林省長春市農安實驗中學

如何使用導數(shù)研究函數(shù)的性質

李翔云

吉林省長春市農安實驗中學

函數(shù)作為當今數(shù)學高考的熱點，也是高中生數(shù)學學習的難點之一，在新課程學習和高三數(shù)學復習中都備受關注。而如何開展變式教學，則是函數(shù)性質研究中的重點所在。教學過程主要是通過數(shù)學問題來創(chuàng)設問題情境，從根本上激發(fā)學生進行學習、探討，感受不同背景下函數(shù)問題的本質，利用對函數(shù)零點典型問題加以求解，從而讓學生形成相應的數(shù)學技能，實施變式教學。本文就如何通過導數(shù)來研究函數(shù)性質展開論述。

導數(shù)；函數(shù)性質

隨著新課程標準的提出和推廣，高中數(shù)學教學方法也開始實現(xiàn)不斷創(chuàng)新和改進。“變式教學”作為當前運用較為普遍的一種方法，之前人們都將變式教學劃分成過程性和概念性兩種，但是，隨著教學思想的不斷改進，如今的變式教學開始分為原理和概念、數(shù)學技能、數(shù)學方法等幾種[1]。對于高中生來說，變式教學比較注重讓教師有意識、有目的地引導學生從“變化”現(xiàn)象探究到“不變”的本質，協(xié)助學生對所學的知識進行融會貫通，讓學生在變化的知識點鐘領略到教學的魅力所在，體會到高中數(shù)學知識點的魅力所在。從最近幾年高考數(shù)學例題中不難發(fā)現(xiàn)，通過導數(shù)求解函數(shù)屬于熱點。本文將問題作為導引，在求解函數(shù)零點探究中開展變式教學，讓學生能夠更加適時地總結、歸納規(guī)律，感受到數(shù)學知識的認知結構。

一、通過問題導引來領會問題本質

數(shù)學問題求解作為數(shù)學學習的主要活動之一，也是學生對定理、概念繼續(xù)學習的過程，而問題解決過程其實在一定程度上就是知識點之間的聯(lián)系和生成，知識結構之間的生成，要想成功的解決各種數(shù)學問題，就要能夠利用充分的數(shù)學知識和知識體系。教師在教學期間要能夠善于創(chuàng)設各種情境，解釋數(shù)學知識點之間的內在邏輯關系、本質特征，協(xié)助學生在探究問題過程中依托自己的思維來深刻理解各種知識點，體會到問題的本質[2]。

例如2012年天津文科高考題：

函數(shù)f（x）=（1/3）x3+1-（a/2）x2-ax-a（a＞0,x∈R）

函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2,0）內有兩個零點，求a的取值范圍。

設函數(shù)f（x）=x3-（9/2）x2+6x-a，若f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍。

已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖像和x軸有兩個公共點，則c為多少。

上面三個問題都是將三次函數(shù)作為背景，從方程實根、函數(shù)零點、圖像交點等知識點入手來求得相應的取值，從表層來分析，似乎是三個不同的題目，為了能夠對問題的背景加以分析，新課程中學教材對函數(shù)零點給予全新的定義，例如函數(shù)y=f（x）（x∈D），使f（x）=0的實數(shù)x就是函數(shù)y=f（x）（x∈D）零點。

從定義中不難得到函數(shù)y=f（x）的零點所對應的就是方程f（x）=0實數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸相交的橫坐標。通過進一步研究不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）有零點，方程f（x）=0。從上述解析中不難發(fā)現(xiàn)三個問題能夠互相等價轉化，也就是說三個問題的實質一樣。將函數(shù)作為背景來考察方程實根分布、零點、圖像交點等問題，這也是教學過程中價值較高的問題，只有綜合對解題規(guī)律進行探討，并將其作為突破，才能夠獲得更大的進展。

二、探討典型，形成技巧

函數(shù)零點作為新課程標準新增加的內容，在對簡單函數(shù)零點進行求解時，可以通過二分法、定義來實現(xiàn)，也可以通過零點存在、函數(shù)圖象等定理來判斷相關狀況[3]。針對三次多項式函數(shù)、含有超越函數(shù)式的零點求解問題而言，其相對復雜，通過一般方法難以解決，要能夠綜合利用多種方式才能夠得以解決。

例如求方程x3-6x2+9x-10=0的實跟個數(shù)過程中，若直接對方程進行求解存在較大的難度，可以在同一坐標中畫出y=x3和y= 6x2-9x+10，并觀察交點情況，判斷原方程的實根個數(shù)，通過導數(shù)來進行研究，在推廣價值更加明顯。

設y=x3-6x2=9x-10，求導數(shù)，得到y(tǒng)’=3x2-12x，令y’=0，從而得到x1=1，x2=3。

解答該題的主要啟示為通過求解函數(shù)導數(shù)，來對其極值、單調性展開研究，利用等價轉化、數(shù)形結合等方式來確定函數(shù)圖象和x軸的交點情況，明確原方程根情況，從而為同類問題解決提供指導和依據(jù)。

三、主要考點歸納總結

函數(shù)作為高中數(shù)學主干知識，其衍生概念和相關概念較多，函數(shù)思想在高中數(shù)學不同板塊知識中的應用也相對廣泛。所以，高考理科函數(shù)考點相對較多，考查的形式也較為多樣化。2015年高考借助不同的題型來考查函數(shù)性質、概念、圖像、初等函數(shù)等，函數(shù)模型和應用等。

首先是對函數(shù)的概念、性質進行考察，函數(shù)概念和性質作為歷年來高考的重點考查對象，包括函數(shù)定義域、值域、單調性、奇偶性，有時也需要結合其他知識來考查函數(shù)性質。

其次，考查基本初等函數(shù)，初等函數(shù)的基礎為對數(shù)函數(shù)，也是函數(shù)研究過程中典型的對象。高考理科數(shù)學則是通過對基本初等函數(shù)的性質和應用加以考察，分析學生應用知識解決相關問題的能力。

最后考查的是函數(shù)和方程。函數(shù)和方程思想作為當前高中生需要掌握的主要函數(shù)思想，高考中獎函數(shù)作為零點、方程根存在的問題為主要的考查點，重點考察函數(shù)和方程之間的關系，利用相對應的函數(shù)性質和圖像來解決問題，也是高考的重點考察。

結語

總而言之，高三學生的經驗積累和知識結構相對完善，其思維水平也逐漸綜合化，能夠從不同側面、不同角度來思考問題[4]。在備考期間，教師可以將適當問題作為研究背景，激發(fā)學生從多方位、多角度來探究問題，加強對問題的理解程度，并且在解題過程中善于將完成的題目進行反思，理清問題的解決方法，對解題思路進行優(yōu)化，提升學生的綜合解題素質，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力和應變能力，讓他們在高考數(shù)學中取得優(yōu)異的成績。

[1]劉君,陳慶文.“利用導數(shù)求函數(shù)單調性”的教學設計[J].才智, 2014,13:169.

[2]貝淑坤,朱路進,劉春平.利用導數(shù)求反三角函數(shù)的解析式[J].教育教學論壇,2014,28:94-95.

[3]林順來,楊朝熙.初等函數(shù)值域（最值）的導數(shù)求法[J].福建教育學院學報,2015,02:55-58.

[4]羅寶華,顧艷紅.一類形如f（x）|g（x）|函數(shù)的導數(shù)求法[J].科教文匯（下旬刊）,2012,10:85.