遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 成建卓

不等式問題廣泛存在于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，除了一些單純的不等式問題外，在立體幾何、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)等部分都涉及不等式及相關(guān)數(shù)學(xué)思想，因此不等式是高考復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn).

《考試說明》中對不等式部分的要求是：

1.不等關(guān)系

了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景.

2.一元二次不等式

（1）會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.

（2）通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.

（3）會(huì)解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.

3.二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.

（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.

（3）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.

（1）了解基本不等式的證明過程.

（2）會(huì)用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.

一、關(guān)于不等式的性質(zhì)

在不等式的基本性質(zhì)中，我們最常用的是

（1）若 a＞b，則 a+c＞b+c.

（2）若 a＞b，c＞0，則 ac＞bc.

需要說明的是，以上兩個(gè)性質(zhì)，不僅是不等式變換的手段，更是解決相關(guān)不等式的方法.

【解析】很明顯，需要運(yùn)用不等式的性質(zhì)對已知不等式進(jìn)行變換.

解法1：一個(gè)很直接的想法是應(yīng)用性質(zhì)（1），對已知不等式去分母，即同時(shí)乘以（b+c）（a+c）（a+b）可得

化簡可得

由于 a，b，c∈R+，故得 a＞b＞c.

想法很直接，但運(yùn)算略有麻煩，是否有更簡單的方法呢？

解法2：運(yùn)用性質(zhì)（1），在已知不等式中各項(xiàng)同時(shí)加 1，即

所以 b+c＜a+c＜a+b，

故得 a＞b＞c.

解法3：同樣是加1，可以考慮先取倒數(shù)，當(dāng)然，道理是相同的.

由已知得

二、關(guān)于運(yùn)用平均值不等式解決簡單的最大值和最小值問題

【答案】B

【解析】因?yàn)?3a·3b=3，所以 a+b=1，

解法3：對于解法2，也可以不乘開，分別運(yùn)用均值不等式，即

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】D

當(dāng)且僅當(dāng) ab=1，a（a-b）=1 時(shí)“=”成立，

例4 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是____.

【解析】這個(gè)問題入手前需要仔細(xì)觀察，2x+y為和的形式，怎么會(huì)有最大值呢？故不能去尋求2xy的定值，而是根據(jù)已知條件，把2x+y作為一個(gè)整體，尋找不等關(guān)系.

由已知條件

【答案】B

這個(gè)過程是用已知積的形式，去構(gòu)造和的定值.

三、關(guān)于線性規(guī)劃中的開放性問題

在線性規(guī)劃問題中，已知線性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題為基本問題，而以線性約束條件為問題情境，結(jié)論為開放形式的問題往往具有一定的綜合性.

【答案】A

由不等式表示的平面區(qū)域可知，當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線 x-y+2=0 與直線 3x-y-6=0 的交點(diǎn)（4，6）時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，所以2a+3b=6，這與前面講到運(yùn)用1的逆代去求最值是一致的.

【答案】B

【解析】問題的關(guān)鍵是畫對可行域，并運(yùn)用簡單的幾何知識(shí)解決問題.

不等式問題還涉及二次不等式、不等式的應(yīng)用等內(nèi)容，筆者將在以后的文章中闡述.