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        立足函數(shù)性質背景 確定數(shù)列問題求解方向

        2019-12-31 01:58:36江蘇省海門中學226100徐巧石
        中學數(shù)學研究(江西) 2019年11期
        關鍵詞:上界公比指數(shù)函數(shù)

        江蘇省海門中學 (226100) 徐巧石

        在高三的復習教學中教師如果能夠剖析命題者出題的本源,有利于學生理清解題的方向,提升學生的思維品質.數(shù)列作為特殊的函數(shù),數(shù)列的函數(shù)背景常常作為命題者的出發(fā)點.本文從具體實例出發(fā),談一談如何從函數(shù)性質背景中確定數(shù)列問題的思考方向.

        一、單調性與新定義數(shù)列

        反思:該題有兩個關鍵點:(1)利用單調性確定an+|an+1-an+2|項數(shù),進而確定等差數(shù)列;(2)是利用等差數(shù)列是關于n的一次函數(shù)形式,An(A≠0)不可能恒在兩個確定的數(shù)之間,因為An(A≠0)不存在上界或下界,要成立只能A=0.

        二、單調性與分段子數(shù)列

        1.分段子列為等差數(shù)列

        例2 (2018南通一模節(jié)選)若數(shù)列{an}同時滿足:①對于任意的正整數(shù)n,an+1≥an恒成立;②對于給定的正整數(shù)k,an-k+an+k=2an對于任意的正整數(shù)n(n>k)恒成立,則稱數(shù)列{an}是“R(k)數(shù)列”.若數(shù)列{bn}是“R(3)數(shù)列”,且存在整數(shù)p(p>1),使得b3p-3,b3p-1,b3p+1,b3p+3成等差數(shù)列,證明:{bn}是等差數(shù)列.

        分析:由已知bn-3+bn+3=2bn可知子數(shù)列{b3n-2},{b3n-1},{b3n},n∈N*分別為等差數(shù)列,再由單調遞增可得b3n+1≤b3n+2≤b3n+4恒成立,又可轉化為B2

        解:由題意可得bn-3+bn+3=2bn,則數(shù)列b1,b4,b7,…是等差數(shù)列,設其公差為d1,數(shù)列b2,b3,b8,…是等差數(shù)列,設其公差為d2,數(shù)列b3,b6,b9,…是等差數(shù)列,設其公差為d3.因為bn≤bn+1,所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4,所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1,所以n(d2-d1)≥b1-b2①,n(d2-d1)≤b1-b2+d1②.

        若d2-d1=0,則①和②都成立,所以d1=d2.同理得:d1=d3,所以d1=d2=d3,記d1=d2=d3=d.設b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ,則b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-(b3p+1+(n-p-1)d)=b3p-1-b3p+1+d=d-λ.同理可得b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ,所以bn+1-bn=d-λ.所以{bn}是等差數(shù)列.

        反思:解決此題兩個關鍵:(1)根據(jù)新定義確定子數(shù)列;(2)由單調性確定B2

        2.分段子列為等比數(shù)列

        例3 (2019海安期末)已知數(shù)列{bn}滿足:

        (ⅰ)對任意的n∈N*,0

        分析:由新定義確定子數(shù)列{b4k-2},{b4k-3},k∈N*為等比數(shù)列,再由單調性得b4k-3≤b4k-2≤b4k+1恒成立,轉化為B1

        反思:此題第一考查的是數(shù)列中的兩項乘積成等比數(shù)列,則存在相應的子列為等比數(shù)列,運用等比數(shù)列的定義可證明;第二考查的是形如B1B2或B1>Aqn指數(shù)型不等式,找到不滿足條件的n.

        3.分段子列為等差與等比

        分析:等差數(shù)列與等比數(shù)列相鄰排列,由指數(shù)函數(shù)增長的速度大于一次函數(shù)可知必存在等比數(shù)列的某一項超過等差數(shù)列相應的項,所以m有最大值,確定m的最大值只需確定何時公比q不存在,涉及到比較無理數(shù)的大小,構造函數(shù)證明.

        變式(2011江蘇)設1≤a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列,a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是.

        反思:將等差與等比的每一項交錯排列,由于等差與等比數(shù)列均遞增,又等比數(shù)列的增長呈指數(shù)型增長,等差數(shù)列呈直線型增長,所以必然存在某一項不滿足條件,命題立意點就在此.

        三、最值與新定義數(shù)列

        1.最大項與最小項構造等差數(shù)列

        分析:由定義可分析出Mn≥Mn-1,mn≤mn-1,且兩個不等式中至少有一個取等號,從數(shù)列{bn}的公差正負確定{bn}的單調性,利用Mn≥Mn-1,mn≤mn-1,確定數(shù)列{an}的單調性,得出Mn,mn與an的關系.

        2.最大項與最小項構造等比數(shù)列

        分析:同例5可知,kn≥kn-1,rn≤rn-1,且兩個不等式中至少有一個取等號,從數(shù)列{bn}的公比與1的大小確定數(shù)列{bn}的單調性,利用kn≥kn-1,rn≤rn-1,確定{an}的單調性,得出kn,rn與an的關系.

        反思:上述兩例最重要的是結合最值的定義與數(shù)列的特殊性得出Mn≥Mn-1,mn≤mn-1,且兩個不等式中至少有一個取等號這一重要性質,進而確定從{bn}的單調性上突破,即考慮公比與公差,得到解題方向.

        四、單調性與最值確定數(shù)列

        反思:各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的通項公式呈指數(shù)型,結合指數(shù)函數(shù)圖象,若數(shù)列遞增則無上界,若數(shù)列遞減則無非零下界.

        結語:在高三的教學中,作為教師在講解壓軸題時不能簡單的照著答案講解.教師應該關注命題的背景,以及解題思路如何獲得.唯有如此,講解壓軸題才有價值,學生的邏輯推理等核心素養(yǎng)才得到提升.

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