張應遷，吳佳曄，付 磊(.四川理工學院 土木工程學院，四川 自貢 643000； .四川理工學院 機械工程學院，四川 自貢 643000)

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矩形截面簡支梁側向屈曲特性研究

張應遷1，吳佳曄1，付 磊2
(1.四川理工學院 土木工程學院，四川 自貢 643000； 2.四川理工學院 機械工程學院，四川 自貢 643000)

針對矩形截面簡支梁(包括線性錐形梁)的側向扭轉屈曲問題，利用平衡法和貝塞爾函數(shù)得到不同載荷情況下臨界載荷的精確解。通過數(shù)值驗證發(fā)現(xiàn)：BEAM189單元分析結果與理論解吻合，不管是等截面還是線性錐形梁，最大誤差不超過1.74%。因此可以在實際設計中采用BEAM189單元確定復雜工況的臨界載荷。

矩形截面；簡支梁；側向扭轉屈曲；貝塞爾函數(shù)

0 引 言

橋梁結構的穩(wěn)定性是關系其安全的主要問題之一，與強度、剛度有著同等重要的意義?，F(xiàn)代橋梁跨度越來越大，如杭瑞高速北盤江大橋全長1 341.4 m，以720 m的主跨成為世界上主跨最長的連續(xù)鋼桁梁斜拉橋。大跨度橋梁采用高強度材料和薄壁結構，因此穩(wěn)定問題更為重要。

橋梁結構的失穩(wěn)可分為下列幾類：部分結構或整個結構的失穩(wěn)，例如橋門架或整個拱橋的失穩(wěn)；構件的局部失穩(wěn)，例如組成壓桿的板和板梁腹板的翹曲等，局部失穩(wěn)常導致整個體系的失穩(wěn)[1]；個別構件的失穩(wěn)，例如壓桿的失穩(wěn)和梁的側傾。因此，對梁截面最常見也是最簡單的形式——矩形截面的側向穩(wěn)定性的研究就顯得非常迫切和重要。梁的側向扭轉屈曲(Lateral Torsional Bucking，記為LTB)簡稱為側向屈曲、側傾[2]。使梁發(fā)生臨界狀態(tài)的最小載荷稱為梁的臨界載荷。

關于梁的側向屈曲，Prandtl最早在1899進行過深矩形梁的側向扭轉屈曲研究，A.G.M.Michell于同一年進行類似的研究；1963年S.Timoshenko在他們二人的基礎上研究了不同載荷形式以及不同的約束類型，大大豐富了梁的側向扭轉屈曲分析，拓展了側向扭轉屈曲分析的領域；2005年C.M.Wang等人詳細地研究了梁的屈曲問題，使得結構的屈曲研究又向前邁出了一大步。本文結合平衡法、貝塞爾函數(shù)以及有限單元法，針對矩形截面梁常見的載荷形式，包括末端彎矩、跨中集中載荷等進行分類歸納，采用平衡法得出不同載荷情況下側向扭轉屈曲的解析解；另外對線性錐形梁也進行研究，得到在末端彎矩作用下的側向扭轉屈曲的解析解；最后通過有限單元法與理論解的對比，印證有限單元法數(shù)值解的準確性，為采用數(shù)值法研究復雜截面、復雜工況下梁的屈曲問題提供依據(jù)，為橋梁的安全施工以及安全使用提供保障。

1 平衡法確定矩形截面梁側向臨界載荷

對矩形截面梁作一些假設：梁的高寬比(h/b)

不小于1；處于靜止狀態(tài)；在側向失穩(wěn)前處于彈性階段；軸線為理想直線；平面內的變形可以忽略不計。圖1為矩形截面梁側向扭轉屈曲示意圖。由于梁的側向扭轉角φ很小，因此有 sinφ≈φ，cosφ≈1。矩形截面受扭矩作用，抗扭剛度GJ=Gβhb3，其中G為剪切彈性模量，h為矩形截面梁的高度，b為矩形截面梁的厚度，系數(shù)β是關于h/b的函數(shù)，是無量綱的量，β與h/b的對應關系如表1所示。從表1可以看出，只有當h/b>10時，系數(shù)β≈1/3，而很多文獻中的β直接取1/3，勢必導致計算的理論值偏大，這點需要特別注意。

圖1 矩形截面梁側向扭轉屈曲

表1 β與h/b的對應關系

為了研究簡支梁在受載時的側向屈曲特性，選取具有代表性的簡支梁受末端彎矩、線性錐形梁受末端彎矩、簡支梁受跨中集中載荷3種情況進行研究。主要研究思路為：利用平衡法列出微分方程，然后結合邊界條件對微分方程求解，從而達到研究矩形截面簡支梁側向屈曲特性的目的[3-6]。

1.1 簡支梁受末端彎矩

簡支梁受末端彎矩的示意圖如圖2所示。Chen和Lui于1987年通過平衡法提出的微分方程為

式中：抗彎剛度EI=Ehb3/12；抗扭剛度GJ=Gβhb3；E為彈性模量；u為截面?zhèn)认驌隙?；φ為側向扭轉角；Mx為x方向所受的彎矩，Mz為z方向所受的扭矩[7]。

從圖2可以看出：彎矩Mx=0，扭矩Mz=0，因此式(1)、(2)又可以簡化成式(3)、(4)。式(3)、(4)通過消去變量u，得到式(5)。

式(5)的通解為

圖2 簡支梁受末端彎矩

1.2 線性錐形梁受末端彎矩

線性錐形梁受末端彎矩的示意圖如圖3所示。該梁和等截面梁的主要區(qū)別在于高度h是變化的，式(6)描述了高度h隨坐標z的變化規(guī)律。

(6)

圖3 線性錐形梁受末端彎矩

線性錐形梁的截面抗彎剛度和抗扭剛度不再是一個常數(shù)，均為坐標z的函數(shù)，EI=EI0η，GJ=GJ0η，其中I0=h0b3/12，J0=βh0b3,η=1+zδ/L。采用和等截面梁類似的研究方法，通過消去變量u，得到式(7)，其中k2=M2L2/EI0GJ0δ2。

(7)

式(7)的通解為

根據(jù)隨州市高職院校招生計劃公布的數(shù)據(jù)顯示，在2016年隨州市招生總人數(shù)中只有1.98%學生學習服務第一產業(yè)的專業(yè)。而招生總人數(shù)中的13.5%學生學習服務第二產業(yè)的專業(yè)，其中建筑工程技術、模具設計與制造、機電一體化技術等專業(yè)的招生人數(shù)較多。招生總人數(shù)中84.52%的學生學習服務第三產業(yè)的專業(yè)，其中應用英語、會計、護理等專業(yè)的學生人數(shù)較多，國際商務和國際經濟與貿易這兩個專業(yè)的學生數(shù)量也不少。2016年計算機、軟件技術等專業(yè)的招生人數(shù)相較于2015年有所增加。

φ=Asin(klnη)+Bcos(klnη)

1.3 簡支梁受跨中集中載荷

簡支梁受跨中集中載荷的示意圖如圖4所示。Timoshenko和Gere于1961年提出簡支梁受跨中集中載荷P在x、z兩個方向的扭矩分別為Mx=Pz/2，Mz=P(u*-u)/2，其中u*為中間截面的側向撓度。

圖4 簡支梁受跨中集中載荷

將Mx和Mz的表達式代入式(1)、(2)，消去變量u，并注意du*/dz=0，最終得到

(8)

+ζ2η2φ=0

(9)

式(9)的通解為

式中：J1/4和J-1/4分別為貝塞爾第一類1/4階和第一類-1/4階函數(shù)。

2 有限單元法

有限單元法是在當今工程分析中獲得最廣泛應用的數(shù)值計算方法，已成為計算機輔助設計(CAD)和計算機輔助制造(CAM)的重要組成部分。其基本思想可歸納為：將表示結構或連續(xù)體的求解區(qū)域離散為若干個單元，并通過它們邊界上的結點相互聯(lián)結成為組合體，一般簡稱為結構離散或單元網格劃分；用每個單元內所假設的近似函數(shù)來分片表示全求解域內待求的未知場變量；通過和原問題數(shù)學模型(基本方程、邊界條件)等效的變分原理或加權余量法，建立求解未知量(場函數(shù)的結點值)的代數(shù)方程組或常微分方程組[7-8]。

3 數(shù)值驗證

為了驗證無鉸圓拱在徑向載荷下的屈曲問題，分別采用ANSYS中常用的3種單元(即BEAM188、SHELL181、SHELL63)進行研究。BEAM189、SHELL181以及SHELL63單元均有6個自由度，包括3個平動自由度和3個轉動自由度。其中BEAM189單元可以自定義各種類型的截面，包括常見的矩形、圓形、工字型、槽鋼、角鋼等工程上常用的梁截面[9-12]。

為了驗證ANSYS的3種單元對矩形截面梁側向屈曲模擬的準確度，選用工程中常用的矩形截面(h/b=6)，材料為Q235鋼，彈性模量E=2×1011Pa，梁長度l=1 m。3種單元計算值與理論值的對比結果如表2所示。從表2可以看出，BEAM189更適合用于屈曲載荷模擬，因此數(shù)值模擬采用BEAM189來進行。

表2 不同單元數(shù)值結果與理論解的比較

表3比較了不同高寬比下簡支梁受末端彎矩側向屈曲的理論解與數(shù)值解；表4比較了不同δ值下線性錐形梁受末端彎矩側向屈曲的理論解與數(shù)值解；表5比較了不同高寬比下簡支梁受跨中集中載荷側向屈曲的理論解與數(shù)值解。

表3 不同高寬比下簡支梁臨界彎矩

表4 不同δ值下線性錐形梁臨界彎矩

表5 不同高寬比下簡支梁臨界載荷

圖5為受末端彎矩的簡支梁臨界載荷隨高寬比的變化情況；圖6為受末端彎矩的線性錐形梁臨界載荷隨高寬比的變化情況；圖7為受跨中集中載荷的簡支梁臨界載荷隨高寬比的變化情況；圖8為等截面簡支梁側向屈曲；圖9為線性錐形簡支梁側向屈曲。

4 結 語

采用平衡法，利用Timoshenko、Gere、Chen以及Lui等人提出的微分方程，結合簡支梁邊界條件，運用貝塞爾函數(shù)等，解決了簡支梁在常見載荷作用下的側向扭轉屈曲臨界問題。通過對微分方程的求解，得到了簡支梁在常見載荷作用下側向扭轉屈曲的理論解，為研究、設計鋼梁結構提供了理論參考。在計算矩形截面抗扭剛度時考慮高寬比的影響，沒有采用常用的系數(shù)β=1/3(該系數(shù)只適合高寬比不小于10的情形)，使得矩形截面梁側向扭轉屈曲臨界載荷計算更精確。

從表3～5可以看出，只要是等截面梁，不管是受末端彎矩還是跨中集中載荷，數(shù)值解與理論解的誤差均不超過0.26%，而線性錐形梁的最大誤差為1.74%，都滿足工程誤差不超過5%的要求。這說明采用BEAM189作為數(shù)值模擬的單元是合適的，也說明采用數(shù)值模擬能夠有效解決矩形截面簡支梁的側向扭轉屈曲問題。從圖5～7可以看出：對于簡支梁及線性錐形梁，無論是末端彎矩還是跨中集中載荷，理論解與數(shù)值解的變化趨勢是一致的；特別是等截面梁，理論解與數(shù)值解幾乎完全重合。這也說明了數(shù)值模擬完全可以用到結構的屈曲分析中。結構設計中遇到復雜截面、復雜載荷工況，理論解的尋找比較困難時，可以考慮采用數(shù)值模擬確定屈曲臨界載荷。

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[責任編輯:杜敏浩]

Study on Lateral Buckling Behavior of Simply Supported Beam with Rectangular Cross-section

ZHANG Ying-qian1, WU Jia-ye1, FU Lei2
(1. School of Civil Engineering, Sichuan University of Science and Engineering, Zigong 643000, Sichuan, China； 2. School of Mechanical Engineering, Sichuan University of Science and Engineering, Zigong 643000, Sichuan, China)

Aiming at the problem of lateral torsional buckling of simply supported beam (including linear conical beam), the exact solution of critical load under different loads was obtained by using the equilibrium method and Bessel function. The numerical verification shows that the BEAM189 element analysis results are consistent with the theoretical solution, and the maximum error is not more than 1.74%, whether it is beam with uniform cross-section or linear conical beam. Therefore, the BEAM189 element can be used in the design process to determine the critical load of complex conditions.

rectangular cross-section; simply supported beam; lateral torsional buckling; Bessel fuaction

1000-033X(2017)06-0053-05

2016-11-30

牽引動力國家重點實驗室項目(2012TPL_T03)；過程裝備與控制工程四川省高校重點實驗室項目(GK201501)

張應遷(1979-)，男，四川彭州人，副教授，工學碩士，研究方向為計算力學、CAE。

U411.2

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