陳奎孚 何坤娜

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院74#，北京 100083)

力學(xué)分析中的正號(hào)與負(fù)號(hào)

陳奎孚 何坤娜

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院74#，北京 100083)

力學(xué)關(guān)系的矢量形式整齊簡明，但手工計(jì)算往往傾向于投影的標(biāo)量式。不少學(xué)生在標(biāo)量分析過程中有正負(fù)號(hào)的糾結(jié)。筆者對(duì)如下學(xué)習(xí)情境中的正負(fù)號(hào)糾結(jié)進(jìn)行了剖析：物理關(guān)系、運(yùn)動(dòng)量、功、力矩、力偶和力矢量圖示。指出消除正負(fù)號(hào)糾結(jié)的關(guān)鍵在于是否畫矢量形式的分析圖?；谑噶筷P(guān)系的演繹不需要圖示信息,但手工計(jì)算總是喜歡用圖形。有圖形情形下，方向相反的矢量關(guān)系會(huì)由圖形顯示，標(biāo)量關(guān)系就無負(fù)號(hào)。理解上述原則有助于提升力學(xué)分析的教學(xué)效率。

力學(xué)教學(xué);力矢量;力偶; 慣性力主矢；慣性力主矩;功；運(yùn)動(dòng)量；阻尼振子；隔離體圖

0 若干典型糾結(jié)

力學(xué)教學(xué)中常常遇到用正號(hào)還是負(fù)號(hào)的糾結(jié)，比如文獻(xiàn)[1]例2～5中有“小球的粘滯阻力與其運(yùn)動(dòng)速度成正比，即fτ=kv,k為比例常數(shù)……”，而在文獻(xiàn)[2]中有“物體所受的彈力f與彈簧的伸長量即物體相對(duì)平衡位置的位移x成正比，即f=-kx…”。我們知道：粘滯阻力與相對(duì)速度方向相反，但fτ=kv前沒有負(fù)號(hào)；彈力f=-kx中的負(fù)號(hào)是因?yàn)閺椓εc偏離平衡位置的位移x方向相反。對(duì)專業(yè)物理教師而言，上述看似沖突的表述是能理解的，但對(duì)于學(xué)習(xí)物理課程而言的學(xué)生，他們更需要清晰一致的表述。

理論力學(xué)的受力分析也經(jīng)常出現(xiàn)正負(fù)號(hào)的糾結(jié)，比如圖1(a)的受力分析畫成圖1(b)是否正確[3]。很多學(xué)生會(huì)覺得圖1(b)中的桿會(huì)向右加速而無法保持平衡，因此認(rèn)為它是錯(cuò)誤的。

圖1

圖2

在學(xué)習(xí)物理關(guān)系、運(yùn)動(dòng)量、功、力矩、力偶和力矢量等知識(shí)點(diǎn)過程中經(jīng)常出現(xiàn)正負(fù)號(hào)的糾結(jié)，本文將對(duì)它們逐一分析。

1 物理關(guān)系中的正負(fù)號(hào)

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]的兩個(gè)例子都使用了標(biāo)量符號(hào)。本質(zhì)上力是矢量，只是教學(xué)中學(xué)生對(duì)矢量的感覺比較差，所以就習(xí)慣性地使用標(biāo)量了。如果回到矢量，粘滯阻力應(yīng)該寫成fτ=-k，彈力應(yīng)該寫成f=-kx。對(duì)這兩個(gè)矢量關(guān)系，都有負(fù)號(hào)。同樣作用力f和反作用力f′之間的關(guān)系f=-f′，慣性主矢fI=-maC(C為質(zhì)心)，也都有負(fù)號(hào)。

矢量既包含大小，也包含方向，所以采用矢量分析，無需畫矢量分析圖。運(yùn)用矢量運(yùn)算規(guī)則，既能得到所有信息，而且最終矢量也能夠把信息完全表達(dá)出來。

由于矢量的使用門檻相對(duì)較高，所以從啟蒙的初中物理開始，教師就習(xí)慣讓學(xué)生使用受力圖來分析受力，特別是高度頻繁出現(xiàn)的平面問題，也正適合二維圖形的表達(dá)。只要一旦有受力圖，我們就會(huì)充分地利用圖形呈現(xiàn)分析信息，特別是呈現(xiàn)其中的方向信息。因而如果圖形已經(jīng)呈現(xiàn)了恰當(dāng)?shù)姆较蛐畔?，那么?biāo)量關(guān)系就不再加負(fù)號(hào)了。本文開頭所舉的兩個(gè)例子正是這樣：文獻(xiàn)[1]關(guān)于粘滯阻力有受力圖，受力圖中fτ矢量方向與v=dy/dt指向相反，所以有fτ=kv；而文獻(xiàn)[2]對(duì)彈力的描述無對(duì)應(yīng)的矢量圖，所以有f=-kx。

同理，如果像圖3(a)那樣畫出了作用力與反作用力的矢量分析圖，那么配合此圖的關(guān)系是f=f′，而不是f=-f′ (如果沒圖，就必須使用f=-f′)[6]。在圖3(b)中，慣性主矢方向與加速度方向相反的關(guān)系已經(jīng)由圖示虛線箭頭的方向表示了，所以fI=maC(m為剛體質(zhì)量;aC為質(zhì)心C的加速度)而不是fI=-maC。類似地，慣性力系主矩MI=JCα(α為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度；JC為剛體繞C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)。

圖3

不少同學(xué)喜歡按圖3(c)的方式標(biāo)注慣性力系的主矢，這很容易出現(xiàn)下面的糾結(jié)：如果沿aC寫投影方程，虛線箭頭所表示的矢量沿aC的投影應(yīng)該寫成-maC還是maC呢？正確答案當(dāng)然是前者。然而，如果只看該圖，虛線箭頭方向與aC相反，所以投影應(yīng)該有負(fù)號(hào)，再乘上圖上標(biāo)注的-maC的負(fù)號(hào)，從而得到maC，這當(dāng)然是錯(cuò)誤的。為了避免上述糾結(jié)，把圖中的-maC換成maC是否可行呢？答案是否定的，因?yàn)閺膱D上來看，虛線箭頭所示的矢量方向與aC相反，但是maC和aC卻是方向相同的矢量。與此相反，圖3b所采取的方式“矢量方向相反根據(jù)圖示，再補(bǔ)上代數(shù)關(guān)系fI=maC”，肯定不會(huì)出現(xiàn)困惑。

圖4

為了避免糾結(jié)，分析圖上的矢量標(biāo)注盡可能使用符號(hào)，不要用-maC這樣運(yùn)算式。符號(hào)盡可能唯一(不要用一個(gè)符號(hào)標(biāo)注兩個(gè)以上矢量)，尤其是帶負(fù)號(hào)的情形更應(yīng)避免。比如，圖3(d)物體受到力偶作用，B點(diǎn)受力標(biāo)注成-F，這容易引發(fā)B點(diǎn)受力究竟是向上還是向下的困惑。如果采用A點(diǎn)力矢量標(biāo)為FA，而B點(diǎn)的力矢量標(biāo)為FB，再補(bǔ)上代數(shù)關(guān)系FA=FB=F，肯定就不會(huì)出現(xiàn)糾結(jié)(更簡潔的標(biāo)注是用F和F′)。

2 運(yùn)動(dòng)量的正負(fù)號(hào)

在討論圖2的角位移和角速度的正負(fù)號(hào)之前，我們先看直角坐標(biāo)量之間的正負(fù)號(hào)。

2.1 直角坐標(biāo)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位移r，速度和加速度a之間的關(guān)系為=dr/dt和a=d/dt，它們不涉及正負(fù)號(hào)。上述矢量關(guān)系反映到直角坐標(biāo)上，就可能會(huì)有潛在的問題，如直角坐標(biāo)系原點(diǎn)不固定的情形。

坐標(biāo)原點(diǎn)必須固定的要求容易理解，但操作起來有時(shí)會(huì)被忘記，比如圖4(a)所示的機(jī)構(gòu), 由于B點(diǎn)在O的左邊，因而很多同學(xué)會(huì)把坐標(biāo)原點(diǎn)放在B上，從B指向O為x軸。若確實(shí)這么做，那么vDx=dxD/dt還是vDx=-dxD/dt呢？

上述討論看似畫蛇添足，下面用圖5(a)的粘性阻尼振子的受力分析來體會(huì)一下(圖中c為阻尼器粘性系數(shù))。先不妨假定質(zhì)點(diǎn)的位移x>0。顯然質(zhì)點(diǎn)在x處的速度既可能向右(沿x軸正向)，也可能向左(沿x軸負(fù)向)。因?yàn)檎承宰枘崃εc速度方向相反，而受力圖的重要作用是反映力矢量的方向信息，所以嚴(yán)格說來，受力圖應(yīng)該分別畫向左和向右兩種情形，即圖5(b)和5(c)(重力和支持力對(duì)振動(dòng)無實(shí)質(zhì)貢獻(xiàn)，略去不畫)，圖中Fk和Fc分別為彈力和阻尼力。兩種情形下質(zhì)點(diǎn)所受的合力均為FR=Fk+Fc，這是矢量加，不用參考受力圖。把Fc=-c，得到FR=Fk-c，這是矢量替換，同樣也不用參考受力圖。顯然FR沿水平方向，設(shè)其與x軸指向相同，我們來寫投影式，這必須參考受力圖。對(duì)圖5(b)有

FR=-Fk-Fc

(1)

與圖5(b)相配的阻尼力標(biāo)量式為Fc=cv(沒有負(fù)號(hào)，相反關(guān)系由圖中相反的箭頭所示)，代入式(1)得到(注意：代入過程不用去琢磨受力圖，忘記受力圖，直接代數(shù)運(yùn)算)

圖5

(2)

而參考圖5(c)的投影方程則為

FR=-Fk+Fc

(3)

對(duì)圖5(c)，阻尼力標(biāo)量式依舊為Fc=cv,代入式(3)有

FR=-Fk+cv

(4)

式(2)和式(4)形式上有差異，此外為了得到式(2)和式(4),需要畫兩幅受力圖。

(5)

(6)

(7)

(8)

中學(xué)物理大多僅討論到直線上的物理量，這使得坐標(biāo)系意識(shí)淡薄，故而更容易出現(xiàn)糾結(jié)[9]。

總之，用坐標(biāo)和坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，而不是用距離(速度和加速度)，分析過程會(huì)相對(duì)簡潔，出現(xiàn)類似文獻(xiàn)[10,11]的糾結(jié)要少一些。

2.2 角坐標(biāo)

對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)量，如角速度、角加速度，一般有“逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)”規(guī)則。使用該規(guī)則時(shí)，我們是不參考圖形的。如果有圖形存在，我們則會(huì)參照?qǐng)D形標(biāo)記的轉(zhuǎn)向信息。當(dāng)使用圖形來反映轉(zhuǎn)動(dòng)量時(shí)，我們需要固定的參考體和參考轉(zhuǎn)向。其中固定參考體應(yīng)是無轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。參考轉(zhuǎn)向一般選擇逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，以與“逆時(shí)針為正”規(guī)則一致(必要情況下，參考轉(zhuǎn)向也可以選擇順時(shí)針轉(zhuǎn)向)。

圖2中地面無轉(zhuǎn)動(dòng)，AB桿運(yùn)動(dòng)。如果選擇地面為參考線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到AB桿，則角位移應(yīng)為圖6(a)中的β(β=π-θ),這樣AB桿的角速度dβ/dt=d(π-θ)/dt=-dθ/dt。

圖6

因?yàn)閰⒖嫁D(zhuǎn)向與正負(fù)號(hào)關(guān)系密切，所以筆者建議：表示角度用雙箭頭弧，而表示角位移用單箭頭弧，箭頭自參考線出發(fā)，轉(zhuǎn)到運(yùn)動(dòng)物體。

3 功計(jì)算中的正負(fù)號(hào)

力F作用點(diǎn)經(jīng)過元位移dr所做的元功為

δW=F·dr

(9)

上式進(jìn)一步可表示為

δW=Fxdx+Fydy+Fzdz

(10)

式(9)不用參考任何圖形信息，式(10)需要參考坐標(biāo)軸的指向信息。在手工計(jì)算中，式(10)的使用比式(9)要頻繁。

給出力的投影和作用點(diǎn)的微分，即可套用式(10)。比如圖4中力F1的功。按照?qǐng)D4(c)的坐標(biāo)系,

xA=(b-2a)cosθ,yA=bsinθ

(11)

F1的投影

Fx=F1sinθ,Fy=-F1cosθ

(12)

此處Fy右邊的負(fù)號(hào)源自F1沿y軸投影的指向與y軸指向相反。

一旦寫出式(11)和式(12),就無需再參考圖形，直接把它們代入公式(10)即可。在套用前，計(jì)算坐標(biāo)的微分，即

dxA=-(b-2a)sinθdθ, dyA=bcosθdθ

(13)

注意dxA右邊括號(hào)外的負(fù)號(hào)來自對(duì)cosθ求微分的數(shù)學(xué)運(yùn)算，與圖形無關(guān)，更不用參考圖形。

把式(12)和式(13)代入式(10),得到

δW=-(b-2asin2θ)F1dθ

(14)

整理后得到與式(14)相同的結(jié)果。

虛位移原理涉及虛功的計(jì)算。虛功的坐標(biāo)變分與普通的坐標(biāo)微分幾乎相同，所以上述正負(fù)號(hào)的討論也適用于虛功的計(jì)算。

4 力矩計(jì)算中的正負(fù)號(hào)

平面力矩的常用計(jì)算方式有兩種。第一種方式根據(jù)定義：力矩大小等于力臂與力大小乘積，正負(fù)號(hào)遵循“逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)”。該方法通常稱幾何法，它是需要參考圖形的，因?yàn)榫匦?力作用線相對(duì)位置和力指向這兩個(gè)信息需要從圖中獲得，比如根據(jù)圖7(a)的幾何信息，我們有

MO(F1)=F1d1,MO(F2)=-F2d2

(15)

圖7

第二種方式是使用下式計(jì)算(參見圖7(b))

MO(F)=xFy-yFx

(16)

其中:(x,y)為力作用點(diǎn)坐標(biāo);(Fx,Fy)為力的投影。采用式(16)的計(jì)算，無需參考圖形信息。計(jì)算結(jié)果MO(F)遵循“逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)”，也不用參考圖形。當(dāng)然寫(Fx,Fy)需要參考坐標(biāo)系。

式(16)是正確無誤的。如果從空間的力矩矢r×F在xOy坐標(biāo)面內(nèi)投影的演繹來看，它也是很自然的。然而，作為教學(xué)，力矩概念無疑都是從平面定義開始的，然后接著介紹式(16)。教學(xué)中往往只是用圖7(b)的第一象限的特殊情形對(duì)式(16)加以驗(yàn)證。若嚴(yán)格驗(yàn)證，則有16種情形之多。這是因?yàn)榱赜?jì)算涉及到坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)和力的指向，考慮(x,y)正負(fù)與(Fx,Fy)指向的組合，就有16種之多。顯然，采用枚舉式的驗(yàn)證過程就十分冗長。為了簡化證明，可以根據(jù)合力矩等于分力矩之和的性質(zhì)，先分別考慮Fx和Fy的矩。

先看Fy。在圖7(c)中，有M(Fy)=dFy=xFy，此時(shí)為逆時(shí)針。當(dāng)Fy向左移動(dòng)，M(Fy)減小，當(dāng)x<0時(shí)，M(Fy)=-dFy=xFy為負(fù)值，這確實(shí)對(duì)應(yīng)M(Fy)的順時(shí)針轉(zhuǎn)向。在圖7(d)中Fy向下，對(duì)O點(diǎn)的矩為順時(shí)針，相應(yīng)地M(Fy)=xFy<0(因?yàn)榱Φ耐队癋y<0，投影值參考坐標(biāo)軸的指向，不是圖示的Fy指向)。當(dāng)Fy向左移動(dòng)到x<0，F(xiàn)y對(duì)O的力矩變成逆時(shí)針，當(dāng)然M(Fy)=xFy也確實(shí)大于零了。

綜上所述M(Fy)=xFy對(duì)坐標(biāo)的正負(fù)和Fy指向的所有組合都成立。類似地考慮Fx，可知M(Fx)=-yFx對(duì)坐標(biāo)的正負(fù)和Fx指向的所有組合都成立。根據(jù)合力矩性質(zhì)有

M(Fy)=M(Fy)+M(Fx)=xFy-yFx

這就證明了式(16)。

力偶矩的轉(zhuǎn)向和力矩的轉(zhuǎn)向沒有本質(zhì)差異，所以上述討論也適用于力偶矩。最常提及力偶矩規(guī)則是“逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)”。這個(gè)規(guī)則適用的場合是沒有圖形信息，如M=40N·m表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩，大小為40N·m，而M=-30N·m表示順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩，大小為30N·m。

然而，力學(xué)分析喜歡使用圖形。一旦有圖形，總是把圖形示意的轉(zhuǎn)向?yàn)閰⒖嫁D(zhuǎn)向，比如圖8中4個(gè)帶箭頭的弧標(biāo)明了參考轉(zhuǎn)向，弧箭頭旁邊的符號(hào)M1,M2,M3,M4表示力矩的數(shù)值，它要另行補(bǔ)充，比如M1=10N·m,M2=-20N·m,M3=30N·m,M4=-40N·m。M1=10N·m的數(shù)值與圖示的弧箭頭轉(zhuǎn)向一起表示這是大小為10N·m的逆時(shí)針轉(zhuǎn)向力偶。此時(shí)，不能因M2=-20N·m中有負(fù)號(hào)而認(rèn)為它是順時(shí)針轉(zhuǎn)向，而是因?yàn)橛辛藞D形，數(shù)值和圖示轉(zhuǎn)向一起表明M2是大小為20N·m的順時(shí)針轉(zhuǎn)向作用的力偶。M3=30N·m也不表示它是逆時(shí)針。參考圖示轉(zhuǎn)向，它是大小為30N·m的順時(shí)針轉(zhuǎn)向作用的力偶。類似地M4=-40N·m與圖示參考轉(zhuǎn)向一起，表明M4大小為40N·m的逆時(shí)針轉(zhuǎn)向作用的力偶。

圖8

5 力矢量的指向

既然平面力偶矩可以用圖示參考轉(zhuǎn)向與數(shù)值聯(lián)合的方式來表示，那么平面力矢量也當(dāng)然可以用圖示參考方向與力的數(shù)值來表示。如同力偶的數(shù)值，力的數(shù)值也可以取負(fù)值。這就消除了圖1b的糾結(jié)，即圖中約束力FBx和FBy的數(shù)值取負(fù)值，從而AB能桿保持平衡。

通常說矢量有方向和大小(范數(shù)或模)兩個(gè)屬性，而平面矢量又往往用幾何圖示，而幾何大小的“常規(guī)語義”是不包括負(fù)值的。如果想刻意突出包含負(fù)值，筆者建議用矢量的“數(shù)值”這一詞匯。當(dāng)然有人可能質(zhì)疑出現(xiàn)代數(shù)符號(hào)怎么辦。從詞法上講，代數(shù)也是“數(shù)”，代數(shù)值也是“數(shù)值”，就如同不等式也是“式”一樣。

圖9

為什么刻意強(qiáng)調(diào)力矢量的數(shù)值可以為負(fù)呢？通常，物理教學(xué)的受力分析相對(duì)簡單，學(xué)生不僅能判斷出力的作用線，而且也容易確定數(shù)值為正的指向。然而在受力比較復(fù)雜情形下，特別是當(dāng)研究對(duì)象由多物體組成時(shí)，很難正確判斷出正數(shù)值的指向。這種情形下，我們把作用線方向判斷對(duì)了即可，而指向可先假定，然后由力學(xué)方程確定數(shù)值的正負(fù)。

上述處理并不影響分析結(jié)果，而且有助于復(fù)雜情形的力學(xué)分析。這里通過舉例說明。圖9(a)中F=20 kN,M=10 kN·m, 幾何信息如圖示，分析B鉸和固定端C處的約束力。

上述答案的負(fù)值，表明正數(shù)值方向(轉(zhuǎn)向)與圖示的相反。但無需重新畫圖(以便出現(xiàn)正的數(shù)值)，因?yàn)閿?shù)值和圖示方向(轉(zhuǎn)向)一起給出了完整的力信息。

為了校核上述處理的合理性，圖9(d)和9(e)是把FBx和FBy按正數(shù)值指向方式畫的(本題容易知道正數(shù)值對(duì)應(yīng)的指向)。對(duì)這兩個(gè)圖列平衡方程求解得到

對(duì)比式(17)和式(19),發(fā)現(xiàn)B鉸約束力的數(shù)值確實(shí)由負(fù)變正了。式(18)和(20)相同，表明B鉸約束力方向的假設(shè)并不影響其他地方的受力分析結(jié)果。

總之，對(duì)于復(fù)雜的力學(xué)分析，約束反力的作用線在受力圖中要正確，而其正數(shù)值的指向可留待由力學(xué)方程確定。也正因?yàn)閳D示指向和力學(xué)方程所確定的數(shù)值一起表征了力的完整信息，所以受力圖在分析過程中不能缺席。

6 結(jié)語

力學(xué)學(xué)習(xí)中可能涉及正負(fù)號(hào)糾結(jié)的情景有物理關(guān)系、運(yùn)動(dòng)量、功計(jì)算、力矩、力偶和力矢量指向等。 本文對(duì)這組情景下的糾結(jié)進(jìn)行了分析，得到了如下看法：

1) 用矢量表述的物理關(guān)系，不需要參考圖形信息，不存在正負(fù)號(hào)的糾結(jié)。

2) 如用圖形表示矢量信息，則矢量的方向反映在圖形上。方向相反的兩個(gè)矢量，已經(jīng)由圖形示意反向了，投影的標(biāo)量式就不要再有負(fù)號(hào)了。但是隨后的計(jì)算分析必須參照?qǐng)D形進(jìn)行。結(jié)果解釋也要參照?qǐng)D形信息。

3) 對(duì)基于圖形的分析方法，比如受力圖，因?yàn)閳D形上有力的作用線和假定的指向信息，所以必須要畫出受力圖，答案才是完整的。

4) 坐標(biāo)的各階導(dǎo)數(shù)的指向與坐標(biāo)軸指向相同。利用這一性質(zhì)，可簡化動(dòng)力學(xué)分析過程。

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ON THE PLUS AND MINUS SIGNS IN MECHANICS ANALYSIS

Chen Kuifu He Kunna

(College of Sciences #74, China Agricultural University, Beijing 100083)

The vector form of mechanics relationship is concise and tidy whereas the projected scalar form is preferred to in manual computation. Plenty of students are frustrated with choosing plus or minus signs in scalar form computation. The frustration with plus or minus signs are investigated in the following contexts, physics relationship, kinematic quantities, work, force moment, force couple and force vector graphing. It is pointed that a key factor is whether the vector diagram is drawn or not. The vector form of relationship does not necessitate a vector diagram; as a result, there is no need to consider the plus or minus sign. On the other hand, a vector diagram is preferred, especially in the case of planar problems. Concerning this case, the opposite directions of two vectors are delineated in the diagram; as a result, the minus sign should not appear in the scalar relationship. Apprehending above rules benefits the educational efficacy of force analysis.

mechanics pedagogy; force vector; force couple; principal vector of inertia; principal moment of inertia; power; kinematical quantity; damped vibrator; free body diagram

2016-09-10

陳奎孚，男，教授，從事力學(xué)和振動(dòng)的教學(xué)研究,chenkuifu@cau.edu.cn。

陳奎孚,何坤娜. 力學(xué)分析中的正號(hào)與負(fù)號(hào)[J]. 物理與工程，2017，27(2)：15-21.