魯凌云，李維剛,2，黃衛(wèi)華，嚴?？?/p>

(1.武漢科技大學信息科學與工程學院，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430065)

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軋機液壓AGC-LP耦合系統(tǒng)的H∞控制器設計

魯凌云1，李維剛1,2，黃衛(wèi)華1，嚴?？?

(1.武漢科技大學信息科學與工程學院，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430065)

根據(jù)熱連軋機自動厚度控制(AGC)系統(tǒng)和液壓活套控制(LP)系統(tǒng)各自的特點，結合這兩個子系統(tǒng)的模型，建立液壓AGC-LP耦合系統(tǒng)模型。參照廣義系統(tǒng)的標準選取了合適的控制目標，基于H∞控制理論對組合系統(tǒng)進行分析，采用MATLAB魯棒控制工具箱中線性矩陣不等式(LMI)求解方法設計了H∞狀態(tài)反饋控制器，使得系統(tǒng)達到性能指標最優(yōu)。將使用H∞控制器與傳統(tǒng)PID控制器的AGC-LP耦合系統(tǒng)進行仿真比較，結果表明，使用H∞控制器的系統(tǒng)有更好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，兩個子系統(tǒng)相關變量的耦合也有所改善。

熱連軋機；AGC；活套系統(tǒng)；H∞控制器；LMI；解耦

為了保證軋制過程的順利進行，現(xiàn)代主流的熱連軋機大都通過液壓活套裝置(LP)的緩沖作用來吸收咬鋼過程中形成的套量，并保持恒定的小張應力控制，同時通過自動厚度控制系統(tǒng)(AGC)來提高帶鋼厚度控制的精度。由于張應力的變化是引起帶鋼厚度變化的主要原因之一，因此AGC-LP系統(tǒng)的控制難點在于LP系統(tǒng)的高度控制和張應力控制之間的耦合以及AGC系統(tǒng)與LP系統(tǒng)之間的相互影響?，F(xiàn)有對AGC-LP系統(tǒng)耦合的研究大都考慮了組合系統(tǒng)的線性成分和非線性成分，并改善了系統(tǒng)的魯棒性，但組合模型強耦合非線性的特性為系統(tǒng)的解耦帶來了困難。

由于H∞控制理論考慮了實際系統(tǒng)與數(shù)學模型之間的不確定性，降低了系統(tǒng)建模的復雜程度，且H∞方法將復雜的系統(tǒng)解耦問題轉換成了線性矩陣不等式求解問題，并且利用MATLAB的LMI工具箱可以精確地求解，為此，本文基于H∞控制理論對AGC-LP耦合模型進行控制器設計。首先，根據(jù)AGC和LP系統(tǒng)子模型建立了AGC-LP耦合系統(tǒng)模型，然后通過H∞控制方法為AGC-LP控制系統(tǒng)設計了狀態(tài)反饋控制器，最后對給定輸入信號下組合系統(tǒng)的輸出響應進行仿真，并通過與傳統(tǒng)PID控制器相關性能指標的比較來驗證所設計控制器的有效性。

1 AGC-LP耦合系統(tǒng)模型的建立

以熱連軋機相鄰機架作為分析對象，涉及到的變量參數(shù)如圖1所示。圖1中，l1和l2分別為活套支撐輥接觸面到Fi機架出口和Fi+1機架入口的距離；σ為Fi機架出口帶鋼張應力；H和h分別為Fi機架入口和出口的帶鋼厚度；vi和vi+1分別為帶鋼在Fi機架的出口速度和Fi+1機架的入口速度；R為軋輥的半徑；θ1和θ2分別為Fi機架出口和Fi+1機架入口的連線與軋線之間的夾角；l為活套臂長；θ為活套高度角；a為活套器中心到相鄰機架的直線距離；L=2a；ω為軋輥的角速度；d為活套支撐輥與軋線的距離。

圖1 活套機構參數(shù)示意圖

1.1 液壓閥控缸系統(tǒng)的建立

LP系統(tǒng)和AGC系統(tǒng)均由液壓閥控缸驅動，兩者的液壓閥控缸模型相同，只是負載和對象不同。關于閥控缸的建模過程詳見文獻[1]，其中幾個關鍵方程如下：伺服閥的動態(tài)特性可以用一個二階振蕩環(huán)節(jié)來描述：

(1)

式中：Gv為傳遞函數(shù)；s為拉普拉斯算子；ωv為伺服閥的截止頻率；δv為伺服閥閥芯的阻尼系數(shù)。

液壓缸的流量方程為

QL=KqXv-KcΔPL

(2)

式中：Kq為伺服閥的流量增益系數(shù)；Kc為伺服閥的流量壓力系數(shù)；Xv為伺服閥的位移量；ΔPL為系統(tǒng)壓力與回油壓力之差。

根據(jù)牛頓第二定律，液壓缸的運動方程為

(3)

式中：Apst、Arod分別為液壓缸無桿腔和有桿腔的橫截面積；Ppst、Prod分別為液壓缸無桿腔和有桿腔的壓力；M為負載的等效質量；B為運動黏滯系數(shù)；G為彈性阻力系數(shù)；y為活塞位移；t為時間；fLd為負載作用力。

1.2 AGC系統(tǒng)模型

Fi機架出口帶鋼厚度可用彈跳方程來表示，彈跳方程給出了活套張應力與活套高度hi的關系[2]：

(4)

式中：S為輥縫設定值；Bw為帶鋼寬度；Y為變形抗力系數(shù)；Q為應力狀態(tài)系數(shù)；τ為入口帶鋼張應力；C為軋機剛度系數(shù)。

對于AGC系統(tǒng)來說，式(3)所示力平衡方程中ΔF即為系統(tǒng)提供的軋制力。如果只考慮軋件變形抗力而忽略其他因素，則負載作用力fLd可以表示為

(5)

若忽略軋機的軋輥偏心量Δx，則軋件的出口厚度h便等于工作輥的負載輥縫SL，而SL為

(6)

1.3 LP系統(tǒng)模型的關鍵方程

設第Fi機架的出口速度為Vout(i)，第Fi+1機架的入口速度為Vin(i+1)，那么活套的套量Lloop可以表示為

(7)

張應力σ可以表示為

(8)

式中：E為材料的彈性模數(shù)。

熱連軋自動厚度控制過程中，對活套的補償有本架補償和后架補償兩種方式，采取后架補償即在第Fi+1機架投入AGC能獲得更高的速度補償精度，因此有如下的速度補償公式[3]：

(9)

式中：vi為Fi機架帶鋼的出口速度；vRi為Fi機架的軋輥速度；vi+1為Fi+1機架帶鋼的入口速度；vR(i+1)為Fi+1機架的軋輥速度；fi為Fi機架的前滑值；βi+1為Fi+1機架的后滑值。

由式(7)～式(9)可得活套套量和帶鋼速度以及張應力的關系為

(10)

式中：

活套的角加速度與綜合力矩M密切相關，對于活套有如下的力矩平衡關系：

(11)

(12)

1.4 AGC-LP模型的建立

綜合式(1)～式(12)，已經找出了關聯(lián)變量，建立起了自動厚度控制系統(tǒng)與活套系統(tǒng)的聯(lián)系。將AGC系統(tǒng)寫成狀態(tài)空間表達式，選取輥縫SL、帶鋼速度V、活套輸出力矩M作為輸入控制量，即u=[u1u2u3]T=[SLVM]T，令張應力σ、活套高度角θ、軋輥角速度ω作為狀態(tài)變量，即x=[x1x2x3]T=[σθω]T，以帶鋼出口厚度h、張應力σ和活套高度角θ作為輸出量，即y=[y1y2y3]T=[hσθ]T，則可得AGC-LP的狀態(tài)方程為

(13)

輸出方程為

(14)

2 H狀態(tài)反饋控制器設計

將AGC-LP系統(tǒng)視作如圖2所示的廣義系統(tǒng)，其中P(s)為系統(tǒng)狀態(tài)空間矩陣，K為反饋控制器矩陣，K(s)為控制器的傳遞函數(shù)。整個閉環(huán)系統(tǒng)由以下的狀態(tài)空間描述：

(15)

式中:x∈n為狀態(tài)向量；u∈n為控制輸入；y∈p為測量輸出，A、C1、C2為系統(tǒng)狀態(tài)變量的系數(shù)矩陣；B1、D11、D21為系統(tǒng)擾動的系數(shù)矩陣；B2、D12、D22為系統(tǒng)輸入的系數(shù)矩陣。

圖2 廣義系統(tǒng)

由于AGC-LP系統(tǒng)是可觀測的，因此y較容易得到；在H∞控制器的設計過程中，測量輸出都是作為系統(tǒng)的反饋輸入，z∈r是有限大的被調輸出，也是在系統(tǒng)的仿真過程中所得到的輸出響應；ω∈q為具有有限能量的外部擾動，這里將以有限能量的白噪聲作為外部擾動。

H∞控制的目的就是設計一個控制器u(s)=K(s)y(s)，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下性質：

(1)閉環(huán)系統(tǒng)是內部穩(wěn)定的，即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的所有特征值均在左半開復平面中。

(2)從擾動輸入ω到被調輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)Twz(s)的H∞范數(shù)小于1，即

(16)

具有這樣性質的控制器u(s)=K(s)y(s)稱為式(15)所示系統(tǒng)的一個H∞控制器[2]。

傳統(tǒng)的活套系統(tǒng)都采用PID控制器，沒有考慮活套高度和張應力之間的相互作用，系統(tǒng)的抗擾動性能有所欠缺。相比之下，H∞狀態(tài)反饋設計是在Ricatti方程的求解條件上增加由Bode積分定理所規(guī)定的魯棒性約束，即達到式(16)所要求的性能指標，以此為目標來設計H∞反饋控制以消除建模誤差和對象零極點漂移的影響。

由于系統(tǒng)的狀態(tài)是可以直接測量到的，因此采用H∞狀態(tài)反饋控制器。首先，要滿足以下的反饋控制率：

u=Kx

使得相應的閉環(huán)系統(tǒng)

是漸近穩(wěn)定的。

閉環(huán)傳遞函數(shù)Twz(s)的H范數(shù)滿足：

(17)

當且僅當存在一個對稱正定矩陣X和矩陣W，使得矩陣不等式

(18)

成立，則u=W*(X*)-1x是式(15)所示系統(tǒng)的一個狀態(tài)反饋H∞控制器[4]。

在加入了H∞狀態(tài)反饋控制器后AGC-LP系統(tǒng)的框圖如圖3所示。

要確定矩陣不等式(18)中的各子矩陣，由式(13)可得：

圖3 帶H∞反饋控制器的AGC-LP系統(tǒng)框圖

(19)

取活套高度角為10°,彈性模量E=2.1×105MPa，GD2=1.5×105kN·m；σ=25.9 MPa，L、l1、l2、R分別為6、2.2、1.8、0.8 m，J=78.5 N·m，B=8.5，Bw=0.082，C=8.25，H=0.3m，h=0.156 m，Ks=50，則可求得系統(tǒng)矩陣A、B2、C1，而外部擾動的系數(shù)矩陣B1、D11、D12未知；系統(tǒng)的測量輸出對應的系數(shù)矩陣C2、D21、D22均可通過觀測得到。在熱連軋系統(tǒng)中，擾動的因素很多，例如溫度、軋輥形變等，這些擾動綜合起來影響軋制帶鋼的厚度，基于這一點，用近似的白噪聲和正弦擾動來模擬帶鋼在軋制過程中的厚度波動，則可求得系數(shù)矩陣B1、D11。

得到了式(19)所需的各個矩陣后，再利用MATLAB的LMI工具箱相關函數(shù)進行求解。因為AGC-LP系統(tǒng)的優(yōu)化問題是一個具有線性矩陣不等式約束的線性目標函數(shù)最小化問題，故使用工具箱中的求解器mincx，將AGC-LP系統(tǒng)的狀態(tài)空間矩陣代入到式(18)的矩陣不等式進行求解。經過反復的迭代運算，得到系統(tǒng)的最優(yōu)H∞性能指標γ1的值如表1所示。

表1 線性目標在LMI約束下的最小化

Table 1 Minimization of linear target under LMI constraints

迭代計算次數(shù)當前γ1的最小值16642662122384．73102091．8487463．29??479448．017279488165．4510004981．797114??880．404939890．410422

最終，γ1達到最小值0.410 422，得到了滿足H∞性能指標的最優(yōu)解，可以求得優(yōu)化系統(tǒng)性能的閉環(huán)反饋控制矩陣，為了方便仿真，再通過MATLAB指令:

[gopt,k]=hinflmi(P,r)

(20)

得到系統(tǒng)的最優(yōu)H∞控制器K(s)，對應的系統(tǒng)矩陣可以由函數(shù)[ak,bk,ck,dk]=ltiss(K(s))求得，這樣就能得到一個使H∞性能指標γ1最優(yōu)的控制器矩陣。

3 仿真結果及分析

3.1 H∞控制器與PID控制器對AGC-LP系統(tǒng)響應的影響

采用Simulink軟件進行仿真，對使用H∞控制器與PID控制器時AGC-LP系統(tǒng)的輸出進行比較。按照圖3所示的系統(tǒng)結構搭建閉環(huán)仿真框圖，主控制器K(s)的系統(tǒng)矩陣和液壓AGC-LP的系統(tǒng)矩陣用兩個狀態(tài)空間模塊表示，其中主控制器的系統(tǒng)矩陣分別與式(20)所求得的ak、bk、ck、dk相對應。

以鞍鋼F3機架出口為例，設定帶鋼出口厚度為7.52 mm，張應力為25.9 MPa，活套高度角為9°。經過仿真，在持續(xù)擾動下，AGC活套系統(tǒng)的張應力、活套高度角、軋件厚度3個變量在傳統(tǒng)PID控制和H∞控制下的響應曲線如圖4所示。由圖4可以看出，對于活套高度角和軋件厚度的響應，使用H∞控制器不但減少了震蕩和調節(jié)時間，同時活套角的超調量減小，軋件厚度的穩(wěn)態(tài)精度也得到提高，張應力的調節(jié)時間由0.9 s縮短到0.6 s。總體上看，H∞控制較PID控制調節(jié)時間縮短，過渡過程比較平穩(wěn)，過渡過程中的震蕩次數(shù)減少，震蕩幅度也有所降低，有效避免了張應力的瞬間突變，超調及響應時間也同時縮短，可以控制熱連軋過程盡快進入穩(wěn)態(tài)。

(a)張應力 (b)活套高度角 (c)軋件厚度

圖4 系統(tǒng)在H∞和PID控制方式下的輸出比較

Fig.4 Comparison of output of system under the H infinity and PID control

3.2 H∞控制器對AGC-LP系統(tǒng)的解耦效果

對活套張應力和活套高度角分別附加1 MPa和3°的階躍擾動，仿真對比使用H∞控制器和傳統(tǒng)PID控制器時AGC-LP系統(tǒng)的響應，以驗證H∞控制器對AGC-LP系統(tǒng)的解耦效果，結果如圖5所示。由圖5中可以看出，與PID控制器相比，本文所設計H∞控制器對AGC-LP系統(tǒng)的解耦有較大的幫助。

(a)高度角受擾時高度角和張應力響應曲線

(b)張應力受擾時高度角和張應力響應曲線

3.3 H∞控制器控制下AGC系統(tǒng)的輸出響應

為了驗證加入H∞控制器后液壓AGC系統(tǒng)的厚度控制效果，按照實際情況，仿真中在帶鋼進入精軋前施加擾動，主要考慮中間坯頭尾厚度波動、溫度以及高頻隨機擾動等干擾信號模擬帶鋼厚度變化情況。設帶鋼原始厚度為H0，則帶鋼厚度的波動可近似表示為

模擬鞍鋼集團朝陽鞍凌鋼鐵有限公司熱連軋機組F1～F5機架的出口厚度給定量[5]，每一個機架都按照各自的設定給定相應的輥縫、活套高度角以及厚度值，仿真結果如圖6所示。由圖6中可知，雖然存在來料厚度不均勻以及壓力和彈跳的波動等影響因素，但通過H∞控制器控制的AGC系統(tǒng)的調節(jié)，機架出口的帶鋼厚度基本穩(wěn)定，由此證明了系統(tǒng)模型的準確性與控制器的有效性。

圖6 F1～F5機架出口厚度仿真結果

Fig.6 Simulation effort of F1～F5 mills’ outgoing thickness

4 結語

本文研究了基于LMI的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制方法在AGC-LP控制系統(tǒng)中的應用，通過建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，使用LMI工具箱進行優(yōu)化求解，讓系統(tǒng)性能指標優(yōu)化的過程更加簡便。仿真結果表明采用H∞控制理論設計的控制器不僅可以讓系統(tǒng)具有良好的性能指標，還對耦合系統(tǒng)有較好的解耦效果，這對于AGC-LP系統(tǒng)性能的改進有一定的實際意義。

[1] 童朝南，武延坤，宗勝悅，等. 熱連軋中液壓活套系統(tǒng)數(shù)學模型的研究[J]. 系統(tǒng)仿真學報, 2008, 20(6):1381-1385，1389.

[2] 曲蕾，王京. 多變量非線性厚度-活套系統(tǒng)的魯棒逆控制[J]. 控制理論與應用, 2009, 26(5):562-566.

[3] 童朝南，孫一康，陳百紅. 熱連軋AGC控制中活套補償?shù)膬煞N觀點[J]. 軋鋼, 2002, 19(4):47-48.

[4] 俞立. 魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學出版社, 2002.

[5] 莊野，張輝，劉新婷. 鞍凌熱連軋自動厚度控制系統(tǒng)實時仿真[J]. 冶金自動化, 2013, 37(6):54-58.

[責任編輯 鄭淑芳]

Design of H∞controller for hydraulic AGC-looper coupling system for hot strip mills

LuLingyun1,LiWeigang1,2,HuangWeihua1,YanBaokang1

(1. College of Information Science and Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China; 2. Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process, Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065, China )

According to the characteristics of the automatic gauge control(AGC) system and the looper control system of hot strip mills, a model of the hydraulic AGC-LP system was constructed by the models of two subsystems. The appropriate control target was selected by the criterion of the generalized system to establish the generalized controlled object, and then the H∞state feedback controller was designed to achieve the optimal performance, with the linear matrix inequality(LMI) of robust control toolbox in Matlab. Comparing the PID control system with H∞controll system in simulation, the results show that the system with the designed H∞controller has a better dynamic and static performance, in which the relevant decoupling performance among variables of two subsystem has been improved.

hot strip mill; AGC; looper system; H∞controller; LMI; decouple

2017-03-25

湖北省教育廳科學技術研究計劃重點項目(D20161103)；武漢市青年科技晨光計劃資助項目(2016070204010099)；武漢科技大學冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學湖北省重點實驗室開放基金資助項目(Z201501).

魯凌云(1993-)，男，武漢科技大學碩士生.E-mail:121063261@qq.com

李維剛(1977-),男，武漢科技大學教授，博士.E-mail:liweigang.luck@foxmail.com

10.3969/j.issn.1674-3644.2017.04.008

TP273

A

1674-3644(2017)04-0279-06