廣州大學附屬中學(510006) 王守亮

一堂解題教學及思考

廣州大學附屬中學(510006) 王守亮

《普通高中數學課程標準(實驗)》明確提出:“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習,高中數學課還應倡導自主探索,動手實踐,閱讀自學等學習方法的轉變”,筆者認為,要真正改變學生的學習方式,提高學生的探究能力,必須要將數學探究教學植根于日常教學活動中去,充分調動學生學習的積極性、主動性.2016年筆者在上一節(jié)有關數列和型不等式的解題課教學時,根據學生的探究活動情況,選擇放手讓學生自主思考、交流探索,力求課堂自然生成.現撰寫成文,以求教于同行.

一、教學過程

(一)題目呈現

例題. 已知數列{an}是首項為1,并且對于任意n∈N?,且n＞1,都有an=2an-1+1成立

(I)求數列{an}的通項公式；

(二)講解過程

筆者發(fā)現第二問學生一時無從下手,就引導學生分析題型特點:是分式和型數列不等式問題,但很難直接求和.因為是不等式證明,我們是否可以考慮將每一項適當放大一點使之變?yōu)榭梢郧蠛偷臄盗袉栴}?

∵2n-1≥2n-1,∴anan+1=(2n-1)(2n+1-1)≥2n-12n=22n-1,這樣就有:

結果發(fā)現放縮過度.筆者進一步分析引導:由于按照這種放縮法,該數列前幾項放縮后誤差較大,我們可否保留誤差較大的一項或幾項不變?同學們開始動手嘗試,有同學說那就第一項不要變了,老師:你們試試再說.

很快學生A發(fā)言: 老師,我發(fā)現若保留一項不變仍然不行.

學生B:我用前兩項保留不變可以證得結論:下面是同學B證明過程:有:

教師: 很好!看來有時我們在先用放縮法證數列和型不等式時,未必一次能夠證成功,有時還要嘗試保留一些項不變才行.

學生C:老師,學生B的解答有漏洞,上面過程應改為n≥3,

教師:那n=1,2怎么辦呢?

學生C:其實,對于n=1,2不等式是否成立可單獨驗證.

教師:非常好!筆者進一步引導:同學們再看看該數列還有什么特點?

學生D:分母為兩項之積,是數列中相鄰兩項之積.

教師:對你有何啟發(fā)嗎?

學生D:這樣的數列求和特點常常進行“裂項相消”,但剛才我試了一下好像不行.

教師:為何不行?

學生D:因為裂項之后,每一項產生的系數是一個變量,無法實現相消,

教師:奧,確實如此!同學們想想能否用此法求證?

學生E舉手發(fā)言: 老師,我們是否可以學生D的裂項結果再進行放縮?一會兒,學生E給出如下解法:

當n≥3時,

學生F:老師:我有這樣一種政法,給出下面的解法:因為,當n ≥ 3時,當且僅當n=3時等號成立,所以an≥2n+1(n≥3),有

容易驗證:n=1,2時不等式成立,從而命題得證.到此,本題基本完成了本題教學,但筆者隨后又問:不知道還有沒有其他解法,同學們可以再思考一下.

講完之后留給學生一些思考時間也是筆者的一貫做法,這時學生常常會進行知識的消化吸收、內化整理,甚至會有新的火花蹦出.果真,很快有學生舉手發(fā)言:

學生G:老師,我根據您的解法一是將分母這樣變形,證明過程由于第一種解法由(I)得成立,∴當n≥ 2時,時,

容易驗證:n=1時,不等式成立,從而命題得證.

老師:非常好!

學生H:老師,我在考慮這樣一個問題:2n-1≥2n-1,右邊一定是2n-1嗎?

教師: 其實右邊也可以是k2n-1的形式,事實上:設2n-1≥k2n-1對一切n≥2成立,即k只需即可,取則有下面請同學們自己證明.

學生I給出如下證明: 當n≥2時,anan+1=(2n-1)(2n+1-1)≥·22n-1,

易證:n=1,不等式成立,從而命題得證.

老師: 非常好,看來只要大家肯動腦筋,解題時一定能想出很多好辦法.

學生J:老師,對學生G的做法我也可以用學生I的方法進行改進:設22n+1-3·2n+1≥k22n對一切n≥2成立,則只需則

到此下課鈴響了,最后教師作了簡單的小結:放縮的方法多種多樣,本節(jié)是根據題型特點找到了那么多的方法,所以,解題時一定要根據題型特點,認真分析,當放縮過來頭時要注意調整或改進.

二、教學反思與啟示

按照事先準備好的教案,筆者還有一道例題未講,但在解決問題的過程中,同學生積極思考,勇于探索,一節(jié)課下來,同學生興奮不已,這正是我們教學所需要的.由此也引起筆者的一些反思.

(一)解題課教學選題要有代表性典型性

數學教學離不開解題,但數學的題不在多,而在精,備課中我們要精于選題,尋找具有代表性的試題,本節(jié)課中的例題是數列和型不等式的常見題型,通過本題的訓練,相信學生對此類問題的一般處理方法會有一個較為系統(tǒng)的認識,達到舉一反三之目的.

(二)教師要為學生探究活動搭橋鋪路

《普通高中數學課程標準(實驗)》明確提出,教師應成為學生進行數學探究的組織者、指導者、合作者.學生為主體、教師為主導、訓練為主線,這是我們一直倡導和追求的數學課堂.在本節(jié)課中,筆者以已有知識為基礎引導學生尋找問題的解決策略,在整個探究過程中教師起到為學生攀登思維高峰搭建“腳手架”的角色.筆者認真在日記中寫到:數學的解題教學不能只停留在簡單的模仿過程,而應該是開啟學生心智的過程,學生能在探究活動中尋求問題解決的不同策略本身就是教學活動的重要內容,在教學活動中學生思維得到啟發(fā),能力得到提升本身就是我們教學的根本追求,提高學生分析問題和解決問題的能力才是我們數學教學的根本任務.

(三)教師要擁有完整的知識結構和較強的課堂調控能力

當我們在引導學生進行探索活動時,課堂經常會生成很多新的信息,但當課堂出現生成與預設不合時,教師應當迅速作出反應,這需要教師要有完備的知識結構,才能夠及時應對課堂可能出現的新情況、新問題.作為課堂的主導者和組織者教師還要能夠因事利導,要善于抓住機會及時引導學生進行自主探究活動,本節(jié)課學生G提出的問題“2n-1≥2n-1,右邊一定是2n-1嗎?”就很具有挑戰(zhàn)性,但教師如果不進行及時的調控引導,可能會使問題變得復雜而不可收拾,而教師抓住這一信息及時引導到“k2n-1”的形式,使本節(jié)的學習探究活動上升到一個新的高度.