安徽省滁州中學(xué)(239000) 郭守靜 張曉建

多維思考引領(lǐng)教學(xué) 生態(tài)互動(dòng)激活課堂
——以一道高考試題的教學(xué)運(yùn)用為例

安徽省滁州中學(xué)(239000) 郭守靜 張曉建

2016年4月,筆者所在滁州市郭守靜中學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室開展了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中生態(tài)課堂的構(gòu)建研討會(huì),并上了一節(jié)關(guān)于數(shù)列的專題復(fù)習(xí)課.本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念與想法是“多維思考引領(lǐng)教學(xué),生態(tài)互動(dòng)激活課堂”.在設(shè)計(jì)過程中,筆者以2014年安徽省高考數(shù)學(xué)理科試題第21題為教學(xué)內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生“多維思考”,開展“生態(tài)互動(dòng)”的教學(xué)活動(dòng).

真題再現(xiàn) (2014年安徽省高考數(shù)學(xué)理科第21題)設(shè)實(shí)數(shù)c＞0,整數(shù)p＞1,n∈N?.

(1)證明:當(dāng)x＞-1且x/=0時(shí),(1+x)p＞1+px;

(2)數(shù)列{an}滿足證明:an＞an+1＞c1p.

本題的第一小問實(shí)際上選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-5不等式選講》第四章第二節(jié)《用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》的例3,也即貝努利不等式.高考試題的命制來源于課本的例題,這也要求我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)中應(yīng)回歸課本,逐本朔源.在教學(xué)過程中,我設(shè)計(jì)了問題串,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯的思考,促使學(xué)生自然生成解題思路,多維度的分析問題,達(dá)到生態(tài)互動(dòng),激活課堂.

問題1 此不等式的證明如果把p看作變量,那么就是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)的不等式,你能想到用什么方法證明呢?我們常用什么方法證明關(guān)于正整數(shù)的不等式呢?

學(xué)生1 數(shù)學(xué)歸納法,并順利完成證明.

解法1(數(shù)學(xué)歸納法)

(1)當(dāng)p=2時(shí),由x/=0得(1+x)2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立

(2)假設(shè)當(dāng)p=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即有(1+x)k＞1+kx.當(dāng)p=k+1時(shí),(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k＞(1+x)(1+kx)=1+x+kx+kx2＞1+(k+1)x所以當(dāng)p=k+1時(shí)不等式成立.由(1)(2)可知,不等式成立.

問題2 既然我們把這個(gè)不等式看作是關(guān)于正整數(shù)的不等式,應(yīng)該可以和數(shù)列建立關(guān)系,同學(xué)們能否結(jié)合你所學(xué)過的關(guān)于數(shù)列方面的知識(shí)證明?是否可以構(gòu)造一個(gè)數(shù)列呢?如果構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,那么不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為什么呢?引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化不等式可以得到:∵(1+x)p＞0,故即證由此可設(shè)

問題3 問題即轉(zhuǎn)化為證明an＜1,那我們需要解決數(shù)列{an}什么方面的性質(zhì)呢?學(xué)生經(jīng)過思考得到需要研究{an}的單調(diào)性,由學(xué)生完成并展示解法2.

∴{an}為單減數(shù)列,故又x＞-1且x/=0時(shí),x2＞0,所以必然成立故有即原不等式成立.

評(píng)析:此處的設(shè)計(jì)目的和意圖是通過問題驅(qū)動(dòng)帶動(dòng)學(xué)生去復(fù)習(xí)鞏固知識(shí),通過解決數(shù)列與不等式的基本方法數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列的單調(diào)性來解決問題,起到復(fù)習(xí)基本知識(shí)和基本技能的作用.

問題4 我們用數(shù)列的思想解決了本題,那么現(xiàn)在我們觀察發(fā)現(xiàn)(1+x)p(p＞1,p∈N?),這樣的結(jié)構(gòu)我們同學(xué)能夠想到你所學(xué)過的什么知識(shí)呢?

學(xué)生2:二項(xiàng)式定理

教師:我們可不可以用二項(xiàng)式定理來證明這個(gè)不等式呢?由二項(xiàng)式定理可得:(1+x)p=1+px+

教師:是否可以直接得到(1+x)p=1+px+

學(xué)生3: 不行,因?yàn)閤的范圍有影響,可以考慮對(duì)分x＞0和-1＜x＜0兩種情況討論.學(xué)生考慮的非常好,由此給出下列解法.

解法3: 當(dāng)x＞0時(shí),用二項(xiàng)式定理來證明(1+x)p=

教師: 當(dāng)-1＜x＜0時(shí),怎么辦?

學(xué)生3:好像不能判斷符號(hào),要不也用數(shù)學(xué)歸納法證明?(學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題,但沒有找到解決的辦法,于是又借助前面所學(xué)習(xí)的方法來解決這種情況)

問題5 當(dāng)-1＜x＜0,我們是可以用數(shù)學(xué)歸納法來補(bǔ)充證明,除了數(shù)學(xué)歸納法之外還有沒有其他的辦法?我們是把p看作變量,來解決問題的,是否可以把x看作變量來研究呢?如果把看作變量,則是一道函數(shù)與不等式的問題,我們用什么方法?(這里引導(dǎo)學(xué)生突破思維的障礙,變換角度,試圖通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的思想方法來解決本題)

學(xué)生4:導(dǎo)數(shù)

教師: 很好,那同學(xué)們思考一下,應(yīng)該構(gòu)造怎么樣的函數(shù)呢?

學(xué)生4: 解法4:構(gòu)造函數(shù),記f(x)=(1+x)p-px-1(x ＞ -1),則 f′(x)=p(1+x)p-1-p(x ＞ -1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f(x)在(-1,0)上單減,在(0,+∞)上單增故f(x)在x=0處取得極小值即最小值f(0)=0,所以f(x)=(1+x)p-px-1≥0.又x＞-1且x/=0所以f(x)=(1+x)p-px-1＞0,原不等式成立.

學(xué)生3: 解法3中,當(dāng)-1＜x＜0時(shí),也可以用導(dǎo)數(shù)解決.

評(píng)析:此處的設(shè)計(jì)目的和意圖是引導(dǎo)學(xué)生變換思考的角度,轉(zhuǎn)變變量,運(yùn)用函數(shù)的思想來解決關(guān)于數(shù)列和不等式的問題,我們需要借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而證明不等式.

教師:非常好,同學(xué)們已經(jīng)從數(shù)列的角度以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的角度解決的問題,老師在這里還有其他的方法,同學(xué)們想不想知道?(學(xué)生很是驚奇,還有方法?)

現(xiàn)在我回歸本身,第一問實(shí)際上也是一個(gè)不等式證明,那我們可不可以用不等式的方法來解決問題呢?

給出引理 1:xn-yn=(x-y)[xn-1+xn-2y+ ···+xyn-2+yn-1]

教師:同學(xué)們可不可以結(jié)合上述等式對(duì)問題進(jìn)行分解?(學(xué)生都躍躍欲試)

學(xué)生5: 由xn-yn=(x-y)[xn-1+xn-2y+···+xyn-2+yn-1],∴(1+x)p-1p=x[(1+x)p-1+(1+x)p-2+···+1]

教師:很好,請(qǐng)同學(xué)完成解答.

解法5結(jié)合

教師: 我還有個(gè)方法,大家想不想知道?(此時(shí)的課堂,學(xué)生已經(jīng)完全投入到思考問題,解決問題中,按照我所設(shè)計(jì)的問題串,學(xué)生思維活躍,積極思考)教師給出證明方法:

解法6 引理 2:n維的均值不等式:(當(dāng)且僅當(dāng) a=a=12···=an時(shí)取等號(hào)).當(dāng)1+px≤ 0時(shí),∵(1+x)p＞ 0,∴(1+x)p＞ 1+px成立;當(dāng)1+px ＞ 0,則即證.

評(píng)析:不等式的解決方法技巧性較強(qiáng),教師在這里不是讓學(xué)生直接去用,二是給出引理,引導(dǎo)學(xué)生去試圖解決問題,在提醒的同時(shí),也調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,在引導(dǎo)學(xué)生使用什么方法來解決問題的前提下,可以克服學(xué)生做題的盲目性.但由于技巧性太強(qiáng),且超越了考試大綱,故在課堂教學(xué)中,教師最終展示了解答.

多維思考引領(lǐng)教學(xué),不僅能是學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),促進(jìn)學(xué)生思維的多元化發(fā)展,同時(shí)也為學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)終身學(xué)習(xí)打下了夯實(shí)的基礎(chǔ).而以生態(tài)互動(dòng)激活課堂的真實(shí)意義在于讓學(xué)生不再把學(xué)習(xí)看作是一件痛苦的事情,他們是課堂的主人,他們享受著學(xué)習(xí)所帶來的快樂,并同時(shí)樂于和別人去分享所學(xué),在活動(dòng)中學(xué)習(xí),在問題中學(xué)習(xí),透過問題,感悟數(shù)學(xué)的真諦.