趙麗麗，師曉敏，趙翠蘭

（1.赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

數(shù)理與計(jì)算機(jī)

磁場中氦原子內(nèi)電子的自旋效應(yīng)研究

趙麗麗1，師曉敏2，趙翠蘭2

（1.赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

本文利用求解能量本征方程方法，研究外磁場對(duì)氦原子中兩電子體系能量的影響，進(jìn)而研究自旋效應(yīng).理論結(jié)果表明，若自旋狀態(tài)在磁場方向的投影為零，則自旋磁矩與外磁場的相互作用能量為零，自旋對(duì)體系無影響；反之，若自旋狀態(tài)在磁場方向的投影不為零，則自旋磁矩與外磁場的相互作用能量不為零，自旋對(duì)體系有影響.所以，氦原子處于基態(tài)時(shí)，自旋對(duì)體系無影響；處于激發(fā)態(tài)時(shí)，自旋的影響隨自旋狀態(tài)的不同而不同.

電子；能量；自旋；自旋磁矩；軌道磁矩

1 引言

量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及相關(guān)現(xiàn)象的理論，由于微觀粒子具有波粒二象性，導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與經(jīng)典力學(xué)有本質(zhì)區(qū)別.其狀態(tài)由波函數(shù)描述，狀態(tài)變化遵從薛定諤方程.當(dāng)勢函數(shù)不顯含時(shí)間時(shí)，薛定諤方程的求解歸結(jié)為能量本征方程的求解.通過求解能量本征方程，可以獲知體系的物理性質(zhì)，如方勢阱中的粒子、線性諧振子以及氫原子等體系的能量是量子化的、不同狀態(tài)上粒子概率密度分布不同等.微觀粒子除軌道運(yùn)動(dòng)外，還有自旋，自旋是一種相對(duì)論效應(yīng).具有相對(duì)論效應(yīng)的微觀粒子的運(yùn)動(dòng)服從狄拉克方程，該方程的哈密頓量在非相對(duì)論極限下會(huì)有一項(xiàng)與自旋相關(guān)的項(xiàng)，將其引入薛定諤方程，可以研究微觀粒子的自旋.

本文主要研究磁場中氦原子內(nèi)電子的自旋性質(zhì).為簡單起見，將電子之間的相互作用忽略，將體系視為兩電子理想體系.根據(jù)類氫體系構(gòu)造系統(tǒng)的本征函數(shù)，求得能量本征值，進(jìn)而研究自旋與磁場的關(guān)系.

2 理論推導(dǎo)

將氦原子至于外磁場 中,計(jì)及自旋后，兩電子體系的哈密頓量為[1]

其中μ為電子質(zhì)量，c為光速，z*是有效核電荷數(shù).分別是電子1(2)相對(duì)于原子核的位置矢量、自旋角動(dòng)量在 軸的投影、動(dòng)量、矢量勢.選取如下的矢量勢

將（2）式代入（1）式，整理得

式（8）的解為[1]

2.1 基態(tài)性質(zhì)

氦原子處于基態(tài)時(shí)，兩個(gè)電子均處于1s態(tài)，其空間波函數(shù)為對(duì)稱波函數(shù)

則兩電子自旋波函數(shù)為反對(duì)稱化波函數(shù)

其中α(i)，β(i)，i=1,2是第i個(gè)電子自旋角動(dòng)量Sz的本征態(tài)，滿足

兩電子體系的總波函數(shù)應(yīng)為

2.2 第一激發(fā)態(tài)性質(zhì)

兩個(gè)電子一個(gè)處于n=1的態(tài)φ100，一個(gè)處于n=2的φ200，φ210，φ211，φ21-1.此時(shí)兩電子體系的自旋波函數(shù)分別為

體系基態(tài)能量的期待值為

但空間波函數(shù)有幾種不同情況，下面分別計(jì)算.

2.2.1 兩個(gè)電子分別處于φ100或φ200態(tài)體系的空間波函數(shù)為

則體系的總波函數(shù)分別為經(jīng)過計(jì)算，得

2.2.2 兩個(gè)電子分別處于φ100或φ210態(tài)

體系的空間波函數(shù)為

體系的總波函數(shù)分別為

經(jīng)過計(jì)算，得

2.2.3 兩個(gè)電子分別處于φ100或φ211態(tài)體系的空間波函數(shù)為

體系的總波函數(shù)分別為

經(jīng)過計(jì)算，得

2.2.4 兩個(gè)電子分別處于φ100和φ21-1態(tài)

體系的空間波函數(shù)為

體系的總波函數(shù)分別為

經(jīng)過計(jì)算，得

3 結(jié)果與討論

從理論推導(dǎo)可知，當(dāng)體系所處狀態(tài)不同時(shí)，自旋運(yùn)動(dòng)、軌道運(yùn)動(dòng)磁矩對(duì)體系的影響不同.如果體系總波函數(shù)中含自旋波函數(shù)χA或χ10、含有空間波函數(shù)φnlm(m=0)，則由于〈χA|SiZ|χA〉=0或〈χ10|SiZ|χ10〉=0，及〈φnl0|l?Z|φnl0〉=m?=0，導(dǎo)致自旋磁矩與軌道磁矩對(duì)體系能量無貢獻(xiàn)，則外磁場對(duì)體系能級(jí)無影響，如式（20）所示.

若體系總波函數(shù)中含有自旋波函數(shù)χ11和χ1-1，則自旋磁矩對(duì)能量有影響，在χ11態(tài)上，自旋對(duì)能量的影響為2?ωL；如式（21）、（27），在χ1-1態(tài)上，自旋對(duì)能量的影響為-2?ωL，如式（23）、（29）.

若體系中的空間波函數(shù)中含有φnlm(m≠0)，則軌道磁矩對(duì)能量有影響，在φ211態(tài)上，軌道運(yùn)動(dòng)對(duì)能量的影響為?ωL，如式（32），在φ21-1態(tài)上，軌道運(yùn)動(dòng)對(duì)能量的影響為-?ωL，如式（38）.

當(dāng)體系所處狀態(tài)含有χ11，χ1-1或χ211，χ21-1態(tài)時(shí)，自旋運(yùn)動(dòng)、軌道運(yùn)動(dòng)均對(duì)體系能量產(chǎn)生影響，如式（33），軌道運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)為?ωL，自旋的貢獻(xiàn)為2?ωL，其它的可以同樣分析.所以，外磁場對(duì)體系是否產(chǎn)生影響，取決于體系所處的狀態(tài).若有影響，則能量正比于，即與外磁場成線性關(guān)系.

4 結(jié)論

利用求解能量本征方程方法，通過具體構(gòu)造體系反對(duì)稱化波函數(shù)，研究外磁場對(duì)體系能量的影響，進(jìn)而研究氦原子中兩電子體系的自旋效應(yīng).從理論結(jié)果看到，自旋是否對(duì)體系能量產(chǎn)生影響，取決于體系自旋磁矩與外磁場的相互作用.若體系波函數(shù)中含有自旋波函數(shù)χ10或χ00，自旋磁矩在外磁場方向的投影為零，則自旋對(duì)體系能量無影響，若體系波函數(shù)中含有自旋波函數(shù)χ11和χ1-1，自旋磁矩在外磁場方向的投影不為零，分別為，則自旋磁矩對(duì)能量有影響，在χ11態(tài)上，自旋對(duì)能量的影響為2?ωL，在χ1-1態(tài)上，自旋對(duì)能量的影響為-2?ωL；由于，則能量正比于，即能量隨外磁場線性增加或線性減少.

〔1〕曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

O413.2

A

1673-260X（2017）06-0001-02

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