袁守成

（普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南普洱665000）

雙參數(shù)指數(shù)分布平均壽命比率的區(qū)間估計(jì)

袁守成

（普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南普洱665000）

假定產(chǎn)品壽命服從雙參數(shù)指數(shù)分布，在無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)場(chǎng)合下通過(guò)分布的Edgeworth展開(kāi)和對(duì)應(yīng)分位數(shù)的Cornish-Fisher展開(kāi)方法得到了兩獨(dú)立產(chǎn)品平均壽命比率的漸進(jìn)分布及置信區(qū)間。經(jīng)過(guò)分析，所給出的置信區(qū)間不僅適用于大樣本的情況，而且在小樣本的條件下同樣令人滿意。

雙參數(shù)指數(shù)分布；置信區(qū)間；Edgeworth展開(kāi)；Cornish-Fisher展開(kāi)

0 引言

產(chǎn)品質(zhì)量是一個(gè)企業(yè)發(fā)展與競(jìng)爭(zhēng)的重要因素之一，而產(chǎn)品的壽命是產(chǎn)品質(zhì)量的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)。在生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)碰到這樣一些問(wèn)題：某產(chǎn)品壽命與其升級(jí)前或與其他同類產(chǎn)品壽命相比較是否有相對(duì)優(yōu)勢(shì)，是否能夠達(dá)標(biāo)。因此，兩種產(chǎn)品平均壽命比率的估計(jì)是一個(gè)不可忽視的問(wèn)題。雙參數(shù)指數(shù)分布是產(chǎn)品壽命分析中常見(jiàn)的一種分布，設(shè)某產(chǎn)品的壽命X服從雙參數(shù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：

f(x;μ，θ)=θ-1e-(x-μ)/θ， x≥μ

記做X～EXP(μ，θ)，其中θ＞0為尺度參數(shù)，-∞＜μ＜∞為位置參數(shù)。容易得到產(chǎn)品的平均壽命為μ+θ，故兩種獨(dú)立產(chǎn)品的平均壽命的比率為它們各自參數(shù)之和的比率。關(guān)于這方面的研究已有一些成果。例如，在文獻(xiàn)[1]中，給出了平均壽命比率樞軸量的漸進(jìn)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但該方法收斂速度很慢，在小樣本要求下，效果不令人滿意。在文獻(xiàn)[2]中，作者基于廣義變量的方法討論了平均壽命比率的置信區(qū)間，但該方法涉及大量模擬計(jì)算，所得結(jié)論不具有一般性。本文主要研究?jī)瑟?dú)立產(chǎn)品平均壽命比率的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題，主要依據(jù)Edgeworth展開(kāi)和Cornish-Fisher展開(kāi)的方法，該方法在很多統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題[3-6]中有廣泛的應(yīng)用，但是在產(chǎn)品壽命的分析中卻很少見(jiàn)到。本文利用這種方法對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行合理的逼近，利用更多的分布信息來(lái)減少平均壽命比率區(qū)間估計(jì)的誤差。通過(guò)分析比較，本文給出的置信區(qū)間不僅適用于大樣本的情況，在小樣本的條件下同樣令人滿意。

1 預(yù)備知識(shí)及引理

由于在無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)中得到的數(shù)據(jù)是不完全的，故不能用樣本均值的比作為平均壽命比率的估計(jì)。又因?yàn)楫a(chǎn)品的平均壽命為兩參數(shù)之和，即θ+μ，所以一個(gè)自然的想法是用兩參數(shù)的UMVUE之和作為平均壽命的估計(jì)，從而可以用來(lái)作為平均壽命比率的相合估計(jì)，因?yàn)楫?dāng)截尾數(shù)r→∞時(shí)，，所以。

定義2[3]：設(shè)是未知參數(shù)θ的樣本容量為n的相合無(wú)偏估計(jì)，方差，且服從漸進(jìn)，那么稱：

關(guān)于累積量[3]的計(jì)算，設(shè)ξ為標(biāo)準(zhǔn)化后隨機(jī)變量，則前四階累積量分別為，而三、四階的累積量κ3和κ4被認(rèn)為是偏度和峰度，在正態(tài)逼近中用于糾正產(chǎn)生的偏差。在實(shí)際應(yīng)用中，通常展開(kāi)到第二項(xiàng)，也就是保留到：

定義3[3]：設(shè)Vn的分布函數(shù)滿足Edgeworth展開(kāi)，表示Vn的α分位點(diǎn)，即zα表示

為Vn分位點(diǎn)的Cornish-Fisher展開(kāi)，其中：

V的分位點(diǎn)wα的Cornish-Fisher展開(kāi)為：

利用中心極限定理，有：

而

2 主要結(jié)果

U的分位點(diǎn)wα的Cornish-Fisher漸進(jìn)展開(kāi)為：

其中

定理2：平均壽命比率R在置信水平為1-α的近似置信區(qū)間為：

其中

3 總結(jié)

由于所構(gòu)造的置信區(qū)間是從平均壽命比率樞軸量的分布函數(shù)入手，其中保留了重要的分布信息，所以該區(qū)間不僅適用于大樣本的情況，而且對(duì)小樣本的估計(jì)也是令人滿意的。不難發(fā)現(xiàn)，在無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)中，當(dāng)截尾數(shù)r趨于無(wú)窮時(shí)，區(qū)間(3)和區(qū)間(4)是無(wú)差別的，但是當(dāng)r不是很大時(shí)，置信區(qū)間中的關(guān)鍵wα因素也隨著r做適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)。從而本文給出的置信區(qū)間與文獻(xiàn)[1]中的區(qū)間相比較，本文給出的效果更優(yōu)。

[1]Shi J H,Lin H M.Inferences on the Difference and Ratio of the Means of Two Independent Two-Parameter Exponential Distribution [J].Chinese Journal of Applied Porbability and Statistics，2013,1,(19).

[2]李建波，張日權(quán).雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)比率統(tǒng)計(jì)推斷的研究[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2010,34(1).

[3]Hall P.The Bootstrap and Edgeworth Expansion[M].New York: Springer，1992.

[4]Abramovitch L,Singh K.Edgeworth Corrected Pivotal Statistics and The Bootstrap[J].Ann.Statist.，1985,(13).

[5]Beran R.Simulated Power Functions[J].Ann.Statist.，1986,(14).

[6]Fujikoshi Y,Ulyanov V V,Shimizu R.Multivariate Statistics: High-distribution and Large-sample Approximations[M].America: Wiley，2009.

[7]周源泉,劉文生，田勝利.雙參數(shù)指數(shù)分布的可靠性評(píng)估(I)[J].質(zhì)量與可靠性，2004，(1).

（責(zé)任編輯/亦民）

Interval Estimation on the Ratio of Average Life for Two-Parameter Exponential Distribution

Yuan Shoucheng
(College of Mathematics and Statistical Science,Puer University，Pue Yunnan 665000,China)

Assuming that product life follows two-parameter exponential distribution,we obtain the asymptotic distribution and confidence interval of the ratio of two independent product life based on the Edgeworth expansion and Cornish-Fisher expansion in the case of fixed-number censored life time testing without replacement.Analyses indicate that the proposed confidence interval is not only suitable for large samples,but also equally effective for small samples.

two-parameter exponential distribution;confidence interval;Edgeworth expansion;Cornish-Fisher expansion

O211.3

A

1002-6487（2017）11-0014-03

普洱學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目資助（201334）

袁守城（1981—），男，甘肅景泰人，博士研究生，講師，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)。