印婧婧,管訓(xùn)貴

(泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+2)的整點(diǎn)研究

印婧婧,管訓(xùn)貴

(泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

目的 針對(duì)數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何學(xué)的有趣問題——橢圓曲線整點(diǎn)的確定，研究橢圓曲線G:y2=px(x2+2)的整點(diǎn)。方法 運(yùn)用二次和四次Diophantine方程的性質(zhì)。結(jié)果 設(shè)s是正整數(shù)，則當(dāng)素?cái)?shù)p=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3時(shí)，橢圓曲線G至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)；當(dāng)p=32s4+1時(shí)，橢圓曲線G僅有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(8s2,128s5+4s)。結(jié)論 解決了橢圓曲線G的可解性問題。即對(duì)某些特殊的素?cái)?shù)P，橢圓曲線G至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。所獲命題，提供了研究橢圓曲線整點(diǎn)問題的一個(gè)思路。

橢圓曲線；整數(shù)點(diǎn)；解數(shù)；上界

橢圓曲線是域上虧格為1的光滑射影曲線，它的仿射方程通常稱為Weierstrass方程，可以寫成y2+ay=x3+bx2+cx+d。如果這個(gè)域的特征不等于2和3，則可以改寫成y=x3+ax+b或y2=x(x-1)(x-λ),λ≠0,1。

作為實(shí)曲面看，復(fù)數(shù)域上的橢圓曲線就是帶有一個(gè)洞的閉曲面——環(huán)面，環(huán)面可以通過同向粘合正方形的兩對(duì)對(duì)邊得到，其拓?fù)涮澑駷?。

橢圓曲線上的點(diǎn)全體構(gòu)成一個(gè)加法群，點(diǎn)與點(diǎn)之間的“加法”運(yùn)算。正因?yàn)闄E圓曲線存在加法結(jié)構(gòu)，所以它包含了很多重要的數(shù)論信息。橢圓曲線和它的Jacobi簇是同構(gòu)的，因此它上面的“加法”結(jié)構(gòu)實(shí)際上來(lái)自于它的雅可比簇的自然加法結(jié)構(gòu)。

在直角坐標(biāo)系中，某一點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)，則稱該點(diǎn)為整點(diǎn)。

橢圓曲線上的有理點(diǎn)的個(gè)數(shù)是人們關(guān)心的重要問題，這個(gè)問題和著名的Mordell-Weil定理有關(guān)。Mordell-Weil證明整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群。另外，橢圓曲線其上所有的有理點(diǎn)可以由(-2,3),(2,5)通過群上的加法生成。

1985年，Cassele[1]證明了：如果p=3，則橢圓曲線

(1)

恰有3個(gè)正整數(shù)點(diǎn)，(x,y)=(1,3),(2,6),(24,204)。

2005年，Lica和Walsh[2]證明了對(duì)一般的奇素?cái)?shù)p，橢圓曲線(1)至多有3個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

2010年，陳歷敏[3]改進(jìn)了上述上界，證明了如果p是大于3的奇素?cái)?shù)，p≡5或7(mod8)時(shí)，橢圓曲線(1)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)；p≡1(mod8)時(shí)，橢圓曲線(1)至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)；p≡3(mod8)時(shí)，橢圓曲線(1)至多有2個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

本文對(duì)有整數(shù)點(diǎn)的情況進(jìn)一步給出。

定理1 設(shè)s是正整數(shù),如果素?cái)?shù)p=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3,則橢圓曲線(1)至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

根據(jù)定理1直接可得以下推論：

推論1 橢圓曲線y2=11x(x2+2),y2=47963x(x2+2),y2=4076363x(x2+2),y2=31573163x(x2+2)至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

定理2 設(shè)s是正整數(shù)，如果素?cái)?shù)p=32s4+1，則橢圓曲線(1)僅有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(8s2,128s5+4s)。

根據(jù)定理2直接可得以下推論：

推論2 橢圓曲線y2=2593x(x2+2)僅有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(72,31116)。

推論3 橢圓曲線y2=209953x(x2+2)僅有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(648,7558308)。

1 關(guān)鍵性引理

引理1 設(shè)D1與D2是互素的正奇數(shù)，D1、D2為非平方的正整數(shù)， (U,V)=(U1,V1)是方程D1U2-D2V2=2，gcd(U,V)=1的最小正整數(shù)解， 如果V1不是平方數(shù)， 則方程D1X2-D2Y4=2無(wú)正整數(shù)解(X,Y)。

證明 參見文獻(xiàn)[4]。

引理2 設(shè)s是正整數(shù)，如果素?cái)?shù)p=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3，則方程

(2)

無(wú)正整數(shù)解(X,Y)。

證明 易知，方程pU2-V2=2的最小正整數(shù)解為(U1,V1)=(1,36s2-36s+3)，且V1不是平方數(shù)，根據(jù)引理1，方程(2)無(wú)正整數(shù)解(X,Y)。引理2得證。

引理3 如果素?cái)?shù)p≠3，則方程X2-2p2Y4=1無(wú)正整數(shù)解(X,Y)。

證明 參見文獻(xiàn)[3]。

引理4 設(shè)gcd(D1,D2)=1，D1、D2為非平方的正整數(shù)， 如果D1>1，則方程D1X2-D2Y4=1至多有1組正整數(shù)解(X,Y)。

證明 參見文獻(xiàn)[5]。

2 定理的證明

1)證明定理1

設(shè)(x,y)是橢圓曲線(1)的正整數(shù)點(diǎn)。

情形1x為奇數(shù)。因?yàn)間cd(x,x2+2)=1，故(1)式成為

(3)

或

(4)

這里a、b是互素的正整數(shù)。

當(dāng)(4)式成立時(shí)，有

(5)

由引理2知，橢圓曲線(5)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)(a,b)。

情形2x為偶數(shù)。因?yàn)間cd(x,x2+2)=2，故(1)式成為

(6)

或

(7)

這里a、b是互素的正整數(shù)。

當(dāng)(6)式成立時(shí)，有

(8)

由引理3知，橢圓曲線(8)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)(b,a)。

當(dāng)(7)式成立時(shí)，有

(9)

由引理4知，橢圓曲線(9)至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(a,b)。

綜上所述，定理1得證。

由于s=1、3、8、13時(shí)， 8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3均為素?cái)?shù)，故得推論1。

2)證明定理2

設(shè)(x,y)是橢圓曲線(1)的正整數(shù)點(diǎn)。若x=a2(a為正整數(shù))，則(1)式成為y2=pa2(a4+2)，于是有正整數(shù)b，使

(10)

由(10)知，a、b均為奇數(shù)，考慮到p≡1(mod8)，得出3≡1(mod8)，矛盾。

若x=a2m(m為大于1的非平方正整數(shù))，則(1)式成為y2=pa2m(a4m2+2)，于是當(dāng)m=p時(shí)，a4m2+2必須是完全平方數(shù)，這顯然是不成立的。當(dāng)m≠p時(shí)，a4m2+2=mpc2(c為正整數(shù))，易知，m|2，故m=2。取c=1可得p=2a4+1?？紤]到2|a，令a=2s(s為正整數(shù))，則得p=32s4+1，此時(shí)x=8s2，y=128s5+4s。因?yàn)閜≡1(mod8)時(shí)，橢圓曲線(1)至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)，故橢圓曲線(1)僅有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(8s2,128s5+4s)。定理2得證。

由于s=3時(shí)，32s4+1=2593為素?cái)?shù)，故得推論2；又由于s=9時(shí)，32s4+1=209953為素?cái)?shù)，故得推論3。

[1]CASSELS J W S.A Diophantine equation[J].Glasgow Math J,1985,27(01):11-18.

[2]LUCA F,WALSH P G.On a Diophantine equation of Cassels[J].Glasgow Math J,2005,47(02):303-307.

[3]陳歷敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),2010,53(01):83-86.

[4]LUCA F,WALSH P G.Squares in Lucas sequences with Diophantine applications[J].Acta Arith,2001,100(01):47-62.

[5]LJUNGGREN W.Ein Satz über die Diophantische GleichungAx2-By4=C(C=1,2.4)[J].Tolfte Skand Mat,Lund,1953,8(02)：188-194.

[責(zé)任編輯：關(guān)金玉 英文編輯：劉彥哲]

Integral Points on Elliptic Curvey2=px(x2+2)

YIN Jing-jing,GUAN Xun-gui

(School of Mathematics & Physics，Taizhou University,Taizhou,Jiangsu 225300,China)

Objective For an interesting problem in number theory and arithmetic algebraic geometry——the determination of integral points on elliptic curve,the points on the elliptic curve G:y2=px(x2+2) are studied.Methods Using properties of quadratic and quartic Diophantine equations.Results Letsbe positive integer.Ifpbe prime withp=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3,then the elliptic curve G has at most one positive integral ponit；ifp=32s4+1,then the elliptic curve G has only one positive integral point (x,y)=(8s2,128s5+4s).Conclusion The study proves the solvability of the elliptic curve G,that is the elliptic curve G has at most one positive integral point for some special primep.The statements supply an idea to study the problem of integral points on elliptic curve.

elliptic curve；integral ponit；number of positive integer solution；upper bound

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題(D201301083)；云南省教育廳科研課題(2014Y462)；泰州學(xué)院教授基金項(xiàng)目(TZXY2015JBJJ002)

印婧婧(1995-),女 ，江蘇鹽城人，泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院在讀學(xué)生，主要從事初等數(shù)論研究。

管訓(xùn)貴(1963-)，男，江蘇泰州人，教授. 研究方向：數(shù)論。

O 156.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.07.003

來(lái)稿日期：2016-05-20