李 高

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037003)

Fermat大定理的初等證明

李 高

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037003)

目的 探尋費爾馬大定理的初等證明。方法 利用二項式定理展開式、代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，及其初等數(shù)論的知識，采用反證的方法，用初等方法對費爾馬大定理進(jìn)行論證。結(jié)果 費爾馬大定理對任意的正整數(shù)n>2時，不定方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解。結(jié)論 費爾馬大定理可以用初等方法直接證明其結(jié)論的正確性。避棄了煩瑣的間接初等證明法，避開了高深的高等解法，在學(xué)習(xí)和應(yīng)用時給出了解決問題的思維方式和思路。

不定方程;正整數(shù)解;公因子;奇素數(shù);費爾馬小定理;費爾馬大定理

1 費爾馬大定理

1.1 費爾馬大定理[1]

對任意的正整數(shù)n>2時，不定方程

xn+yn=zn

沒有正整數(shù)解。

1.2 費爾馬大定理簡介

1637年，法國數(shù)學(xué)家費爾馬(Pierre de Fermat)在研讀1621年巴黎出版的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖“算術(shù)”一書時，在該書關(guān)于畢達(dá)哥拉斯三角形問題的頁邊空白處作注。注釋①：方程x2+y2=z2有無限多組整數(shù)解。注釋②：當(dāng)n是大于2的正整數(shù)時，方程xn+yn=zn是沒有正整數(shù)解的。費爾馬并寫道“我對此問題找到了奇妙的證明，可惜書的頁邊空白太窄了，寫不下”。

注釋①是關(guān)于勾股數(shù)的問題，早已被證明。注釋②一般公認(rèn)，當(dāng)時不可能有正確的證明。此注釋后來就稱為費爾馬大定理。

費爾馬大定理挑戰(zhàn)了人類近四百年。

1640年左右,費爾馬運用無窮遞降法已證明了n=4時，不定方程x4+y4=z4沒有正整數(shù)解[2-3]。

1753年歐拉(Euler)證明了n=3時,費爾馬大定理沒有整數(shù)解。

1823年勒讓德(Leqendre)證明了n=5時,費爾馬大定理沒有整數(shù)解。

1832年狄利克雷(Dirichlet)證明了n=14時,費爾馬大定理沒有整數(shù)解。

1839年勒貝格(Lebesgue)等證明了n=7時,費爾馬大定理沒有整數(shù)解。

從1621-1839年，歷經(jīng)數(shù)代數(shù)學(xué)家的努力，在這二百多年間只證明了費爾馬大定理當(dāng)n=3、4、5、7、14時的幾種情形。直到1847年，憑借庫木爾創(chuàng)立的“代數(shù)數(shù)論”這一現(xiàn)代工具，才證明了當(dāng)n<100時的費爾馬大定理，可認(rèn)為是一次質(zhì)的飛躍。

1900年，數(shù)學(xué)家希爾伯特在國際數(shù)學(xué)大會上把費爾馬大定理證明列為23個數(shù)學(xué)難題之第十個問題。

1994年英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯用非初等的間接法攻克并證明了費爾馬大定理。其歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發(fā)表在美國《數(shù)學(xué)年刊》第142卷，占滿了整個全卷，共5章，130頁。

2 費爾馬大定理初等證明

2.1 分析

對任意1個正整數(shù)k，不定方程xn+yn=zn與xkn+ykn=zkn有無正整數(shù)解是等價的[4-6]。

若n有一個奇素數(shù)因子p， 則不定方程可變形為(xn/p)p+(yn/p)p=(zn/p)p。

而n=4時， 不定方程x4+y4=z4沒有正整數(shù)解[3]， 如果n沒有奇素數(shù)因子， 則p=2k,k≥2， 不定方程(xn/4)4+(yn/4)4=(zn/4)4。

因此，只需證明n為奇素數(shù)時，費爾馬大定理成立即可。

2.2 證明

假設(shè)n為奇素數(shù)時，費爾馬大定理成立。

令x=a,y=b,z=c為方程xn+yn=zn的1組正整數(shù)解，其中c是z的最小值，則

an+bn=cn

(1)

成立。

若(a,b)=d>1， 即d|a,d|b， 則d|c， 方程(1)變形為

由(an-a)+(bn-b)=(cn-c)-(a+b-c)及費爾馬小定理知

n|(an-a),n|(bn-b),n|(cn-c)

則

n|a+b-c

設(shè)a+b-c=mn， 由c>b>a， 則a-mn=c-b>0， 所以可設(shè)a=mn+e， 同理可設(shè)b=mn+f， 則c=mn+e+f， 其中m、e、f均為正整數(shù)。

則方程(1)變形為

(mn+e)n+(mn+f)n=(mn+e+f)n

(2)

按公式an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)分解(2)式， 得

(mn+e)n=(mn+e+f)n-(mn+f)n=e[(mn+e+f)n-1+(mn+e+f)n-2(mn+f)+…+(mn+f)n-1]

同理得

(mn+f)n=(mn+e+f)n-(mn+e)n=f[(mn+e+f)n-1+(mn+e+f)n-2(mn+e)+…+(mn+e)n-1]

所以

e|(mn+e)n,f(mn+f)n

由于(a,b)=1， 所以(e,f)=1， 而

故

e|(mn)n,f|(mn)n

因此e、f中至多有1個含有因子n， 不妨設(shè)e含有因子n， 設(shè)e與mn的公共素數(shù)因子為n、p1、p2、…、pk，f與mn的公共素數(shù)因子為q1、q2、…、q1， 則

mn=Knα0p1α1p2α2…pkαkq1β1q2β2…q1β1，e=nλ0p1λ1p2λ2…pkλk，f=q1γ1q2γ2…q1γ1

其中αi,βj,λi,γj(i=0,1,2,…,k;j=1,2,…,l)都是正數(shù)。

則

λi≤nαi,γj≤nβj(i=0,1,2,…,k;j=1,2,…,l)

(3)

下面對(3)式中的不等式進(jìn)行討論。

情形1 在(3)式中至少有一個嚴(yán)格不等式成立的情形

在(3)式中，不妨設(shè)λ1

M=Knα0p2α2…pkαkq1β1q2β2…q1β1,N=nλ0p2λ2…pkλk， 則(2)式為

(Mp1α1+Np1λ1)n+(Mp1α1+f)n=(Mp1α1+Np1λ1+f)n

將上式利用二項式展開、移項、合并同類項、等式兩端同除以p1λ1后，得

=0

依據(jù)整系數(shù)方程的整數(shù)根與常數(shù)項的關(guān)系，則p1|nNfn-1， 而(p1,f)=1, (p1,N)=1， 又p1與n是不同的素數(shù)， 有(p1,n)=1， 則上式矛盾， 從而假設(shè)λ1

同理可證λi

情形2 在(3)式中，如果λi=nαi,γj=nβj(i=1,2,…,k;j=1,2,…,l)

由于mn=Knα0p1α1p2α2…pkαkq1β1q2β2…q1β1， 則

e=nλ0p1λ1p2λ2…pkλk=nλ0p1nα1p2nα2…pknαk=nλ0(p1α1p2α2…pkαk)n

f=q1γ1q2γ2…q1γ1=q1nβ1q2nβ2…q1nβ1=(q1β1q2β2…q1β1)n

設(shè)p1α1p2α2…pkαk=T，q1β1q2β2…q1β1=S， 那么mn=Knα0TS,e=nλ0Tn,f=Sn，則(2)式為

(Knα0ST+nλ0Tn)n+(Knα0ST+Sn)n=(Knα0ST+nλ0Tn+Sn)n

按二項式展開、移項、整理得

+…+

+…+

+…+

等式兩端同除以nλ0TnSn后，得

+…+

當(dāng)α0=λ0=0時，

等式右端能被n整除， 而左端不能被n整除， 產(chǎn)生矛盾， 于是α0=λ0=0命題不成立。

當(dāng)nα0-λ0=0時，

等式右端能被n整除， 而左端不能被n整除， 產(chǎn)生矛盾， 于是nα0=λ0不成立。

當(dāng)nα0-λ0>1時，

等式左端能被n2整除， 而右端不能被n2整除， 產(chǎn)生矛盾， 于是nα0-λ0>1不成立。

同理可證則nαi-λi>1,nβj-γj>1(i=1,2,…,k;j=1,2,…,l)也不成立。

情形3 在(3)式中，假設(shè)λi=nαi,γj=nβj(i=0,1,2,…,k;j=1,2,…,l)

由于mn=Knα0p1α1p2α2…pkαkq1β1q2β2…q1β1，則

e=nλ0p1λ1p2λ2…pkλk=nnα0p1λ1p2nα2…pknαk=p1λ1(nα0p2α2…pkαk)n

f=q1γ1q2γ2…q1γ1=q1nβ1q2nβ2…q1nβ1=(q1β1q2β2…q1β1)n

設(shè)nα0p2α2…pkαk=T，q1β1q2β2…q1β1=S，那么mn=Kp1α1TS,e=p1λ1Tn,f=Sn，則(2)式為

(Kp1α1ST+p1λ1Tn)n+(Kp1α1ST+sn)n=(Kp1α1ST+p1λ1Tn+Sn)n

按二項式展開、移項、整理、等式兩端同除以p1λ1TnSn后，得

+…+

+…+

等式右端能被n整除， 而左端不能被n整除， 產(chǎn)生矛盾， 于是nα1=λ1命題不成立。

同理可證λ1=nαi,γj=βj(i=1,2,…,k;j=1,2,…,l)命題不成立。

情形4 在(3)式中，λ0=0

把nα0并入K中，則(2)式為(KST+Tn)n+(KST+Sn)n=(KST+Tn+Sn)n

按an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…-abn-2+bn-1展開得

(2KST+Tn+Sn)[(KST+Tn)n-1-(KST+Tn)n-2(KST+Sn)

+…-(KST+Tn)(KST+Sn)n-2+(KST+Sn)n-1]

=(KST+Tn+Sn)n

則

2KST+Tn+Sn|(KST+Tn+Sn)n

所以2KST+Tn+Sn|(KST)n

因為(T,S)=1,[(T,S)=1,(K,S)=1,2KST+Tn+Sn>S,2KST+Tn+Sn>T)， 所以

2KST+Tn+Sn|Kn

令Kn=H(2KST+Tn+Sn)， 即

K(Kn-1-2HST)=H(Tn+Sn

(4)

則K、H必有公因子， 設(shè)(K,H)=d1， 存在2個正數(shù)n1,m1， 且(n1,m1)=1， 使得K=n1d1,H=m1d1， 則(4)式為

………………………

如此下去，由于m1≥m2≥m3≥…及mi(i=1,2,3,…)均為正數(shù)， 必進(jìn)行有限步τ后mτ為1， 則(4)式為

K(kKn-τ-1-2ST)=Tn+Sn

Tn=K(kKn-τ-1-2ST)-Sn代入(KST+Tn)n+(KST+Sn)n=(KST+Tn+Sn)n得

[kKn-τ-(KST+Sn)]n+(KST+Sn)n=Kn(kKn-τ-1-ST)n

將[kKn-τ-(KST+Sn)]n展開，上式得

上式右端能被Kn整除，左端卻不能，產(chǎn)生矛盾。

綜上所述，費爾馬大定理有正整數(shù)解的假設(shè)是不成立的。

[1]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：高等教育出版社，1957:318-319.

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1998:34-35.

[3]潘承洞.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003:71-101.

[4]龔東山，劉岳巍，賈筱景.計算一類常微分方程特解的新方法[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,24(06):1-3.

[5]常秀芳，李高.關(guān)于伯努利方程的幾種新解法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報,2007,23(02):89-91.

[6]李高，常秀芳.二階變系數(shù)線性微分方程及其衍生方程[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011,27(05)：3-15.

[責(zé)任編輯：關(guān)金玉 英文編輯：劉彥哲]

Rudimentary Proof of Fermat’s Last Theorem

LI Gao

(School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong,Shanxi 037003,China)

Objective To explore the elementary proof of Fermat’s Last Theorem.Methods The binomial theorem expansion,the relationship between root and coefficient of algebraic equation,and the elementary number theory are adopted to prove Fermat’s Last Theorem with reduction to absurdity disproof and elementary method.Results For Fermat’s Last Theorem with any positive integern>2,indeterminate equationxn+yn=znhas no positive integer solutions.Conclusion The elementary method of Fermat’s Last Theorem can be used directly to prove the correctness of the conclusion,which abandons the cumbersome indirect elementary proof method and avoids the advanced higher solution.This provoking method gives the way of thinking and ideas to solve the problem in the study and application.

Diophantine equation;positive integer solution;common factor;odd prime;Fermat’s Little Theorem;Fermat’s Last Theorem

山西大同大學(xué)教學(xué)改革資金資助項目(XJY2013211)

李高(1965-)，男，山西天鎮(zhèn)人, 副教授，研究方向：大學(xué)工科數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

O 156.2

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.07.001

來稿日期：2016-07-06