■陜西省洋縣中學(xué) 朱永明 劉大鳴((特級(jí)教師))

聚焦高考變換中的解析幾何大題

■陜西省洋縣中學(xué) 朱永明 劉大鳴((特級(jí)教師))

高考中的解析幾何題,難度為中檔以上,主要考查求曲線軌跡方程的方法,圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用,各圓錐曲線之間的聯(lián)系,直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦、最值、定點(diǎn)、定值的探索問(wèn)題等,其中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)聯(lián)系在一起,考查知識(shí)點(diǎn)多,運(yùn)算量大,能力要求高,本文圍繞如何尋找解決這種題型的技巧與捷徑來(lái)展開(kāi)。

聚焦1——利用“點(diǎn)差法”簡(jiǎn)化求解中點(diǎn)弦的有關(guān)問(wèn)題

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F,求直線l的方程。

解析：(1)由已知可得所以故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)橢圓的右焦點(diǎn)F(2,0)在橢圓內(nèi),滿足恒相交的前提,用點(diǎn)差法探究。如圖1,設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x0, y0),由三角形重心的性質(zhì)知又B(0,4),所以(2,-4)= 2(x0-2,y0),得x0=3,y0=-2,求得Q的坐標(biāo)為(3,-2)。設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=6,y1+y2=-4。

圖1

感悟:求中點(diǎn)弦方程或垂直平分線的問(wèn)題時(shí)常選用“點(diǎn)差法”?！包c(diǎn)差法”必須以直線和圓錐曲線相交為前提,且注意直線斜率是否存在,當(dāng)不存在時(shí)要特別驗(yàn)證?！包c(diǎn)差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示,在橢圓中,以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為在雙曲線中,以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為在拋物線y2= 2px(p〉0)中,以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為。

聚焦2——由特殊情況猜想定值,再通過(guò)檢驗(yàn)證明一般情況

解析：①當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí),由橢圓的對(duì)稱性,可知

感悟:對(duì)于定值的探索性問(wèn)題,我們可先特殊化處理,猜想問(wèn)題的存在性,再作一般性的證明。這樣處理能為探究提供具體的方向,減少運(yùn)算量。如本題中取平行直線系恒過(guò)原點(diǎn),利用P、Q重合得到使探究是定值的問(wèn)題簡(jiǎn)單明朗化。

聚焦3——合理選擇參變量探究曲線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

解析：設(shè)直線PQ的方程為y=kx,由解得交點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為

設(shè)M(0,yM),由A、M、P三點(diǎn)共線,得

設(shè)N(0,yN),同理由A、N、Q三點(diǎn)共線,得

感悟:本題探究以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn),需要將圓的方程(含參數(shù))寫(xiě)出來(lái),然后重點(diǎn)求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)。而M、N兩點(diǎn)是由直線PA、QA派生出來(lái)的,我們需要先探討P、Q的坐標(biāo)。設(shè)直線PQ的方程為y=kx,通過(guò)解方程組求得各個(gè)量,引入?yún)⒘縦;直接設(shè)出P、Q的坐標(biāo),用參量x0,y0表示其他量,從而順利解決問(wèn)題。

聚焦4——構(gòu)建兩條曲線交點(diǎn)的曲線系方程證明直線恒過(guò)定點(diǎn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,從拋物線C:y2=4x上的點(diǎn)P(1,2)引斜率分別為k1、k2的兩條直線l1、l2,直線l1、l2與C的異于點(diǎn)P的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B,若k1k2=4,試探究:直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)?若恒過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不恒過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：直線恒過(guò)定點(diǎn)的探究,建立直線系方程解出交點(diǎn)。設(shè)直線PA的方程為y-2= k1(x-1),直線PB的方程為y-2=k2(x-1),由整理得k1y2-4y+同理,得

因?yàn)閗1k2=4,所以故所以直線AB的斜率,直線AB的方程為x-2,解出其交點(diǎn)為(0,-2),所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2)。

感悟:利用題設(shè)寫(xiě)出已知點(diǎn)(或直線)的坐標(biāo)(或方程),設(shè)出未知點(diǎn)(或直線)的坐標(biāo)(或方程),此時(shí)設(shè)的變量為參量,結(jié)合已知條件求出目標(biāo)曲線的含參方程。常常將含參方程化成m(k)·f(x,y)+g(x,y)=0型,令與參數(shù)式m(k)相乘的式子f(x,y)=0,且g(x,y)=0解出交點(diǎn),從而證明直線恒過(guò)定點(diǎn)。

聚焦5——構(gòu)建二元目標(biāo)函數(shù)求最值

動(dòng)點(diǎn)Q在橢圓C:2x2+y2=5上移動(dòng),兩定點(diǎn)為A(-,1),B,-1)。求△ABQ的面積最大時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

解析：設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),則有5。直線AB的方程為x+2y=0,則點(diǎn)Q(x0,y0)到AB的距離且則△ABQ的面積:

根據(jù)能力提升規(guī)律，首先通過(guò)隨堂案例，進(jìn)行單元知識(shí)的學(xué)習(xí)，每一/幾個(gè)模塊學(xué)習(xí)完成后，通過(guò)單元項(xiàng)目/階段實(shí)訓(xùn)，進(jìn)行知識(shí)的鞏固和提升，課程學(xué)完之后，通過(guò)課程綜合實(shí)訓(xùn)，完成知識(shí)的靈活運(yùn)用。

感悟:設(shè)出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)后,將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù),可以不消元,將乘積2x0y0轉(zhuǎn)化為然后利用基本不等式求得△ABQ的面積的最大值,最后由2x+ y=5獲得定值。

聚焦6——利用平面幾何三點(diǎn)共線的條件求最值

圖2

感悟:橢圓上的點(diǎn)到橢圓內(nèi)一定點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)的距離之和的最小值,用定義轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)和橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離之差的最大值,再用“兩邊之差小于或等于第三邊”求最值,即用求解。

聚焦7——探索性問(wèn)題求解中的“特殊位置猜定點(diǎn)”和“肯定順推法”

圖3

(1)求橢圓E的方程。

(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí),設(shè)直線l與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)。如果存在定點(diǎn)Q滿足條件,則。所以Q點(diǎn)在y軸上,可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y0)。

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),設(shè)直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn),則M,解得y0=1或y0=2。

所以,若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0,2)。

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由上可知,結(jié)論成立。

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A、B的坐標(biāo)分別為(x1, y1)、(x2,y2)。聯(lián)立得(2k2+ 1)x2+4kx-2=0。其判別式Δ=16k2+ 8(2k2+1)〉0,所以因此2k。易知,點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B1(-x2,y2)。

感悟:圓錐曲線中的探索性問(wèn)題,首先用特殊位置探究定點(diǎn)或定值,然后采用“肯定順推法”進(jìn)行推理。假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算,若不出現(xiàn)矛盾,就說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾,則說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程。本題中利用斜率不存在或斜率為0探究出滿足條件的特殊點(diǎn)Q,然后再進(jìn)行推理,推理證明中用到直線和圓錐曲線位置研究的通法,特別引入對(duì)稱點(diǎn)證明三點(diǎn)共線將長(zhǎng)度比值轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的絕對(duì)值的比使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,值得借鑒。

(責(zé)任編輯 王福華)