呂麗君，賈蘭芳，蘇曉慧

（長治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

通用常規(guī)根軌跡動態(tài)繪制系統(tǒng)的設(shè)計

呂麗君，賈蘭芳，蘇曉慧

（長治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

根軌跡法是自動控制原理課程中的一種重要分析方法。對于高階系統(tǒng)，課堂上難以根據(jù)繪制法則繪制精確的根軌跡圖形。利用matlab界面編程技術(shù)實(shí)現(xiàn)了各階系統(tǒng)根軌跡的動態(tài)繪制，繪制過程中通過點(diǎn)擊按鈕實(shí)現(xiàn)暫停和繼續(xù)，有助于學(xué)生對根軌跡概念的理解。最后給出二階系統(tǒng)和三階系統(tǒng)的根軌跡圖形，驗(yàn)證了系統(tǒng)結(jié)果的正確性。

自動控制；根軌跡；matlab；動態(tài)繪圖

根軌跡法作為經(jīng)典控制理論中分析線性定常系統(tǒng)常用的三種基本方法之一[1]，具有簡便、物理概念清晰的特點(diǎn)。得到閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖形后，不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以分析系統(tǒng)的動態(tài)性能，從而為改善系統(tǒng)提供依據(jù)[2]。在自動控制原理課程的傳統(tǒng)教學(xué)中，常依據(jù)繪制法則來繪制根軌跡。利用該方法可以快速得到根軌跡的大致形狀，但不精確，而且也不夠直觀，容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。近年來，國內(nèi)許多高校[3-7]在課堂上直接調(diào)用Matlab rlocus函數(shù)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的靜態(tài)展示，收到了較好的效果。在此基礎(chǔ)上，通過編寫程序?qū)崿F(xiàn)了根軌跡的動態(tài)繪制，相比于直接調(diào)用rlocus函數(shù)，動態(tài)繪制可以實(shí)現(xiàn)繪制過程暫停和繼續(xù)，更利于學(xué)生對根軌跡概念的理解和運(yùn)用。

如今，Matlab語言[8]也早已走進(jìn)大學(xué)課堂，該軟件以其強(qiáng)大的數(shù)值分析、數(shù)值和符號計算、工程與科學(xué)繪圖、控制系統(tǒng)的設(shè)計與仿真、數(shù)字圖像處理、數(shù)字信號處理、通訊系統(tǒng)設(shè)計與仿真以及財務(wù)與金融工程等功能在很多學(xué)科中得到運(yùn)用。使用該語言編寫程序，以用促學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

1 根軌跡及繪制規(guī)則

根據(jù)經(jīng)典控制理論中的時域分析法，閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能與其特征方程的根在復(fù)平面（s平面）上所處的位置有關(guān)。但通常求解高階系統(tǒng)特征方程的根十分困難，從而限制了該方法在高階系統(tǒng)中的應(yīng)用。此時，運(yùn)用根軌跡法，可以方便確定s平面上閉環(huán)極點(diǎn)隨著開環(huán)增益變化的運(yùn)動軌跡。進(jìn)而可以分析對應(yīng)于開環(huán)增益取某一個值時，閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

常規(guī)根軌跡是根軌跡的一種，就是當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的開環(huán)增益（k）由零到無窮大變化時，閉環(huán)特征根在s平面上移動所畫出的軌跡[2]。

假定單位負(fù)反饋二階控制系統(tǒng)的框圖如圖1所示。

圖1 單位負(fù)反饋二階控制系統(tǒng)框圖

根據(jù)反饋?zhàn)儞Q法則[2]，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母，即為系統(tǒng)的特征方程：s2+3s+k=0。運(yùn)用解析法即可求得特征根為，可以看出特征根與k值的大小有關(guān)。

將特征根隨k（0→∞）變化而變化的過程全部繪制在s平面上，就得到系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡，如圖2所示。

圖2 二階單位負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡示意圖

對于高階系統(tǒng)，其特征方程是高階方程，通常難以直接通過解析法得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。此時可以根據(jù)繪制規(guī)則，得到根軌跡圖形。根軌跡的繪制法則主要包含：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)、根軌跡的分支數(shù)、根軌跡的對稱性、根軌跡的漸近線、實(shí)軸上的根軌跡、分離點(diǎn)和分離角、起始角和終止角、與虛軸交點(diǎn)、根的和等方面[1,2]。

2 系統(tǒng)設(shè)計

2.1 軟件總體功能設(shè)計

系統(tǒng)功能如圖3所示，主要包含三個界面，分別是根軌跡顯示界面、參數(shù)輸入界面、幫助界面。其中根軌跡顯示界面可以實(shí)現(xiàn)根軌跡的顯示、動態(tài)繪制過程暫停、繼續(xù)以及清空繪圖區(qū)域等功能；參數(shù)輸入界面用來讀取開環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)；幫助界面主要用來提示用戶輸入系數(shù)的格式和需要注意的問題。

圖3 通用常規(guī)根軌跡動態(tài)繪制系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)圖

2.2 各界面布局

圖4 通用常規(guī)根軌跡動態(tài)繪制系統(tǒng)各界面圖

2.2.1 根軌跡顯示界面

根軌跡繪制界面如圖4（a）所示，有繪圖區(qū)域和繪制、暫停、繼續(xù)、清除、關(guān)閉按鈕。其中，繪圖區(qū)域用來顯示系統(tǒng)的根軌跡，點(diǎn)擊繪制按鈕，彈出參數(shù)輸入對話框。繪圖過程中可以通過點(diǎn)擊暫停和繼續(xù)按鈕實(shí)現(xiàn)動態(tài)繪圖的暫停和繼續(xù)。清除按鈕可以清空繪圖區(qū)域，為再次繪圖做準(zhǔn)備。關(guān)閉按鈕實(shí)現(xiàn)軟件的關(guān)閉。

2.2.2 參數(shù)輸入界面

參數(shù)輸入界面如圖4（b）所示，用戶可在兩個可編輯文本框中輸入開環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)，默認(rèn)參數(shù)為，分子系數(shù)[2 5 1]，分母系數(shù)[1 2 3]。點(diǎn)擊確定，即開始繪圖。如果用戶不清楚輸入格式，可以點(diǎn)擊幫助按鈕彈出幫助提示框。

2.2.3 幫助界面

幫助界面如圖4（c）所示，主要用來提示用戶輸入系數(shù)的格式和需要注意的問題。點(diǎn)擊，我知道了按鈕，該窗口關(guān)閉。

2.3 主要程序段

程序中使用自定義函數(shù)draw_gen(num,den)實(shí)現(xiàn)根軌跡的動態(tài)繪制，其基本流程為：將用戶輸入兩個可編輯文本框的參數(shù)分別賦值給num變量和den變量，利用tf函數(shù)將其生成傳遞函數(shù)。調(diào)用matlab內(nèi)部rlocus函數(shù)繪制根軌跡，以便獲取根軌跡數(shù)據(jù)和坐標(biāo)軸范圍。將獲取的數(shù)據(jù)使用for循環(huán)中的plot命令依次繪制各數(shù)據(jù)點(diǎn)，結(jié)合暫停（pause）命令，實(shí)現(xiàn)動態(tài)繪制。自定義函數(shù)draw_gen(num,den)程序如下：

3 結(jié)果分析

3.1 二階系統(tǒng)

3.2 三階系統(tǒng)

圖6 三階系統(tǒng)根軌跡圖形

4 結(jié)論

該系統(tǒng)操作簡便，只需在文本框中輸入?yún)?shù)即可實(shí)現(xiàn)各階控制系統(tǒng)根軌跡的動態(tài)繪制，學(xué)生無需面對繁雜的程序段。有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)自動控制原理課程的興趣，同時也能使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)matlab語言的重要性。另外，通過對比其他文獻(xiàn)的例子，也證明了該系統(tǒng)繪圖結(jié)果的正確性。

［1］張晉格.自動控制原理（第2版）［M］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2007.

［2］孟慶明.自動控制原理（非自動化類）（第二版）［M］.高等教育出版社,2008.

［3］畢效輝,陳少昌,姚瓊薈.對Matlab根軌跡繪制法的一種補(bǔ)充［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報,2006,(01)：47-50+62.

［4］楊艷麗,郭一鋒,張國良,王蜂.MATLAB仿真在自動控制理論教學(xué)中的應(yīng)用［J］.教育教學(xué)論壇,2016,(21)：266-267.

［5］張琦.根軌跡圖繪制方法對比分析［J］.機(jī)電技術(shù),2012,(05)：22-23.

［6］張春慧,宗哲英,王蒙,任寶鵬.基于MATLAB GUI的自動控制原理虛擬實(shí)驗(yàn)平臺的開發(fā)與研究［J］.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,(03)：101-105.

［7］王彥良.基于MATLAB繪制各種根軌跡的圖形用戶接口設(shè)計［J］.教育教學(xué)論壇,2010,(20)：100-101.

［8］陳垚光等.精通MATLAB GUI設(shè)計（第2版）［M］.電子工業(yè)出版社,2011.

Design of the General Root Locus Dynamic Rendering System

Lv Li-jun,Jia Lan-fang,Su Xiao-hui
（Department of Electronic Information and Physics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

The root locus method is a kind of important analysis method in the course of automatic control principle.For high order system,it is difficult to precisely draw root locus figure according to the mapping rule.In this paper,matlab GUI technology has been used to achieve the root locus'dynamic drawing,which is beneficial to the students'understanding of the root locus'concept.Finally,the root locus of second order and third order system are given,which verifies the correctness of the system results.

autocontrol;rootlocus;matlab;animation

TB114.2

A

1673-2014（2017）01-0041-04

（責(zé)任編輯 郝瑞宇）

2017年山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目（J2017119）

2017—02—25

呂麗君（1988— ），男，山西屯留人，碩士，主要從事數(shù)據(jù)可視化研究。