王鳴　李偉東　陸華才　柏受軍

【摘 要】通過分析法建立RLC串聯(lián)電路的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)模型，求出電感和電容參數(shù)一定時(shí)系統(tǒng)不同時(shí)域特性下的電阻阻值。利用Cadence軟件中PSpice組件，對(duì)不同電阻阻值的RLC串聯(lián)電路時(shí)域性能進(jìn)行仿真計(jì)算，仿真結(jié)果與理論分析完全一致，系統(tǒng)輸出曲線直觀，對(duì)于理解二階系統(tǒng)時(shí)域特性具有重要指導(dǎo)意義。

0 引言

二階系統(tǒng)是《自動(dòng)控制理論》課程中重要的研究?jī)?nèi)容，其時(shí)域數(shù)學(xué)模型為二階微分方程。由于直接求解二階或高階分方程比較麻煩，特別是當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，需要重新列寫并求解微分方程，因而不便分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)。經(jīng)典的方法是利用拉氏變換法將微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型，即傳遞函數(shù)，通過系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以方便地研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，借助于計(jì)算機(jī)仿真軟件，可以直接在時(shí)域里迅速而準(zhǔn)確地求出系統(tǒng)的結(jié)果，而且這種結(jié)果是以曲線的形式表現(xiàn)出來，特別直觀。特別重要的是，利用仿真軟件的參數(shù)掃描功能，可以計(jì)算出系統(tǒng)某一參數(shù)取不同值時(shí)，系統(tǒng)輸出的一組特性曲線。對(duì)比研究這組曲線，可以得出系統(tǒng)輸出特性與該參數(shù)之間的關(guān)系。

使用電子電路仿真計(jì)算軟件Cadence-PSpice，對(duì)RLC串聯(lián)電路進(jìn)行時(shí)域仿真計(jì)算，仿真計(jì)算出不同電阻阻值下的電容兩端輸出電壓的曲線，分析研究這些輸出電壓曲線，找出輸出電壓與電阻阻值的內(nèi)在關(guān)系，為研究系統(tǒng)時(shí)域特性與系統(tǒng)參數(shù)關(guān)系提供參考。

1 RLC串聯(lián)電路的數(shù)學(xué)模型

RLC串聯(lián)電路如圖1所示，其中R1、L1、C1分別為電阻、電感和電容元件，V1為激勵(lì)直流電源，系統(tǒng)的輸出為電容兩端電壓。將RLC串聯(lián)電路看作是一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入為Vi，系統(tǒng)的輸出為電容兩端的電壓V0，研究在同一激勵(lì)電壓源下，系統(tǒng)參數(shù)的改變，對(duì)系統(tǒng)的輸出特性有什么影響。

1.1 系統(tǒng)的微分方程

如果將RLC串聯(lián)電路看作是一個(gè)系統(tǒng)的話，那么可以通過根據(jù)特性求出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。設(shè)電容兩端的電壓為，則電容流過的電流可表示為

1.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

通過求解上述二階微分方程可以求出的表達(dá)式，從而分析電容兩端的輸出電壓的特性。但是求解二階或高階微分方程有時(shí)比較困難，傳統(tǒng)的方法是將微分方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，通過傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

利用拉氏變換就可將微分方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，對(duì)于二階微分方程，轉(zhuǎn)換方法是將ui寫成Ui（s），將u0寫成，將寫成U0（s），將 寫成s2·U0（s），即可寫出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。

2 電容兩端輸出電壓特性分析

根據(jù)《自動(dòng)控制原理》課程理論知識(shí)可知，可以通過二階系統(tǒng)的特征根研究系統(tǒng)的輸出特性，二階系統(tǒng)的特征根就是二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母方程的解。

根據(jù)取不同值時(shí)，二階系統(tǒng)特性的分布情況如圖2所示。

如果選定RLC串聯(lián)電路中L1為100mH、C1為0.1uF固定不變，電阻可調(diào)，那么調(diào)節(jié)電阻R1的阻值就可以改變?chǔ)沃担瑥亩淖兿到y(tǒng)輸出特性，電阻R1取值與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系如表1所示。

3 RLC串聯(lián)二階動(dòng)態(tài)電路Cadence仿真計(jì)算

Cadence軟件中的PSpice組件是一款常用的電子電路仿真軟件，根據(jù)表1中電阻阻值的取值，利用PSpice組件對(duì)這些電路仿真計(jì)算，得出多組RLC串聯(lián)二階動(dòng)態(tài)電路輸出曲線圖。

表1 R1取值與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系

根據(jù)表1，取電阻R1為-100Ω為負(fù)值電阻構(gòu)成如圖3（a）所示電路，對(duì)該電路進(jìn)行瞬時(shí)分析，得到的電容兩端的輸出電壓波形如圖3（b）所示。分析圖中的輸出波形可知，此時(shí)系統(tǒng)是個(gè)發(fā)散系統(tǒng)，說明該系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，與理論分析完全吻合。

取電阻R1為-0Ω為構(gòu)成如圖4（a）所示電路，對(duì)該電路進(jìn)行瞬時(shí)分析，得到的電容兩端的輸出電壓波形如圖4（b）所示。分析圖中的輸出波形可知，此時(shí)系統(tǒng)輸出是等幅振蕩。

取電阻R1為200Ω為構(gòu)成如圖5（a）所示電路，對(duì)該電路進(jìn)行瞬時(shí)分析，得到的電容兩端的輸出電壓波形如圖5（b）所示。分析圖中的輸出波形可知，此時(shí)系統(tǒng)輸出是欠阻尼狀態(tài)，輸出電壓經(jīng)過幾次振蕩最終收斂到1V的穩(wěn)定狀態(tài)。

取電阻R1為2kΩ為構(gòu)成如圖6（a）所示電路，對(duì)該電路進(jìn)行瞬時(shí)分析，得到的電容兩端的輸出電壓波形如圖6（b）所示，此時(shí)系統(tǒng)輸出是臨界阻尼狀態(tài)，輸出單調(diào)上升到1V的穩(wěn)定狀態(tài)，沒有振蕩出現(xiàn)。

取電阻R1為10kΩ為構(gòu)成如圖7（a）所示電路，對(duì)該電路進(jìn)行瞬時(shí)分析，得到的電容兩端的輸出電壓波形如圖7（b）所示。此時(shí)系統(tǒng)輸出形式上和臨界阻尼狀態(tài)相似，但上升的時(shí)間明顯延長(zhǎng)。

4 結(jié)論

RLC串聯(lián)電路是一個(gè)典型的二階系統(tǒng)，作為《自動(dòng)控制原理》課程一個(gè)典型的案例，對(duì)該電路的研究對(duì)于深入理解二階系統(tǒng)的輸出特性有著重要的意義。使用Cadenc-PSpice軟件，對(duì)在同一個(gè)激勵(lì)電壓源的激勵(lì)下，不同阻值的RLC串聯(lián)電路輸出特性進(jìn)行仿真計(jì)算，可以得到系統(tǒng)不同狀態(tài)的輸出曲線，對(duì)比研究這組輸出曲線，可以直觀地研究改變系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

[責(zé)任編輯：朱麗娜]