邱少英，李小申

允許有殘次品和缺貨的供應(yīng)鏈模型

邱少英，李小申

(河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南洛陽471023)

構(gòu)建了一個有殘次品、允許缺貨的由單個制造商和單個零售商構(gòu)成的供應(yīng)鏈模型。研究了供應(yīng)鏈中各成員的運(yùn)作和決策。應(yīng)用更新報酬定理，獲得制造商和零售商的平均利潤函數(shù)。證明其利潤函數(shù)為凹函數(shù)，得到制造商和零售商的最優(yōu)決策和最大利潤。通過數(shù)值實驗，對影響決策的重要參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。分析結(jié)果顯示:當(dāng)缺貨成本增加時，制造商與零售商的利潤都下降;價格彈性指數(shù)對制造商與零售商利潤的影響明顯，需要在價格和需求之間尋求一個平衡，使制造商和零售商均得以生存;次品率對制造商利潤的影響更為明顯。

供應(yīng)鏈;決策;允許缺貨;殘次品

0 引言

在供應(yīng)鏈研究中，通常假設(shè)產(chǎn)品是完美的，現(xiàn)有的庫存總是能滿足顧客的需求。在實際中，產(chǎn)品不可能沒有次品，庫存也可能出現(xiàn)短缺。制造商由于種種原因不能對產(chǎn)品進(jìn)行全部檢查，所以常常給零售商以優(yōu)惠，如送貨上門，而零售商也不專門對產(chǎn)品進(jìn)行檢查，通常在銷售給顧客的時候才進(jìn)行檢查。供應(yīng)鏈的研究，主要集中在3個方面:第1個方面是研究供應(yīng)鏈中訂購和產(chǎn)品生產(chǎn)決策的協(xié)調(diào)。文獻(xiàn)［1］于1976年對該問題進(jìn)行了研究，系統(tǒng)地推導(dǎo)出最優(yōu)訂貨量，用來計算銷售商和供應(yīng)商的總年成本函數(shù)。第2個方面是研究供應(yīng)鏈中的價格決策，這方面的一個開創(chuàng)性的研究是在供應(yīng)鏈中考慮顧客的價格敏感需求。文獻(xiàn)［2］于1955年把價格敏感考慮到庫存模型中，是最早考慮顧客價格敏感的研究之一。但很多模型中都沒有考慮產(chǎn)品質(zhì)量不完美的情形。第3個方面是關(guān)注供應(yīng)鏈中產(chǎn)品的不完美或缺貨。文獻(xiàn)［3］于1986年在批量生產(chǎn)模型中考慮到產(chǎn)品的不完美情形，并進(jìn)行了研究。

文獻(xiàn)［4］找出了傳統(tǒng)折扣模型存在的問題，即訂貨次數(shù)必須取整數(shù)。文獻(xiàn)［5］提出精確的年度期望利潤可以由更新報酬定理計算出來。文獻(xiàn)［6］基于改進(jìn)的逼近理想解排序法，對供應(yīng)商的評價和優(yōu)選問題建立了數(shù)學(xué)模型，提出了相應(yīng)的評價流程。文獻(xiàn)［7－11］針對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)化模型做了進(jìn)一步的研究。到目前為止，產(chǎn)品不完美、允許缺貨和需求價格敏感等情況還未被結(jié)合起來進(jìn)行研究，本文綜合考慮這些情況，構(gòu)建了一個制造商-零售商供應(yīng)鏈模型。

1 模型建立

1.1 模型假設(shè)

為了使供應(yīng)鏈模型的建立更加簡單，本文只考慮單一品種的商品，基本假設(shè)如下:

(Ⅰ)只有一個制造商和一個零售商，而且他們各自獨立決策。

(Ⅱ)市場允許缺貨，最大的允許缺貨數(shù)量為b，缺貨需求從接下來的進(jìn)貨中得到滿足，并且這些用來補(bǔ)足缺貨的商品是沒有缺陷的［12］。但缺貨時零售商需要支付一定的缺貨費用，單位產(chǎn)品的成本為π。

(Ⅲ)每一批貨物的次品率為y，制造商支付的殘次品的質(zhì)保金為Cw，y均勻地分布在(L，J)上，0≤

(Ⅳ)零售商每次的訂貨批量Q相同，零售商的進(jìn)貨周期T與次品率y有關(guān)。在每一次交貨中，期望的合格品的數(shù)量與訂貨周期中的需求是相等的，即(1－y)Q=DT［13］。

(Ⅴ)需求率D是零售價格s的減函數(shù):D(s)=αs－β，其中，α是換算因數(shù)(比例因子)，α＞0;β是價格彈性指數(shù)，β＞1。為了簡化符號，D(s)和D在本文中可互換。

(Ⅵ)零售商訂購的商品由制造商及時送達(dá)，制造商下一周期送貨時，零售商把合格品的進(jìn)貨成本付給制造商，同時不合格產(chǎn)品由制造商帶回。零售商每次的訂貨費用為A，制造商每次的運(yùn)輸費用為F。

(Ⅶ)制造商的單位生產(chǎn)費用為C，每次生產(chǎn)nQ件產(chǎn)品，每次的生產(chǎn)準(zhǔn)備費為S。

(Ⅷ)設(shè)備使用率ρ被定義為市場需求率與生產(chǎn)率的比值，即ρ=D/R，ρ是給定的固定值，ρ＜1。為了完全滿足需求，且有一個可行性問題，假設(shè)R≥D/(1－y)，也就是說ρ≤(1－y)。

1.2 零售商的利潤

在采購價格給定的情況下，零售商的決策與制造商的生產(chǎn)周期無關(guān)，因此有優(yōu)先決策權(quán)。

1.2.1 利潤函數(shù)

零售商的平均進(jìn)貨周期為:E［T］=E［(1－y)Q/D］=(1－Y)Q/D。

圖1 零售商的庫存變化情況

由模型假設(shè)可得零售商的庫存變化情況，如圖1所示。圖1中:虛線表示合格品的庫存情況，橫坐標(biāo)軸下方為缺貨;Q－b表示周期初庫存量;(1－y)Q－b表示周期初合格品的數(shù)量;T0表示合格品售完的時刻，T0由(1－y)Q－b=DT0推導(dǎo);T表示零售商的進(jìn)貨周期。

根據(jù)更新報酬定理［5］，由圖1可知，零售商的平均年庫存費用為:

根據(jù)更新報酬定理，零售商的年期望利潤ETPr由銷售收入、進(jìn)貨成本、訂貨費用、庫存費用和缺貨成本構(gòu)成，其計算公式為:

其中:hr為零售商單位產(chǎn)品單位時間的庫存費用。

1.2.2 最優(yōu)解分析

最大解分析目的是確定b，Q，s的值，使利潤函數(shù)ETPr(b，Q，s)取得最大值。該利潤函數(shù)的Hessian矩陣為:

1.3 制造商的利潤

1.3.1 利潤函數(shù)

設(shè)制造商每個生產(chǎn)周期生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為nQ，用Tm表示制造商的生產(chǎn)周期(年)，則制造商的平均生產(chǎn)周期為:E［Tm］=E［n(1－y)Q/D］=n(1－Y)Q/D=nT。制造商的平均年庫存費用［14］為:

根據(jù)更新報酬定理，制造商的年期望利潤ETPm由銷售收入、生產(chǎn)準(zhǔn)備費、生產(chǎn)費用、質(zhì)保金、庫存費用和運(yùn)輸費用組成，其計算公式為:

其中:hm為制造商單位產(chǎn)品單位時間的庫存費用。

1.3.2 最優(yōu)解分析

最優(yōu)解分析目的是確定n，使利潤函數(shù)ETPm(n)取得最大值。因為所以該利潤函數(shù)是n的凹函數(shù)，從而有最大值。其最優(yōu)解滿足:

2 靈敏度分析

為了研究模型中參數(shù)的變化對最優(yōu)解和期望利潤的影響，進(jìn)行了靈敏度分析。本文使用文獻(xiàn)［14－15］中的參數(shù)值:零售商的訂貨費用A=100元/次，固定運(yùn)輸費用F=100元/次。制造商的生產(chǎn)準(zhǔn)備費S=1 200元/次，制造商的生產(chǎn)費用C=2.5元/件，制造商支付的殘次品質(zhì)保金CW=11元/件。零售商的采購成本p=7元/件，單位時間的缺貨成本π=1.5元/件，零售商單位時間的庫存費用hr= 0.86元/件。制造商單位時間的庫存費用hm=0.25元/件。設(shè)備使用率ρ=0.8，換算因數(shù)α=300 000。價格彈性指數(shù)β=1.25，次品率y是一個連續(xù)的隨機(jī)變量，一致地分布在(0，0.04)。

2.1 單位缺貨成本π的靈敏度分析

缺貨成本是由于庫存產(chǎn)品不足，導(dǎo)致供應(yīng)中斷而給企業(yè)帶來的損失。一方面，缺貨會影響到生產(chǎn)經(jīng)營活動;另一方面，在允許缺貨的供應(yīng)鏈中，缺貨可以減少庫存量，降低庫存水平，從而降低庫存持有成本。本文研究的是允許缺貨的情況，對于零售商來說，缺貨成本與訂貨量是反向相關(guān)的，缺貨成本關(guān)系著零售商訂貨批量的決策，單位缺貨成本π的靈敏度分析如表1所示。

表1 單位缺貨成本π的靈敏度分析

由表1可知:零售商的訂貨批量隨單位產(chǎn)品缺貨成本的增加而減少，而最大允許缺貨量也越來越小。這是因為單位產(chǎn)品缺貨成本的增加給零售商帶來的缺貨損失越來越大，所以，零售商就會減少最大允許缺貨量。為了降低缺貨損失，零售商會增加訂貨次數(shù)，通過減少每次訂購的產(chǎn)品數(shù)量來降低缺貨水平。雖然缺貨水平下降了，但是，因為零售商頻繁訂貨，給零售商帶來較大的訂貨費用，制造商和零售商的利潤都會下降。

2.2 價格彈性指數(shù)β的靈敏度分析

價格彈性指數(shù)反映的是產(chǎn)品的需求變化對零售價格變化的敏感度，或者說零售價格增加1%所導(dǎo)致的需求減少的百分比。價格彈性指數(shù)對定價機(jī)制有非常重要的影響，因此，探討價格彈性指數(shù)對定價和進(jìn)貨決策的影響有重要的意義。表2為價格彈性指數(shù)β的靈敏度分析。

表2 價格彈性指數(shù)β的靈敏度分析

從表2中可以看出:零售價格隨β的變化較大，且隨β的增加而減少，所以，零售商的利潤必然越來越少，制造商的利潤先是緩慢增加后又迅速減少，當(dāng)β=2.50時該模型已經(jīng)沒有解。這顯然不是一個好的趨勢，但卻與實際情況一致，當(dāng)零售商無利可圖時，制造商也將面臨破產(chǎn)倒閉，這就需要在價格和需求之間尋求一個平衡。

2.3 次品率y的靈敏度分析

次品率不僅影響企業(yè)的利潤，而且影響企業(yè)的信譽(yù)和發(fā)展。因此，研究次品率對企業(yè)決策和利潤的影響是很重要的，表3為次品率y的靈敏度分析。

表3 次品率y的靈敏度分析

由表3可看出:隨著次品率y越來越大，缺貨量、最優(yōu)訂貨量、零售商及制造商的利潤都隨之減少，但零售價格反而隨之變大。這說明次品率高時，零售商會增加進(jìn)貨次數(shù)、減少進(jìn)貨量，并提高零售價格，這些對制造商極為不利。次品率y的變化對制造商利潤的減少更加明顯，所以考慮減少次品率對制造商在市場競爭中是更加有益的。

3 結(jié)論

(1)缺貨成本的大小不僅影響零售商的決策和利潤，而且影響制造商的決策和利潤。隨著缺貨成本的增加，零售商和制造商的利潤都減少。為了彌補(bǔ)成本增加帶來的損失，零售商減少進(jìn)貨量和允許缺貨量，同時增加進(jìn)貨次數(shù)和零售價。

(2)需求的價格彈性指數(shù)對零售商的利潤影響更加顯著。隨著價格彈性指數(shù)的增加，零售商不得不降低零售價格以增加市場需求，但市場需求的增加并不能彌補(bǔ)價格降低所造成的利潤損失。由于價格下降，多售出一個產(chǎn)品的利潤并不比多一個缺貨的費用多很多，因而允許缺貨的意義就變小了。

(3)次品率的變化對制造商的影響比對零售商的影響更加明顯。

［1］GOYAL S K.An integrated inventory model for a single supplier-single customer problem［J］.International journal of production research，1976，15(1):107－111.

［2］WHITIN T M.Inventory control and price theory［J］.Management science，1955，2(1):61－68.

［3］PORTEUS E L.Optimal lot sizing，process quality improvement and setup cost reduction［J］.Operations research，1986，34(1):137－144.

［4］范臣君，賀雪飛.價格折扣下EOQ模型的改進(jìn)［J］.科技信息，2010(30):120.

［5］MADDAH B，JABER M Y.Economic order quantity for items with imperfect quality:revisited［J］.International journal of production economics，2008，112(2):808－815.

［6］張毅，丘海禮，朱江.改進(jìn)逼近理想解排序法的供應(yīng)商評價和優(yōu)選［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，34(3):100－104.

［7］李小申，張宏建，夏尊銓.可替代產(chǎn)品庫存模型研究［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2011，41(18):150－160.

［8］霍佳震，李貴萍，段永瑞.部分延遲訂購的易變質(zhì)品聯(lián)合定價與生產(chǎn)策略［J］.運(yùn)籌與管理，2015，24(1):255－262.

［9］吳峰，王春清，許速.供應(yīng)鏈核心企業(yè)最優(yōu)采購計劃的編排策略［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)，2006，24(6):81－83.

［10］AHMADI-JAVID A，HOSEINPOUR P.A location-inventory-pricing model in a supply chain distribution network with price-sensitive demands and inventory-capacity constraints［J］.Transportation research part e，2015，82:238－255.

［11］李振國，王琪鳳.帶中斷風(fēng)險的多供應(yīng)商庫存模型［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，35(3):81－85.

［12］CHANG H C，HO C H.Exact closed-form solutions for“optimal inventory model for items with imperfect quality and shortage backordering”［J］.Omega，2010，38(3/4):233－237.

［13］HA D，KIM S L.Note on:an integrated vendor-buyer cooperative inventory model for items with imperfect quality［J］.Production planning and control，2012，23(12):950－953.

［14］HUANG C K.An optimal policy for a single-vendor single-buyer integrated production-inventory problem with process unreliability consideration［J］.International journal of production economics，2004，91(1):91－98.

［15］CHEN L H，KANG F S.Integrated inventory models considering the two level trade credit policy and a price-negotiation scheme［J］.European journal of operational research，2010，205(1):47－58.

F253.4;F224.3

A

1672－6871(2017)05－0080－05

10.15926/j.cnki.issn1672－6871.2017.05.017

國家自然科學(xué)基金項目(11471102)

邱少英(1983－)，女，河南洛寧人，碩士生;李小申(1964－)，男，河南平輿人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為運(yùn)籌學(xué)與控制論.

2016－12－12