劉莉君

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723000)

剩余格上n-重濾子的特征及結(jié)構(gòu)

劉莉君

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723000)

在剩余格中引入和討論了n-重蘊(yùn)涵濾子、n-重極濾子、n-重正蘊(yùn)涵濾子和n-重布爾濾子的概念及特征性質(zhì)，證明了剩余格上這幾類n-重濾子之間相互轉(zhuǎn)化的充要條件，研究結(jié)果拓展了剩余格上的濾子理論，并使剩余格上n-重濾子概念間的層次關(guān)系更加清晰和完善。

剩余格；n-重蘊(yùn)涵濾子；n-重極濾子；n-重正蘊(yùn)涵濾子；n-重布爾濾子

在信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、控制理論、人工智能等很多重要的領(lǐng)域中，邏輯代數(shù)是其推理機(jī)制的代數(shù)基礎(chǔ)。為給不確定信息處理理論提供可靠且合理的邏輯基礎(chǔ)，許多學(xué)者提出并研究了非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)。目前，大多數(shù)學(xué)者都認(rèn)同剩余格為一種最廣泛的邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)[1-2]，而濾子是非經(jīng)典邏輯代數(shù)研究領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，它們對(duì)各種邏輯系統(tǒng)及與之匹配的邏輯代數(shù)的完備性問題的研究發(fā)揮著及其重要的作用。裴道武[3]研究了MTL代數(shù)的模糊濾子，ZHU Yi-quan等[4]研究了剩余格上的幾類濾子，BORZOOEI R A[5]在BL代數(shù)上引入了n-重極濾子并研究了它們的性質(zhì)，而這些被提出來的各種濾子[6-8]之間又存在相互的聯(lián)系與區(qū)別，因此，系統(tǒng)地分析出各種濾子概念之間的相互關(guān)系就顯得尤為重要，基于此目的本文在上述工作的基礎(chǔ)上將濾子的重理論進(jìn)一步推廣到剩余格上，通過研究剩余格上n-重蘊(yùn)涵濾子、n-重極濾子、n-重正蘊(yùn)涵濾子和n-重布爾濾子的特征及性質(zhì)，獲得剩余格上這幾類n-重濾子之間的相互關(guān)系，以及這幾類濾子之間相互等價(jià)的充要條件。

下面先給出本文將用到的幾個(gè)定義。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[2]219稱(2，2，2，2，0，0)-型代數(shù)L=(M,∧,∨,?,→,0,1)為剩余格，若以下條件成立：

(1)(M,∧,∨,0,1)是有界格； (2)(M,?,1)是交換的幺半群；

(3)對(duì)于任意的x,y,z∈M,x?y≤z?y≤x→z。

性質(zhì)1.1[2]222設(shè)L=(M,∧,∨,?,→,0,1)為剩余格，對(duì)于任意的x,y,z∈L,以下條件成立：

(7)y→x≤(z→y)→(z→x),x→y≤(y→z)→(x→z)；

(10)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x),x∨y≤(y→x)→x；

(11)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z),x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z)。

定義1.2[4]3617設(shè)L=(M,∧,∨,?,→,0,1)為剩余格，F(xiàn)為L上的非空子集，則非空子集F被稱為剩余格L上的濾子，如果對(duì)于任意的x,y∈L,有(1)x∈F，x≤y時(shí)，y≤F；(2)x,y∈F時(shí)，x?y∈F。

定義1.3[4]3617設(shè)L=(M,∧,∨,?,→,0,1)為剩余格，F(xiàn)為L上的非空子集，則非空子集F被稱為剩余格L上的濾子當(dāng)且僅當(dāng)：(1)1∈F；(2)x,x→y∈F時(shí)，有y∈F。

定義1.4[7]829設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的濾子，則F是L上的一個(gè)n-重蘊(yùn)涵濾子(n=1，2，…)，如果對(duì)于任意的x,y,z∈L,有(1)1∈F；(2)當(dāng)xn→(y→z)∈F,xn→y∈F時(shí)，有xn→z∈F。

定義1.5 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的濾子，則F是L上的一個(gè)n-重正蘊(yùn)涵濾子(n=1，2，…)，如果對(duì)于任意的x,y,z∈L,有(1)1∈F；(2)當(dāng)x→((yn→z)→y)∈F且x∈F時(shí)，有y∈F。

定義1.6 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的濾子，則F是L上的一個(gè)n-重極濾子(n=1，2，…)，如果對(duì)于任意的x,y,z∈L,有(1)1∈F；(2)當(dāng)z→(y→x)∈F且z∈F時(shí)，有((xn→y)→y)→x∈F。

定義1.7 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的濾子，則F是L上的一個(gè)n-重布爾濾子(n=1，2，…)，如果對(duì)于任意的x∈L,有(1)1∈F；(2)x∨xn∈F。

2 剩余格上幾類n-重濾子的結(jié)構(gòu)與關(guān)系

引理2.1[7]830設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)

xn→x2n∈F。

引理2.2[7]830設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子當(dāng)且僅當(dāng)

xn→xn+1∈F。

引理2.3 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子，則對(duì)于任意的x,y∈L,當(dāng)(xn→y)→x∈F時(shí)，有x∈F。

證明 由假設(shè)條件、定義1.5和性質(zhì)1.1(2)，有1∈F和1→((xn→y)→x)=(xn→y)→x∈F；從而再次由定義1.5，有x∈F。

定理2.1 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子，則F也為剩余格L上的n-重極濾子。

證明 欲證非空子集F為剩余格L上的n-重極濾子，則需設(shè)z→(y→x)∈F且z∈F，即y→x∈F。因?yàn)閷?duì)于任意的x,y∈L，在剩余格上有x≤((xn→y)→y)→x，則xn≤(((xn→y)→y)→x)n，進(jìn)而(((xn→y)→y)→x)n→y≤xn→y，因此

又由定義1.3可知((((xn→y)→y)→x)n→y)→(((xn→y)→y)→x)∈F，而又因?yàn)榉强兆蛹疐為剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子，故由引理2.3可得((xn→y)→y)→x∈F，因此綜上可知,當(dāng)z→(y→x)∈F且z∈F時(shí)，有((xn→y)→y)→x∈F，由定義1.6可知非空子集F為剩余格L上的n-重極濾子。

定理2.2 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子，則F也為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子。

證明 設(shè)L是剩余格，欲證非空子集F為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子，則對(duì)于任意的x,y,z∈L,需設(shè)xn→(y→z)∈F且xn→y∈F。

因?yàn)閤n→(y→z)=y→(xn→z)≤(xn→y)→(xn→(xn→z))，則(xn→y)→(xn→(xn→z))∈F，又因?yàn)閤n→y∈F，故xn→(xn→z)∈F。而xn→(xn→z)=((xn→z)→z)→(xn→z)≤((xn→z)n→z)→(xn→z)，故((xn→z)n→z)→(xn→z)∈F，由引理2.3可知xn→z∈F，即對(duì)于任意的x,y,z∈L，當(dāng)xn→(y→z)∈F,且xn→y∈F時(shí)，有xn→z∈F。

綜上,由定義1.4可得非空子集F為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子。定理得證。

定理2.3 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的n-重布爾濾子，則F也為剩余格L上的n-重極濾子。

證明 設(shè)L是剩余格，欲證非空子集F為剩余格L上的n-重極濾子，則需設(shè)z→(y→x)∈F,且z∈F，即y→x∈F。

因?yàn)榉强兆蛹疐為剩余格L上的n-重布爾濾子，則由定義1.7知x∨xn∈F，而

故(y→x)→(((xn→y)→y)→x)∈F，又因?yàn)閥→x∈F，((xn→y)→y)→x∈F，綜上,由定義1.6可知非空子集F為剩余格L上的n-重極濾子。定理得證。

定理2.4 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的n-重布爾濾子，則F也為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子。

證明 設(shè)L是剩余格，欲證非空子集F為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子，則對(duì)于任意的x,y,z∈L,需設(shè)xn→(y→z)∈F且xn→y∈F。因?yàn)閷?duì)于任意的x∈L，在剩余格上有

由性質(zhì)1.1(9)可知x∨xn≤xn→xn+1，又因?yàn)閤∨xn∈F，故由定義1.2知xn→xn+1∈F，綜上,由引理2.2可知，F(xiàn)為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子。即當(dāng)非空子集F為剩余格L上的n-重布爾濾子時(shí)，F(xiàn)也為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子。定理得證。

定理2.5 設(shè)L是剩余格，非空子集F為剩余格L上的濾子，則剩余格L上的n-重布爾濾子與剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子之間相互等價(jià)。

證明 (1)先設(shè)非空子集F為剩余格L上的n-重布爾濾子，欲證F為剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子，則需設(shè)x→((yn→z)→y)∈F且x∈F，即(yn→z)→y∈F。又因?yàn)?/p>

故(y2n→yn)→y∈F，又因?yàn)榉强兆蛹疐為剩余格L上的n-重布爾濾子，由定理2.4可知F為剩余格L上的n-重蘊(yùn)涵濾子，根據(jù)引理2.1可知y2n→yn∈F，則y∈F。綜上可知，當(dāng)x→((yn→z)→y)∈F且x∈F時(shí)，y∈F，故由定義1.5可知非空子集F為剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子。

(2)再設(shè)非空子集F為剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子。由引理2.1可知x2n→xn∈F，因?yàn)?/p>

x2n→xn≤x2n→xn=(xn?xn)→xn=(xn→xn)→xn，

故(xn→xn)→xn∈F。又根據(jù)定理2.1可知非空子集F為剩余格L上的n-重極濾子，故當(dāng)z→(y→x)∈F且z∈F時(shí)，即y→x∈F時(shí)，有((xn→y)→y)→x∈F。而又因?yàn)樵谑Ｓ喔馤上y→((y→x)→x)=(y→x)→(y→x)=1∈F，因此可得

((((y→x)→x)n→y)→y)→((y→x)→x)∈F。

又因?yàn)?/p>

而對(duì)于任意的x,y∈L，在剩余格上有

連續(xù)重復(fù)n-1次上述過程，則(x∨y)n→y=xn→y。故可得

又因?yàn)?xn→xn)→xn∈F，則(x∨xn)∈F。綜上,由定義1.7可得非空子集F為剩余格L上的n-重布爾濾子。

綜合(1)和(2)可得：剩余格L上的n-重布爾濾子與剩余格L上的n-重正蘊(yùn)涵濾子之間相互等價(jià)。定理得證。

3 結(jié)束語

濾子是研究邏輯代數(shù)的有效工具，本文在剩余格中引入了n-重蘊(yùn)涵濾子、n-重極濾子、n-重正蘊(yùn)涵濾子和n-重布爾濾子的概念，通過研究它們的特征及性質(zhì)，系統(tǒng)分析并獲得了這幾類n-重濾子概念之間的相互關(guān)系。在下一步的工作中我們將繼續(xù)研究剩余格上的其他n-重濾子之間的關(guān)系，為剩余格上的濾子理論奠定理論性的基礎(chǔ)。

[1] HAVESHKI M，SAEID A B，ESLAMI E. Some types of filters in BL-algebras[J].Soft Computing，2007，10(2)：657-664．

[2] 周紅軍.概率計(jì)量邏輯及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2015．

[3] 裴道武.MTL代數(shù)的特征定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，50(6)：1201-1206．

[4] ZHU Yi-quan，XU Yang. On filter theory of residuated lattices[J]. Information Sciences An International Journal，2010，180(19)：3614-3632．

[5] BORZOOEI R A. Fuzzy n-fold fantastic filters in BL-algebras[J].Neural Computing and Application，2014(18)：378-385．

[6] BUSNEAG D，PICIU D. A new approach for classification of filter in residuated lattices[J].Fuzzy Sets and Systems，2014，260：121-130．

[7] BUSNEAG D，PICIU D. Some types of filters in residuated lattices[J].Soft Computing，2014，18(5)：825-837．

[8] MOTAMED S，SAEID A B. N-fold obstinate filters in BL-algebras[J]. Neural Computing and Applications，2011，20(4)：461-472．

[責(zé)任編輯：謝 平]

Characterization and structure ofn-fold filter in the residuated lattice

LIU Li-jun

(School of Mathematics and Computer Science，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000,China)

In this paper,the concept ofn-fold implicative filter,n-fold fantastic filter,n-fold positive implicative filter andn-fold boolean filter are introduced in residuated lattice. By studying their properties and characterizations,the relations among thesen-fold filter are discussed systematically. The results of the study further extend the filter theory of the residuated lattice,The relationship between the concept of then-fold filter on the residual lattice is clearer and perfect.

residuated lattice；n-fold implicative filter；n-fold fantastic filter；n-fold positive implicative filter；n-fold boolean filter

2096-3998(2017)03-0081-04

2016-12-05

2017-02-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401357)；陜西理工大學(xué)科研基金資助項(xiàng)目(SLGKY16-02)

劉莉君(1980—)，女，陜西省城固縣人，陜西理工大學(xué)講師，碩士，主要研究方向?yàn)槟：龜?shù)學(xué)與邏輯代數(shù)。

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