李 瑾，馮曉毅，王明軍

(1.陜西學(xué)前師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)與電子信息系，陜西 西安 710100；2.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710072；3.西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

各向異性空間中的格林函數(shù)

李 瑾1,2，馮曉毅2，王明軍3

(1.陜西學(xué)前師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)與電子信息系，陜西 西安 710100；2.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710072；3.西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

自由空間和各向同性介質(zhì)空間中的格林函數(shù)被廣泛應(yīng)用于求解非齊次標(biāo)量勢(shì)的分布問題；各向異性介質(zhì)空間的格林函數(shù)對(duì)于研究各向異性介質(zhì)中電勢(shì)的分布具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值?；诟飨蛲钥臻g的格林函數(shù)和電磁場(chǎng)的多尺度理論，將各向異性介質(zhì)空間進(jìn)行各向同性化處理，得到了各向異性介質(zhì)中的格林函數(shù)。通過所得結(jié)果，研究了點(diǎn)電荷在各向異性介質(zhì)中所激發(fā)的電勢(shì)；驗(yàn)證了所得結(jié)果的正確性，所得結(jié)果為研究各向異性介質(zhì)中的相關(guān)靜電場(chǎng)邊值問題做了有益的探索。

格林函數(shù)； 多尺度理論； 各向同性化

在各向同性介質(zhì)空間或自由空間，國內(nèi)外許多學(xué)者[1-3]系統(tǒng)地研究了格林函數(shù)，并將所得結(jié)果成功地用于解決有關(guān)的實(shí)際問題，如二階橢圓形偏微分方程[4]、氣壓變化對(duì)重力場(chǎng)觀測(cè)影響[5]以及多終端量子鏈狀體系電子輸運(yùn)性質(zhì)的研究等[6]，這些研究及應(yīng)用表明，各向同性介質(zhì)空間中的格林函數(shù)已比較完善。由于格林函數(shù)的獲得與各向同性介質(zhì)空間的泊松方程有關(guān)，因此，現(xiàn)有文獻(xiàn)已獲得的格林函數(shù)難以適用于各向異性介質(zhì)空間；各向異性介質(zhì)空間的格林函數(shù)研究及其應(yīng)用等未見報(bào)道。在電各向異性空間中，電位矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系與方向有關(guān)，呈現(xiàn)在泊松方程中，電勢(shì)空間二階導(dǎo)數(shù)前面的系數(shù)不同[7]。為了獲得各向異性介質(zhì)空間的格林函數(shù)，本文基于各向同性空間的格林函數(shù)和電磁場(chǎng)的多尺度理論[8]，將各向異性介質(zhì)空間進(jìn)行同性化處理，得到了各向異性介質(zhì)中的格林函數(shù)，利用格林積分公式，獲得了點(diǎn)電荷在各向異性介質(zhì)中所激發(fā)的電勢(shì)。

1 各向同性均勻空間中的格林函數(shù)

在各向同性均勻空間(或自由空間)中，標(biāo)量電位φ滿足泊松方程

2φ=-，

(1)

格林函數(shù)滿足微分方程

2G=-，

(2)

(3)

以z=0為導(dǎo)體分界面，上半均勻空間的格林函數(shù)為

(4)

其中ε0為上半均勻空間的介電常數(shù)，格林函數(shù)的本質(zhì)是單位點(diǎn)電荷在不同的各向同性均勻介質(zhì)組合情況下產(chǎn)生的電勢(shì)。

2 各向異性介質(zhì)中的格林函數(shù)及應(yīng)用

為了簡單起見，可設(shè)介電常數(shù)張量為[9]

顯然，εx,εy,εz構(gòu)成了介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)張量，是一個(gè)無量綱的物理量。由于電場(chǎng)強(qiáng)度和點(diǎn)位移矢量的關(guān)系為

考慮到

(5)

直接求解上式比較困難，為此引入多尺度坐標(biāo)系∑，其中的坐標(biāo)用ξ1,ξ2,ξ3表示，且

(6)

則式(5)變?yōu)?/p>

(7)

式(7)利用了電勢(shì)和電荷為尺度不變量的特性，從而表明：引入多尺度因子后，電荷激發(fā)的電勢(shì)就像自由空間電荷激發(fā)的電勢(shì)，只是自由空間的介電常數(shù)變?yōu)棣?ξ=abcε0。由式(1)、(2)可以看出，各向同性空間電勢(shì)滿足的方程與格林函數(shù)滿足的方程有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在多尺度坐標(biāo)系中，式(7)是電勢(shì)所滿足的微分方程；將(7)與(2)比較可得多尺度坐標(biāo)系∑中的格林函數(shù)，用符號(hào)G(ξ,ξ′)表示，其中ξ′代表點(diǎn)電荷所在點(diǎn)，ξ代表觀察點(diǎn)。格林函數(shù)滿足的微分方程為

2G(ξ,ξ′)=-，

(8)

從現(xiàn)有文獻(xiàn)和(7)可知，在ξ′點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷在無界空間中激發(fā)的電勢(shì)在尺度坐標(biāo)系為

其中Rξ為點(diǎn)電荷到觀察點(diǎn)的距離。因此無界空間的格林函數(shù)為

(9)

將(9)從多尺度坐標(biāo)系∑變換到笛卡爾坐標(biāo)系，可得

(10)

上式為各向同性介質(zhì)空間的第一類格林函數(shù)，與現(xiàn)有文獻(xiàn)完全一致，表明了(10)的正確性。對(duì)于第一類邊界條件，格林函數(shù)在邊界面S′上為零；由格林公式可得電荷分布為ρ的帶電體激發(fā)的電勢(shì)為

當(dāng)閉合曲面為無限大時(shí)，電勢(shì)按r-1減小，格林函數(shù)的導(dǎo)數(shù)按r-2減小，他們的乘積按r-3減小，但是面積按r2增大，三者的乘積按r-1減小，故閉合曲面為無限大時(shí)上式第二項(xiàng)為零，將(10)代入可得各向異性介質(zhì)中任意帶電體的電勢(shì)為

(11)

當(dāng)r′?r，上式中的分母可近似為常量，即

由此易得一個(gè)點(diǎn)電荷q激發(fā)的電勢(shì)為

(12)

3 小結(jié)與展望

本文研究了各向異性無損耗介質(zhì)空間中的格林函數(shù)，應(yīng)用其成功地獲得了點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢(shì)；對(duì)于介電常數(shù)張量為對(duì)稱張量的各向異性介質(zhì)，可以通過坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，將其變?yōu)閷?duì)角張量，因此本文結(jié)果稍加修改，即可應(yīng)用于介電常數(shù)張量為對(duì)稱張量的各向異性介質(zhì)。對(duì)于有損耗的各向異性介質(zhì)，介電常數(shù)張量的元素一般為復(fù)數(shù)；如何探索出新的創(chuàng)新性的思路，研究有耗各向異性介質(zhì)中的格林函數(shù)，這也是下一步將要開展的研究課題。

[1] 王家禮,朱滿座,路宏敏.電磁場(chǎng)與電磁波[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2000:35-38.

[2] 王一平,陳達(dá)章,劉鵬程.工程電動(dòng)力學(xué)[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,1985:78-83.

[3] 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2011:56-63.

[4] 張宏浩.泊松方程格林函數(shù)的傅里葉積分求解[J].大學(xué)物理,2015,34(12):14-17.

[5] 孫和平.大氣重力格林函數(shù)[J].科學(xué)通報(bào),1997,42(15):1640-1646.

[6] 戴振宏,倪軍.基于格林函數(shù)的多終端量子鏈狀體系電子輸運(yùn)性質(zhì)的研究[J].物理學(xué)報(bào),2005,54(7):3342-3348.

[7] 李應(yīng)樂,李瑾,王明軍,等.基于波束級(jí)數(shù)展開的粒子橢圓高斯波束散射特性[J].中國科學(xué)G,2014,44(5):465-471.

[8] 李應(yīng)樂,黃際英.電磁場(chǎng)的多尺度變換理論及其應(yīng)用[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2006:32-36.

[9] LI Y L,WANG M J.Electric fields inside and outside an anisotropic dielectric sphere[J].Chinese Physics B,2009,18(6):2420-2428.

[責(zé)任編輯：魏 強(qiáng)]

Green function in space of anisotropic medium

LI Jin1,2,FENG Xiao-yi2,WANG Ming-jun3

(1.Department of Computer and Electronic Information,Shaanxi Xueqian Normal University,Xi’an 710100,China;2.College of Electronic Information,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China;3.School of Automation and Information Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China)

The Green function of free space and the isotropic media space is widely used to solve the problems of nonhomogeneous scalar potential distribution. The Green function of anisotropic space has important theoretical significance and application value in solving the electric potential distribution of anisotropic media. Based on the Green function of the isotropic space and the scales theory,the anisotropic medium is changed as an isotropic material in physics. The Green function of anisotropic space is presented. The electric potential induced by the electric charge in the anisotropic medium is obtained by using the Green function. The correctness of the obtained results is tested. This article has conducted useful researches for the static boundary value problems of anisotropic medium.

Green function; scales theory; isotropization

2096-3998(2017)03-0085-04

2017-02-17

2017-03-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60971079，61102018，61271110)；陜西省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(16JK1185)；陜西學(xué)前師范學(xué)院專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(2015ZDKJ009)

李瑾(1986—)，女，陜西省西安市人，陜西學(xué)前師范學(xué)院講師，碩士，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要研究方向?yàn)殡姶挪▊鞑ヅc散射；馮曉毅(1969—)，女，陜西省西安市人，西北工業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺、雷達(dá)成像與目標(biāo)識(shí)別；王明軍(1978—)，男，陜西省漢中市人，西安理工大學(xué)教授，博士，主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)粗糙面散射。

O436.1; O241.82

A