王珍蘭 江守燕 杜成斌 儲冬冬 陳艷麗

(1. 江蘇省水利科學研究院， 江蘇 揚州 225002； 2. 河海大學 力學與材料學院， 南京 210098)

基于頻域內動力XFEM和人工蜂群算法反演結構內部缺陷

王珍蘭 江守燕 杜成斌 儲冬冬 陳艷麗

(1. 江蘇省水利科學研究院， 江蘇 揚州 225002； 2. 河海大學 力學與材料學院， 南京 210098)

結合頻域內動力擴展有限元(Extended Finite Element Methods，XFEM)與人工蜂群(Artificial Bee Colony，ABC)算法的優(yōu)點，建立了反演結構內部缺陷的數(shù)值模型．闡述了動力XFEM的基本公式，給出直接濾頻法迭代求解結構自振頻率的過程．在迭代過程中，ABC智能算法通過整體和局部共同搜索，能夠迅速地得到最優(yōu)解，并可有效地避免陷入局部最優(yōu)，XFEM通過水平集函數(shù)表征不連續(xù)區(qū)域，迭代過程中數(shù)值計算網格不需要進行重剖分．結合XFEM與ABC算法所建立的反演模型有效地減少了迭代的計算成本．采用頻域內結構的前若干階頻率作為真實響應，考慮了慣性力影響，比靜力響應只考慮勁度的變化更全面．結果表明：所建立的反演結構內部缺陷的數(shù)值模型能夠準確地識別出結構內部單個缺陷的位置和大?。?/p>

動力擴展有限元法； 人工蜂群算法； 直接濾頻法； 孔洞； 反演分析

近年來，發(fā)展的結構無損檢測技術主要有：超聲波法、紅外成像法、電磁熱效應、雷達法、聲發(fā)射技術等[1]．由于工程結構的復雜性，目前這些無損檢測方法的結果受結構幾何邊界條件(尺寸)、試驗條件(設備)、材料均勻性條件以及計算機模型工作量的限制，只能對結構物局部進行檢測，很難給出整體結構中缺陷的準確形狀、位置分布等[2]．結構的動力特性(頻率、振型)和動力響應與結構物理參數(shù)(如質量、剛度、阻尼等)是緊密相關的，當結構產生損傷時，這些內在的物理參數(shù)將或多或少的發(fā)生變化，必將引起結構振動特性的改變[3]．基于結構振動特性，對結構內部的缺陷進行識別，與局部檢測方法相比，可全面的對結構進行檢測，且操作簡單快捷，不影響結構正常使用[4]，其可行性已得到室內試驗的驗證[5-7]．

反演分析模型由正分析過程及目標函數(shù)極小化迭代兩部分組成．對于含缺陷結構的正分析問題是一類典型的不連續(xù)問題，擴展有限元法(Extended Finite Element Methods，XFEM)是目前處理不連續(xù)問題的最有效數(shù)值方法，它在包含不連續(xù)界面的單元內，通過改進標準有限元法的位移場近似函數(shù)來捕捉其不連續(xù)性，XFEM能夠有效地解決結構包含孔洞、夾雜和裂紋等缺陷的數(shù)值模擬問題[8-9]，在反分析問題的領域也顯示出了極大的優(yōu)勢[10-14]．

文中結合動力XFEM和人工蜂群(Artificial Bee Colony，ABC)算法的優(yōu)點，重點研究反演結構內部缺陷(夾雜)的數(shù)值模型，闡述動力XFEM的基本公式，給出直接濾頻法迭代求解結構自振頻率的過程．最后，通過數(shù)值算例驗證所建立的反演數(shù)值模型．

1 反分析問題

為確定孔洞、裂縫等缺陷在結構內部所處的位置及其大小，需要通過一些智能優(yōu)化算法，建立適當?shù)膮?shù)模型，并將計算得出的結構關鍵點響應值與其相應的實測值進行對比，使二者間誤差最?。?/p>

模型中的參數(shù)可以由向量表示為

(1)

式中，n為模型中待求參數(shù)總個數(shù)．

對于結構內的圓形缺陷，其參數(shù)可表示為

(2)

式中，(xc，yc)、rc分別為圓形缺陷的圓心坐標和半徑．

參數(shù)模型的目標函數(shù)可表示為

(3)

因此，該反分析問題可描述為：通過智能算法進行搜索迭代，直至尋找一組最佳的參數(shù)

(4)

且

(5)

實現(xiàn)目標函數(shù)式(3)最小化．其中，αmax和αmin分別為待求參數(shù)的上、下限值．

2 動力問題的擴展有限元法

2.1 水平集函數(shù)

對于圓形缺陷，其水平集函數(shù)為

(6)

式中，xc、rc分別為缺陷的圓心點坐標向量和半徑．

在數(shù)值模型中僅儲存單元結點的水平集值，即φi=φ(xi)，單元內部的水平集值需要通過插值得到

(7)

式中，Ni(x)為常規(guī)有限元中結點i的插值形函數(shù)．

2.2 位移模式

采用動力擴展有限元法計算含缺陷結構的動力響應(頻率)的估計值，其單元的位移模式可表示為

(8)

圖1 擴展有限元改進結點

2.3 支配方程

根據擴展有限元法單元的位移模式(8)，利用虛功原理，忽略阻尼，可推導出動力問題的擴展有限元法的支配方程

(9)

3 直接濾頻法

在動力平衡方程式(9)中，令{f}為0，便得到結構自由振動方程，在工程實際中，阻尼對結構自振頻率和振型的影響極小，可略去其影響，故得到無阻尼系統(tǒng)的自由振動方程為

(10)

假定結構作自由振動時，其各點均作簡諧振動，且振動頻率與初相角一致，而振幅不同，則結點的位移列陣為

(11)

式中，{u0}為單元結點的振幅列陣，即振型；ω是圓頻率；θ是初相角．

將式(11)代入式(10)，可得廣義特征方程

(12)

上式{u0}有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣行列式為0，即

(13)

解之可得n個實頻率，n為結構自由度總數(shù)．

文中僅需求解結構若干階低頻率，故采用直接濾頻法進行迭代求解．采用直接濾頻法求第j個特征值及其特征向量的具體步驟如下：

1)給出初始迭代向量和計算常數(shù)

(14)

2)第k次迭代時，先計算各振型的濾頻系數(shù)

(15)

3)計算第k次迭代的特征向量近似值

(16)

當j=1時等號右端第二項為0．

4) 由Rayleigh商求第k次迭代的λj近似值

(17)

5) 檢查特征值是否滿足精度

(18)

若精度滿足要求，則迭代停止，否則重復式(15)至式(18)．

4 人工蜂群算法

將人工蜂群算法引入動力擴展有限元法中，搜索最優(yōu)參數(shù)解．人工蜂群算法的控制參數(shù)主要包括三個：蜜源的總數(shù)(NFood)、蜜源花蜜量不變時的蜂群最大搜索次數(shù)(Limit)和蜜蜂群的最大搜索總數(shù)(NIter)．在該算法中，蜜源的位置即為反問題中待求的可行解(缺陷的位置、大小)，蜜源的花蜜量為其可行解的效益(適應度函數(shù)值)，這使得算法的空間復雜度較低，蜜蜂群搜索花蜜的速率可視為可行解的優(yōu)化速率，蜜源的最大花蜜量即為優(yōu)化問題的最優(yōu)解．可行解的適應度函數(shù)值f(α)與目標函數(shù)值O(α)的相互關系為

(19)

基于人工蜂群算法進行蜜源(式(6)中水平集函數(shù)的缺陷參數(shù))搜索，根據蜜源的實時情況，由動力擴展有限元法計算得出結構頻率，并與結構實測頻率進行對比，得出當前蜜源的花蜜量，即該蜜源的“收益度”．當由搜索到的蜜源計算得出的花蜜量小于允許誤差時，即確定結構內部缺陷的具體分布及尺寸．人工蜂群算法的具體求解過程為：

(20)

(21)

3)觀察蜂搜索階段．觀察蜂根據采蜜蜂種群處蜜源花蜜量大小選擇一個采蜜蜂，并在其鄰域內同樣進行新蜜源位置的搜索，并按照與采蜜蜂相同的規(guī)則更新其位置．觀察蜂選擇采蜜蜂種群處蜜源的概率計算公式為

(22)

4)偵察蜂搜索階段．當某采蜜蜂陷入某蜜源的局部最優(yōu)，即搜索Limit次后，領域內仍然沒有搜索花蜜量更佳的蜜源時，該采蜜蜂放棄當前蜜源位置成為偵察蜂，其位置更新到由式(26)在蜜源空間內生成新蜜源處．

5 數(shù)值算例

圖2(a)為含圓形孔洞的簡支梁示意圖，梁的長度為400 mm，寬度100 mm．數(shù)值計算時，假設簡支梁處于平面應變狀態(tài)，簡支梁被離散成20×80的均勻網格，如圖2(b)所示．基體的彈性模量E=22 GPa，泊松比ν=0.167．真實結構的前5階頻率值暫由XFEM數(shù)值計算得到．

圖2 簡支梁尺寸示意圖及XFEM計算網格/mm

為驗證研制的程序的正確性，將XFEM結合直接濾頻法計算得到的簡支梁前5階振型與商業(yè)軟件ABAQUS的有限元計算結果進行比較，如圖3所示，(a1)～(e1)為XFEM計算結果，(a2)～(e2)為ABAQUS計算結果．可以看出，采用研制的程序計算得到的簡支梁前5階振型與ABAQUS計算結果吻合較好，從而驗證了研制的程序的正確性．

圖3 含一孔洞簡支梁的前5階振型圖

本算例中，圓形孔洞有圓心坐標(xc，yc)和圓的半徑rc，共3個待求參數(shù)．反演過程中，取蜜源的總數(shù)NFood=100，蜜源花蜜量不變時的蜂群最大搜索次數(shù)Limit=20，蜜蜂群的最大搜索總數(shù)NIter=300．待反演參數(shù)的限值為xc∈[0 400]，yc∈[0 100]，rc∈[0 50]．圖4中，給出了圓形孔洞半徑分別為5 mm、10 mm及15 mm時缺陷的反演過程，從圖中可以看出，建立的反演分析模型能夠較為準確地探測出缺陷的大小和位置．

圖4 基于實測前5階頻率的單個圓形孔洞的反演過程

6 結 論

結合頻域內動力XFEM和ABC智能優(yōu)化算法的優(yōu)點，建立了反演結構內部缺陷的數(shù)值模型．闡述了動力XFEM的基本公式，給出直接濾頻法迭代求解結構自振頻率的過程．文中采用頻域內結構的前若干階頻率作為真實響應，考慮了慣性力影響，比靜力響應只考慮勁度的變化更全面．結果表明：所建立的反演結構內部缺陷的數(shù)值模型能夠準確地識別出結構內部單個缺陷的位置和大小．

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[責任編輯 周文凱]

Identification of Internal Defect by Using Dynamic Extended Finite Elememt Methods in Frequency Domain and Artificial Bee Colony Algotithm

Wang Zhenlan Jiang Shouyan Du Chengbin Chu Dongdong Chen Yanli

(1. Jiangsu Province Water Conservancy Science Research Institute, Yangzhou 225002, China；2. College of Mechanics and Materials, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

This paper proposes an approach for detecting an internal defect by using dynamic extended finite element method(XFEM) in frequency domain and the artificial bee colony (ABC) algorithm. The basic formulation for dynamic XFEM is given. And then the direct filtration of frequencies for solving iteratively the natural frequency of vibration is elaborated. The main advantage of the proposed approach is that the ABC algorithm can effectively avoid the appearance of the local optimum by the global and local searching strategy and the XFEM alleviates the need for remeshing the domain with level set methods used to describe the discontinuous region at each iteration process. The inverse model combined XFEM with ABC algorithm can effectively reduce the amount of calculation for inverse analysis. Compared with the static response, it is more comprehensive for the several order frequency in the frequency domain which is used as the real response considering the effect of inertia force. The results show that the proposed approach can effectively detect the location and shape of the internal defect in materials.

dynamic extended finite element methods； artificial bee colony algorithm； direct filtration of frequencies； void； inversion analysis

2017-01-10

國家自然科學基金(51579084)；江蘇省水利科技項目(2015030, 2016017)

王珍蘭(1958-)，女，高級工程師，主要從事水利工程建設質量管理與檢測研究．E-mail：jsslzj@163.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.03.004

O302

A

1672-948X(2017)03-0015-05