邱祎，董彥彥

（1.河南財政金融學院，鄭州451464；2.鄭州大學體育學院，鄭州450044）

基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃方法探討

邱祎1，董彥彥2

（1.河南財政金融學院，鄭州451464；2.鄭州大學體育學院，鄭州450044）

馬爾可夫過程作為研究無后效性動態(tài)演進過程的統(tǒng)計方法，在經(jīng)濟管理預測工作中占有非常重要的地位。目前線性規(guī)劃法作為運籌學中的基本方法，其解法和建模方法等方面已經(jīng)得到了眾多學者的關注，并且已經(jīng)形成了很多的理論成果。但其目標函數(shù)系數(shù)往往作為一種外生變量而存在，在經(jīng)濟管理實踐過程當中，如果使用線性規(guī)劃方法，則必須確定目標函數(shù)系數(shù)，而馬爾可夫過程基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，可以幫助決策者根據(jù)前一階段的確定狀態(tài)，完成對若干今后階段的目標函數(shù)系數(shù)的預測。文章以此為基礎，探討進行線性規(guī)劃模型調(diào)整的方式和方法。

馬爾可夫過程；線性規(guī)劃方法；經(jīng)濟預測；管理方法

1 應用基礎

線性規(guī)劃方法作為運籌學研究的一個分支，已經(jīng)得到了相關學者的深入探討，并且在實踐過程中得到了廣泛的應用。但是在以往的研究活動中，線性規(guī)劃模型中的目標函數(shù)系數(shù)的確定問題本身，并不能在線性規(guī)劃的范疇內(nèi)加以解決，因此目標函數(shù)系數(shù)往往作為一種外生變量。由于目標函數(shù)系數(shù)相對于約束條件方程中的參數(shù)而言，更加具有不確定性，沒有良好的確定外生變量的方法，線性規(guī)劃法的應用就會受到極其嚴重的限制。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生和馬爾可夫鏈理論對相關問題的適應性就構成了馬爾可夫過程理論對線性規(guī)劃方法的應用基礎。

1.1 線性規(guī)劃模型中目標函數(shù)系數(shù)的外生性缺陷

線性規(guī)劃模型作為研究在一定的資源的約束的條件下，實現(xiàn)目標函數(shù)最大化的分析工具由目標函數(shù)、約束條件共同構成。目標函數(shù)和約束條件當中均包含著參量和變量，目標函數(shù)系數(shù)、約束條件方程中的參數(shù)和約束條件總額本身都是應當基本確定的參量。線性規(guī)劃模型的這一特征可以由以下方程加以描述：

式（2）中，矩陣A作為約束條件方程的參數(shù)矩陣其展開式可以被表達為：

式（2）中，向量X作為全部方案xi構成的變量向量可以調(diào)整，其表達式為：

式（2）中，向量B作為全部約束條件參量構成的參量向量可以被表達為：

在經(jīng)濟管理實踐工作中，矩陣A、向量B作為可以通過企業(yè)自身的技術設備狀況和資金狀況確定的參量，具有極高的確定性，能夠通過對技術性能和變化較小的生產(chǎn)經(jīng)營歷史數(shù)據(jù)的總結(jié)，得到相應的確定值，雖然同樣是外生變量，但是并不需要加以特別關注。而變量向量X代表方案的集合，因此自然具有變量的屬性，需要研究人員和決策人員加以選擇，并且通過模型本身就能夠加以求解，屬于內(nèi)生變量的范疇。

在目標函數(shù)方程式（1）中，xi作為變量同于約束條件方程，但是ci作為目標函數(shù)參數(shù)，在量上同方案變量xi存在對應關系，但是目標函數(shù)系數(shù)本身并不能由企業(yè)的內(nèi)部信息所決定，而沒有目標函數(shù)系數(shù)的確定就沒有線性規(guī)劃基本模型的確定，現(xiàn)有的運籌學和管理學研究往往對相應內(nèi)容的研究存在盲點，這需要通過特定的方法的引進加以彌補。

1.2 馬爾可夫過程理論對線性規(guī)劃方法的適用性

馬爾可夫過程理論的特點能對線性規(guī)劃理論的缺陷的有效彌補，就決定了馬爾可夫過程理論對線性規(guī)劃方法的輔助效能。

馬爾可夫過程理論的構建基礎是概率論中的條件概率部分，而其適用對象的特征是某一時期的可觀測狀態(tài)量x(t)僅同前一階段的狀態(tài)量x(t-1)相關，因此能夠產(chǎn)生在一定條件下由x(t-1)轉(zhuǎn)化為x(t)的條件概率p( x)(t|x(t-1))，如果這種轉(zhuǎn)化的趨勢能夠持續(xù)，則該條件概率可以作為在初始狀態(tài)量之下，進行預測的工具。

文在寅：“這是用西方的繪畫方式結(jié)合東方的技術制作出來的。左邊的畫是長白瀑布，右邊的畫是濟州島城山日出峰?！?/p>

馬爾可夫過程理論對于線性規(guī)劃過程的適應性突出體現(xiàn)在，馬爾可夫過程是基于既有信息的一種預測方法，而線性規(guī)劃模型在實踐中，也需要經(jīng)濟管理人員對相應信息有基本的了解?；诩扔行畔⑦M行決策是線性規(guī)劃模型的應用特征。而馬爾可夫過程理論的預測模式同樣以現(xiàn)有信息作為分析和判斷的基礎，對線性規(guī)劃模型的應用條件具有很好的適用性。

馬爾可夫過程理論的應用范圍主要是在同一時間節(jié)點上，具有多個相互獨立的狀態(tài)量的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)的各個要素本身具有極強的獨立性，但是在不同時間節(jié)點上，狀態(tài)量之間會產(chǎn)生相互轉(zhuǎn)化的趨勢和可能。相對于線性規(guī)劃方法而言，馬爾可夫過程理論本身能夠囊括線性規(guī)劃模型中的目標函數(shù)的多個系數(shù)，并且體現(xiàn)出多個系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關系。通過以往的既有信息，就可以利用馬爾可夫過程理論作為工具，對目標函數(shù)的系數(shù)在長期的變化趨勢進行基本型的判斷，從而產(chǎn)生較為準確的目標函數(shù)，對線性規(guī)劃模型的使用帶來方便。

但是馬爾可夫過程對線性規(guī)劃模型的應用也受到馬爾可夫過程本身的特點的制約。經(jīng)過前文分析，馬爾可夫過程適用于具有無后效性的時間序列狀態(tài)量之間。這要求馬爾可夫過程的應用對象為具有穩(wěn)定的變化趨勢的時間序列數(shù)據(jù)，一旦狀態(tài)量之間的轉(zhuǎn)換狀態(tài)發(fā)生變化，依據(jù)馬爾可夫過程理論的預測結(jié)果就將同現(xiàn)實發(fā)生偏差。這一特征可以通過如下模型進行表述：

式（2）中的所有概率值pnn代表同一時間節(jié)點t向下一時間節(jié)點t+1過度的過程中，狀態(tài)量1向狀態(tài)量n進行轉(zhuǎn)化的概率。如果這種轉(zhuǎn)換關系，在整個系統(tǒng)內(nèi)部的轉(zhuǎn)化關系式穩(wěn)定的，則t+n+1期的狀態(tài)量可以通過t期到t+n+1的不斷的狀態(tài)轉(zhuǎn)換關系加以體現(xiàn)，其具體的數(shù)學形式可以表達為：

這種通過不斷相乘而形成的最終狀態(tài)轉(zhuǎn)化矩陣pntrans的產(chǎn)生前提是具有相互獨立關系的前后兩期的轉(zhuǎn)化概率不斷重復作用，所形成的條件概率的最終體現(xiàn)，其理論根源在于事件A和事件B同時發(fā)生的概率為：

在兩事件相互獨立的情況下，兩事件同時發(fā)生的概率為：

在整個系統(tǒng)的包含眾多狀態(tài)的情況下，以單獨某一事件A為例，其發(fā)生的概率為：

2 方法

2.1 方法構建的前提要求

2.1.1 實現(xiàn)目標函數(shù)的系統(tǒng)性功能

首先，基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃模型中的目標函數(shù)系數(shù)能夠產(chǎn)生系統(tǒng)性的相互影響，這一功能來自于馬爾可夫過程運算結(jié)構。馬爾可夫過程在數(shù)學上的表達形式實際上暗含著作為某一單獨的狀態(tài)量會以一定的比例向其他狀態(tài)量進行轉(zhuǎn)化的意義。與此同時，由于其他狀態(tài)量也會以較為穩(wěn)定的比例向該狀態(tài)量進行轉(zhuǎn)化，從馬爾可夫過程矩陣的橫向來看，體現(xiàn)出所有狀態(tài)量向其他狀態(tài)量進行轉(zhuǎn)化的關系，而從縱向觀察則體現(xiàn)出各狀態(tài)量接受其他狀態(tài)量所轉(zhuǎn)化而來的狀態(tài)量的情況。整個馬爾可夫過程矩陣在結(jié)構和內(nèi)在關聯(lián)方面同投入產(chǎn)出平衡表具有一定的相似性。與投入產(chǎn)出平衡表不同的是，馬爾可夫過程矩陣本身并不包含著狀態(tài)量之間轉(zhuǎn)化而形成的技術聯(lián)系，而僅僅是數(shù)量上的轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變并不依賴生產(chǎn)過程給產(chǎn)品帶來的物理狀態(tài)和功能的改變，也不包含新增的無差別人類勞動的流入，而僅僅是數(shù)量上的增減變換。馬爾可夫過程矩陣的不斷相乘反映著這種系統(tǒng)性的相互關系不斷重復，各種轉(zhuǎn)化過程以穩(wěn)定的比例不斷地實現(xiàn)。這一過程的實現(xiàn)和投入產(chǎn)出法的完全消耗系數(shù)矩陣的推導過程同樣具有相似性。但是投入產(chǎn)出法最終構建起的關系是最終使用和總產(chǎn)出之間的內(nèi)在聯(lián)系，依賴生產(chǎn)過程中的技術聯(lián)系，并且需要在狀態(tài)量的不斷重復的過程中扣除一部分作為最終使用是投入產(chǎn)出法的特征，而馬爾可夫過程的運行結(jié)果并不會產(chǎn)生對外部的直接產(chǎn)出。由此可見，馬爾可夫過程模型本身蘊藏著一種狀態(tài)量系統(tǒng)相對封閉的特征，從而能夠使線性規(guī)劃方程實現(xiàn)系統(tǒng)性功能。

2.1.2 實現(xiàn)目標系數(shù)的穩(wěn)定與可轉(zhuǎn)換性

馬爾可夫過程要求內(nèi)部狀態(tài)量的系統(tǒng)性變化關系依賴于系統(tǒng)的變化趨勢的穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性的直接表現(xiàn)是過程矩陣的數(shù)值應當變動較小，而其內(nèi)涵則主要體現(xiàn)為這一矩陣當中的橫向關系當中體現(xiàn)出一種單獨狀態(tài)量的輸出的穩(wěn)定，而縱向狀態(tài)量應當體現(xiàn)出一種輸入的穩(wěn)定。無論是輸入還是輸出均應當以單個的狀態(tài)量作為觀察視角。但是這一過程的實現(xiàn)前提則是整個系統(tǒng)的外部環(huán)境變化較小，從而導致整個系統(tǒng)內(nèi)部的轉(zhuǎn)移關系較為穩(wěn)定。但是馬爾可夫過程并不排斥狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關系的變化。一旦發(fā)生狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移關系的變動就可以將整個模型當中的轉(zhuǎn)移矩陣進行調(diào)整。但是馬爾可夫過程所要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的變動過程要求狀態(tài)量的個數(shù)不能夠發(fā)生改變。由于馬爾可夫過程矩陣是一個沿著主對角線對稱的單位矩陣，一旦這一矩陣發(fā)生變化，矩陣之間的相乘就變得不可能，整個模型就不再有效。

2.2 方法構建

上文探討了馬爾可夫過程的特點和其對線性規(guī)劃模型的應用價值。在此基礎上，本文將對馬爾可夫過程和線性規(guī)劃方法進行融合。

已知，某一時間節(jié)點t上，線性規(guī)劃模型所需要的目標函數(shù)系數(shù)向量：，并且可以由此構建出線性規(guī)劃模型：

該模型的符號含義同于式（2）。

從而可得該時期的目標函數(shù)系數(shù)矩陣為：

并且由此可以對線性規(guī)劃模型本身進行調(diào)整：

此時符號的含義同于式（2）。

由此可見，此時的線性規(guī)劃模型已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N以概率期望為手段，囊括預測分析的最優(yōu)化模型。使用此模型時可以完全立足于已有的基本信息，根據(jù)歷史經(jīng)驗進行推測，并且完成最優(yōu)化的決策工作，從而彌補線性規(guī)劃模型的缺陷。

3 應用范圍

基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃方法一方面受到馬爾可夫過程理論特點的制約，另一方面也受到線性規(guī)劃方法本身的制約?；隈R爾可夫過程的線性規(guī)劃方法不能夠適用于決策變量之間存在著函數(shù)關系的動態(tài)規(guī)劃方法，而僅僅能夠適用于決策變量相互獨立的線性規(guī)劃方法。這種限制來源于馬爾可夫過程所要求的各個狀態(tài)量均在同一時間節(jié)點上存在的特點，更是動態(tài)規(guī)劃方法在模型構建過程中，必須要求目標函數(shù)系數(shù)不能夠在同一時間上同時發(fā)揮作用的限制的結(jié)果。

動態(tài)規(guī)劃方法的建立基礎是線性規(guī)劃方法，但是動態(tài)規(guī)劃方法要求決策變量之間存在著清晰的函數(shù)關系。這就要求各個決策變量連帶著目標函數(shù)系數(shù)不能夠在同一時間節(jié)點上出現(xiàn)，必須保持著嚴格的先后次序關系。在此條件之下，動態(tài)規(guī)劃的目標函數(shù)系數(shù)難以在同一時間節(jié)點上同時作用，因而具有相互獨立的特征。在動態(tài)規(guī)劃方法當中，目標函數(shù)系數(shù)可能在內(nèi)容上完全相同，數(shù)量上大體相當，相互之間不存在任何相互轉(zhuǎn)化的關系。這就完全突破了馬爾可夫過程的適用范圍，從而導致馬爾可夫過程不能正確描述和預測動態(tài)規(guī)劃的目標函數(shù)系數(shù)的情況的發(fā)生。

但是基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃方法同動態(tài)規(guī)劃方法在應用范圍方面又具有一定的重合性?；隈R爾可夫過程的線性規(guī)劃方法的著眼點在于調(diào)整未來的目標函數(shù)系數(shù)，而動態(tài)規(guī)劃方法則側(cè)重于將既有資源在未來的多個時間節(jié)點方面加以分配。由此可見，基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃方法適用于由于狀態(tài)量的變化不斷累積而在未來呈現(xiàn)出整體性和系統(tǒng)性變化的預測和最優(yōu)化領域。動態(tài)規(guī)劃方法則適用于能夠體現(xiàn)當期資源在不同時間節(jié)點具有不同價值的約束最優(yōu)化問題的求解。相對于動態(tài)規(guī)劃方法而言，基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃方法更加能夠體現(xiàn)不同時間節(jié)點上狀態(tài)量的相互聯(lián)系，這種狀態(tài)量的關系最終體現(xiàn)為線性規(guī)劃方法當中的目標函數(shù)系數(shù)的關系。

4 結(jié)論

本文提出了依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，進行目標函數(shù)系數(shù)修正的線性規(guī)劃調(diào)整模型，該模型可以完全立足于已有的基本信息，根據(jù)歷史經(jīng)驗進行推測，并且完成最優(yōu)化的決策工作，從而彌補線性規(guī)劃模型的缺陷。但是該模型的應用前提在于狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程保持穩(wěn)定性，否則該模型的最優(yōu)結(jié)果將不再有效。

本文也對基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃方法的特點和適用范圍進行了討論，并且提出其目標函數(shù)系數(shù)的系統(tǒng)性相互影響和變動趨勢的穩(wěn)定性兩個方面特征，以及基于馬爾可夫過程的線性規(guī)劃方法適用于目標函數(shù)系數(shù)存在不同時間節(jié)點上的相互聯(lián)系情況的理論探討。

[1]曾梅清,田大鋼.線性規(guī)劃問題的算法綜述[J].科學技術與工程, 2010,(1).

[2]彭曲,丁治明,郭黎敏.基于馬爾可夫鏈的軌跡預測[J].計算機科學, 2010,(8).

[3]胡迪鶴.關于隨機環(huán)境中的馬爾可夫過程的簡介[J].數(shù)學物理學報, 2010,(5).

（責任編輯/浩天）

O211.62

A

1002-6487（2017）10-0088-03

邱祎（1980—），男，河南鄭州人，碩士，講師，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計學。

董彥彥（1978—），女，河南舞鋼人，碩士，講師，研究方向：應用統(tǒng)計學。