?北京/楊林艷

追本溯源 淺談豎式的價值體現(xiàn)*

?北京/楊林艷

豎式本質是一種計算工具，基于知識價值展開豎式教學，采用直觀模型分小棒的操作手段，幫助學生理解豎式算理，滲透豎式背后隱含的認識價值，體現(xiàn)化繁為簡的數(shù)學思想。本文從知識的起點即豎式產(chǎn)生的價值，學生的起點即豎式發(fā)展的價值，課堂的起點即豎式思想的價值，這三個方面進行論述。以教師三次試講后的心得體會為脈絡貫穿全文，追本溯源，研讀教材，設計有效的教學活動，促進學生對豎式的感悟和建構，激發(fā)豎式學習的熱情和智慧。

除法豎式；分小棒；化繁為簡

正文：

“一位數(shù)除兩位數(shù)的筆算除法”是北京版教材小學數(shù)學三年級上冊《除法》單元中的內(nèi)容，學生之前已經(jīng)學習了“表內(nèi)豎式除法”和“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”，本節(jié)課主要學習“除數(shù)是一位數(shù)的非表內(nèi)豎式除法”。從對比教材，研磨課程標準，到確定學習目標，經(jīng)歷三次試講與數(shù)次修改教學設計，在這個過程中，我產(chǎn)生了些許疑惑：豎式產(chǎn)生的必要性是什么？從二年級開始引入除法豎式，有學習的必要嗎？豎式的難點在哪里？怎樣教學才能讓學生更好地理解豎式的含義，更順暢地進行計算，并最終從中體會到豎式的價值所在，帶著這些疑惑，我進行了深入思考和不斷的追問。

一、知識的起點——豎式的產(chǎn)生及價值

現(xiàn)在資料表明，古代中國采用算籌來計算除法，后來用算盤來計算，這是比較早的程序性計算除法的方法。中世紀的歐洲，采用“帆船”除法，17世紀，歐洲出現(xiàn)了豎式除法，經(jīng)過逐漸演變和簡化，成了我們現(xiàn)在使用的方法。

莊子說：“天下大事，比作于細。天下難事，必作于易。”當人們面對比較復雜的問題時，總是把它分成若干個可以解決的簡單問題來解決。除法是小學數(shù)學中比較復雜的計算，人們常常將它按一定順序分解為一些簡單的計算。人們在進行筆算除法的時候，總希望把一定順序計算的中間結果最終結果記錄下來，除法豎式就是一種簡潔而有效的記錄方式。這就是除法豎式的本質所在。[1]

教師在教學中如何把豎式的本質價值凸現(xiàn)出來，是教學的精華所在，就此，我在思考：為何二年級就引入了豎式？能夠體現(xiàn)其價值嗎？這里引入，是否會造成對本節(jié)課的干擾？

二、學生的起點——表內(nèi)豎式有學習的必要嗎？

縱向對比教材，北京版教材第一次引入豎式是二年級上冊的表內(nèi)除法，主題圖為：

教學目標是認識豎式各位置名稱，滲透位值思想，從除法豎式產(chǎn)生需求的角度講，缺乏其必要性學生在計算的時候，往往早就知道了答案，就是在“畫”豎式，這一點，給今后學習有余數(shù)的除法豎式以及本節(jié)課的一位數(shù)除兩位數(shù)豎式造成了負面干擾。

北京版教材第二次引出除法豎式是二年級下冊的有余數(shù)除法，教學目標是在表內(nèi)乘法口訣豎式的基礎上，進行口訣試商，著重理解豎式計算中余數(shù)要比除數(shù)小的意義。主題圖為：

綜上所述，兩次豎式都沒有用到分物體情境引入，豎式產(chǎn)生的需求性低，屬于接受式學習。但除法豎式形式比較“古怪”，較加、減、乘法都不一樣，讓學生提前接觸，認識其外觀和各部分名稱，不為是一種分散難點學習的好方法。

三、課堂的起點——分小棒背后所蘊含的數(shù)學思想是什么？

橫向對比教材，一位數(shù)除兩位數(shù)筆算除法均是由分物體引入，豎式和分小棒的過程緊密結合，以下是對各個版本教材的主題圖截圖：帶著這樣的理解，我進行了第一次試講。

(一)不是不理解模型，而是太依賴模型 在第一次教學中，我先是讓學生動手分小棒，再用語言描述分的步驟，最后用算式和豎式分別記錄分的過程，板演48÷2的書寫時，用ppt進行同步展示，把分小棒的過程和豎式再次緊密聯(lián)系。

學生對豎式含義理解的較好，但獨立做題時，卻不知道如何書寫，這是怎么回事呢？經(jīng)過組內(nèi)老師和學校領導的精心指導，我意識到本節(jié)課過于重視算理的講解，而忽視了算法教學。豎式本身是非常抽象又簡潔的符號，是一種經(jīng)過簡化的、合理的推理書寫形式，除法豎式是四則運算中最難的，因為它運用了一種邏輯推理的方法，需要試商，每一步都要通過相乘，相減來檢驗出的情況，從計算的方法來說，綜合運用了除、乘、減的運算。其次，豎式的書寫格式與以往學習的加減乘豎式書寫有著很大的差別。[2]如果不給學生進行細致的算法講解，學生做題時會存在很大的困難。

經(jīng)過改善，在第二次教學中，我把利用小棒情境描述豎式書寫的方式改成算法的講解，以48÷2這道豎式來說，教師引導學生這樣描述：“48÷2，4除以2商2，在商的十位上寫2，2×2=4，4-4=0，不用寫，再把個位上的8落下來，8除以2商4，在商的個位上寫4，2×4=8，8減8等于0，表示沒有剩余?！?/p>

通過兩次試講，運用動手分，幫助學生理解算理；動口說，幫助學生理清算法。算理算法攻破了，教學環(huán)節(jié)之間的邏輯性再次引起了我的深思。

(二)誰是“主”，誰是“輔” 在拜讀過諸多優(yōu)秀教學設計后，我發(fā)現(xiàn)這節(jié)課的豎式引出多用“你能用豎式記錄(或表示)分小棒的過程嗎？”

思來想去，總覺哪里不對，仔細琢磨，方知教學的主線出現(xiàn)了問題：這節(jié)課到底是分小棒還是學豎式？誰是“主”，誰是“輔”，如果按照之前的教學設計，讓學生用算式和豎式分別記錄分小棒的過程，冥冥中豎式就是為了分小棒服務。經(jīng)過改善，我把“你能用豎式記錄(或表示)分小棒的過程嗎？”改成了“你能不能借助分小棒的過程，用豎式解決這道題呢”，看似是一個小的轉變，但滲透的學習目標是不同的，給予學生的課堂結構也是不同的，學生的反饋也就大大不同了。

從把分小棒的過程看成主線，到把解決問題的策略作為教學的主線，教學環(huán)節(jié)更加清晰化合理化。教學環(huán)節(jié)分為：看圖收集數(shù)學信息，提出問題，列算式，解決問題。在解決問題這個環(huán)節(jié)中，首先學生可以嘗試用口算解決；口算有困難，可以運用分小棒的方法，并試著用算式來記錄分的過程；有能力的同學還可以采用豎式的方法，在列豎式時可以借助分小棒過程。這樣既突出了豎式的本質是一種計算工具的價值特點，又尊重并順應了學生的思維發(fā)展。

在理順教學的設計主線之后，我再次審視每一個教學環(huán)節(jié)，對于兩步豎式優(yōu)于一步豎式的處理方式上，感到不妥。選擇兩步豎式難道就是因為它能夠更清晰的體現(xiàn)分小棒的過程？我們的“主”又不分小棒，這樣解釋太牽強了。兩步豎式背后蘊藏的數(shù)學思想到底是什么？相信這就是本節(jié)課的魂之所在，本質所在。

(三)分小棒與化繁為簡的數(shù)學思想 為什么我們要選擇兩步豎式？一步豎式看著更簡單，不是更能體現(xiàn)數(shù)學的美嗎？怎樣才能給學生講明其中的道理？

蘇格拉底說過：“最有效的教育方法，不是告訴他們答案，而是向他們提問。”即讓學生經(jīng)歷學習經(jīng)驗后，發(fā)自內(nèi)心的贊同。就此，我開始了第三次教學，在學習48÷2的豎式時，針對學生一步豎式的情況，不做重點講解，只是讓他們各自發(fā)表觀點，把問題擱置下來。在處理48÷3的豎式時，我再提問“你們認為這兩種計算方法，哪種更好？”

此時，大部分同學選擇兩步豎式。生1說：“我剛才借助分小棒列來豎式，并不是一下就分好的，我先分整捆再分剩下的，所以我覺得兩步豎式更好?！鄙?說：“一步豎式像口算似的，直接就出答案了，看不出他是怎么想的?！鄙?說：“剛才48÷2這道題簡單，但是48÷3點有難，就應該用兩步豎式，要不然數(shù)字更大了，你就不會用豎式算了?！?/p>

同學們精彩的發(fā)言使課堂得到升華，學生們在對比中體會到了兩步豎式的優(yōu)點，此時，我繼續(xù)追問：“剛才有同學提到，兩步豎式寫的更詳細，這樣詳細的記錄給你帶來了怎樣的幫助？”。學生思考了一會兒，有位同學高高把手舉起：“寫的越詳細，就可以把很難的除法，分成一個個我們會做的除法，最后算出結果?！?/p>

全班響起了熱烈的掌聲，我即刻寫下“化繁為簡”的數(shù)學思想。學生此時的激動勁兒，也讓我無比振奮，感受到了教師“導”學的快樂！

四、結束語

反觀三次教學，讓我對教學的本質從懵懂變得清晰，從為了分小棒而列豎式，到整體布局課堂結構，分清課堂主次地位，再到設計有效的數(shù)學活動，突出重點，化解難點，讓學生在豎式學習中體會化繁為簡的數(shù)學思想，整個過程彰顯數(shù)學本質的美感！

沒有完美的課堂，教育不是一潭死水，它是流動的，靈動的，發(fā)展的。隨著反復研讀教材和文獻，我又產(chǎn)生了一個大膽的思考：對于48÷2這個環(huán)節(jié)，大部分學生都能口算，還有分小棒的必要性嗎？思考永無盡頭，研究永無止境，相信這就是教研的魅力！

[1]曾小平，韓龍淑.除法豎式的發(fā)展與教學[J].小學教學數(shù)學版，2011，11：46.

[2]潘躍青.淺談分層豎式的思維訓練[J].教研前沿，2012，10：50.

[3]于正軍.“核心內(nèi)容”與“核心本質”[J].教育研究與評論·小學教育教學，2015.52.

[4]朱潔芬.豎式教學，讓知識價值顯現(xiàn)[J].教育研究與評論·小學教育教學，2015.48.

[5]王玲玲.核心問題引領下的數(shù)學思考[J].小學數(shù)學教師，2015，5：31.

南菜園小學)

*密云區(qū)教委首屆“中國知網(wǎng)杯”優(yōu)秀校本課程及論文評選活動論文。