許 龍 辛淑媛

(1. 安徽省太和縣第一中學(xué),安徽 太和 236600; 2. 安徽省太和中學(xué),安徽 太和 236600)

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·問(wèn)題討論·

淺析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中的軌道“離地”臨界條件

許 龍1辛淑媛2

(1. 安徽省太和縣第一中學(xué),安徽 太和 236600; 2. 安徽省太和中學(xué),安徽 太和 236600)

豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)模型的使用是需要考慮實(shí)際情況,本文將基于一道高考模擬題用數(shù)學(xué)方法分析最高點(diǎn)的臨界狀態(tài)的使用條件,以及常遇到的將軌道頂起的位置及條件．

最高點(diǎn)模型;數(shù)學(xué)方法;臨界速度;頂起軌道

豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)臨界模型是高中階段最常考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),常會(huì)考到物塊恰好到最高點(diǎn)時(shí)的臨界速度,軌道壓力等問(wèn)題．但有時(shí)候“簡(jiǎn)單、粗放”地使用最高點(diǎn)模型并不一定會(huì)得到正確的結(jié)果,必須通過(guò)數(shù)學(xué)手段的分析才能知道在哪種情況下可以使用最高點(diǎn)模型,哪種情況又不能使用．筆者將結(jié)合一道高考模擬題來(lái)展開(kāi)論述．

圖1

1 真題回放

例題.如圖1,A是半徑為R的圓形光滑軌道,固定在木板B上,豎直放置;B的左右兩側(cè)各有一光滑擋板固定在地面上,使其不能左右運(yùn)動(dòng),小球C靜止放在軌道最低點(diǎn),A,B,C質(zhì)量相等．現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0使小球在圓型軌道的內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng),為保證小球能通過(guò)軌道的最高點(diǎn),且不會(huì)使B離開(kāi)地面,求初速度v0必須滿(mǎn)足的條件(已知重力加速度為g).

1.1 分析解答

最小值很好理解,至少過(guò)最高點(diǎn),則在最高點(diǎn)存在臨界條件，有

同時(shí)從最低點(diǎn)到最高點(diǎn),利用動(dòng)能定理有

若按照常規(guī)思維,在最高點(diǎn)小球?qū)壍老蛏系膹椓N與軌道和底座的總重力Mg的關(guān)系為

FN≤Mg，

小球?qū)壍赖淖饔昧N與軌道對(duì)小球的作用力FN′是一對(duì)相互作用力FN=FN′,最高點(diǎn)向心力為

同時(shí)由動(dòng)能定理有

可得在最低點(diǎn)的速度為

1.2 問(wèn)題探討

圖2

這樣的解答很難讓人信服．筆者認(rèn)為小球?qū)④壍理斊鸬奈恢靡兴懻摚y道只能在最高點(diǎn)才能把軌道頂起來(lái)么?小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)之前就沒(méi)有球與軌道的作用力的豎直分力大于軌道和底座重力么?

基于這樣的疑問(wèn)筆者用數(shù)學(xué)方法分析有沒(méi)有可能在最高點(diǎn)之外的地方將軌道頂起．

假設(shè)在最高點(diǎn)之外的D點(diǎn)可能,此時(shí)OD與豎直方向夾角為θ,如圖2．此時(shí)向心力為

F向=FN′+mgcosθ.

聯(lián)立可得

而軌道不離地面的條件是球?qū)壍雷饔昧Φ呢Q直向上的分力小于軌道及底盤(pán)自重,即

FNcosθ≤2mg.

對(duì)不等號(hào)右側(cè)可視為cosθ的函數(shù)

由均值不等式可得

若要此式恒成立則必有

即得

由于0～90°內(nèi)余弦函數(shù)0≤cosθ≤1,此時(shí)求得結(jié)果正好在此范圍內(nèi),符合題意．

如果按照答案給的結(jié)果的話(huà),在小球沒(méi)到最高點(diǎn)的時(shí)候就已經(jīng)將軌道頂起來(lái)了．

2 問(wèn)題拓展

設(shè)軌道質(zhì)量M,滿(mǎn)足FNcosθ≤Mg，小球未將軌道頂起,進(jìn)而可以得到

圖3 f(cosθ)隨cosθ的變化

Mg+5mg.

對(duì)應(yīng)的最低點(diǎn)速度滿(mǎn)足

可得

綜上可得如下結(jié)論:

3 總結(jié)

經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)此題不只是選擇一個(gè)最高點(diǎn)模型,還要選擇把軌道給頂起來(lái)的另一個(gè)模型,這個(gè)模型需要考慮到軌道質(zhì)量和小球質(zhì)量的關(guān)系．真正的解題需要將這兩個(gè)模型相結(jié)合才可以．

數(shù)學(xué)是物理研究的工具和手段．對(duì)于物理問(wèn)題的解決不是生搬硬套物理模型,還需用數(shù)學(xué)方法討論．

1 陳汝冰，陳琳.淺析豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)[J].物理教師，2015(3)：83-86.

2017-01-21)