李 鋼， 魏 爽， 喬紅玉， 康軼薇， 王忠鑫， 馬 翔， 張曉璇

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

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超混沌系統(tǒng)精確反饋線性化耦合混沌同步

李 鋼， 魏 爽， 喬紅玉， 康軼薇， 王忠鑫， 馬 翔， 張曉璇

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

基于微分幾何理論，在仿射型誤差動力學(xué)方程引入耦合控制來擴充多輸入多輸出系統(tǒng)的向量相對階，進而通過全部狀態(tài)變量反饋線性化使其變換為線性可控的系統(tǒng).在外環(huán)和線性耦合的組合控制下，實現(xiàn)了兩個混沌系統(tǒng)之間的完全同步.以超混沌Chen系統(tǒng)為例提出了同結(jié)構(gòu)混沌同步的控制方案，模擬仿真驗證了方案的有效性.對于異結(jié)構(gòu)混沌同步以及其他混沌同步類型的應(yīng)用有較強的適用性.

混沌同步；微分幾何；精確反饋線性化；向量相對階

基于微分幾何方法對非線性系統(tǒng)的精確反饋線性化，為混沌控制與同步的理論研究提供了一個有效的分析工具[1-2].近10年來，精確反饋線性化在混沌控制與同步研究中受到較多的關(guān)注[3-12]，但多是采用單輸入單輸出的控制方式[6-10]，選擇多輸入多輸出控制的文獻尚不多見[11-12].傳統(tǒng)的近似線性化控制方法一般僅在平衡點附近的鄰域內(nèi)有效，而精確反饋線性化的方法由于沒有忽略高階非線性項而能夠適用于整個變換區(qū)域，且能夠獲得更好的動態(tài)性能和穩(wěn)定性.尤其是多輸入多輸出的控制方式在控制器的設(shè)計上還具有較大的靈活性，如融合其他鎮(zhèn)定方法，可以在混沌同步控制研究中獲得廣泛的應(yīng)用.

此外，在多輸入多輸出仿射型混沌系統(tǒng)中，對于不同控制和輸出的選擇會使系統(tǒng)具有不同的向量相對階，若其小于系統(tǒng)的維數(shù)，只能獲得部分狀態(tài)的線性化和不能線性化的系統(tǒng)內(nèi)動態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題將取決于系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài).如依據(jù)系統(tǒng)非線性特征適當選擇控制和輸出，才有可能使系統(tǒng)的向量相對階與系統(tǒng)的維數(shù)相同，從而實現(xiàn)全部狀態(tài)變量的線性化.

基于微分幾何理論研究同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的同步問題，在對多輸入多輸出仿射型誤差動力學(xué)系統(tǒng)非線性特征的分析以及對控制和輸出錯位選擇的基礎(chǔ)上，在響應(yīng)系統(tǒng)的適當位置引入線性耦合以期擴充誤差動力學(xué)系統(tǒng)的向量相對階至與系統(tǒng)的維數(shù)相同，從而使誤差動力學(xué)系統(tǒng)實現(xiàn)全部狀態(tài)的線性化，然后通過線性耦合系數(shù)和外環(huán)控制系數(shù)的調(diào)節(jié)來實現(xiàn)同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的完全同步.最后，用模擬仿真來驗證了控制方案的有效性.

1 同步控制原理

兩個混沌系統(tǒng)的誤差動力學(xué)方程可以表述為如下多輸入多輸出仿射型非線性系統(tǒng).

(1)

其中，e=y-x為兩系統(tǒng)的誤差狀態(tài)變量，x,y,e∈U?n，x和y分別為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量，U是流形N=n上的一個開集；f(e),g1(e),…,gm(e)∈n為定義在U上的光滑向量函數(shù)；u=[u1,u2,…,um]T∈J為m維輸入向量，J是允許控制集；h(e)=[h1(e),h2(e),…,hp(e)]T∈Y為輸出向量函數(shù)，Y則是p維實值函數(shù)組成的線性空間.

計算系統(tǒng)(1)的向量相對階.在多數(shù)的情況下，系統(tǒng)的向量相對階往往小于系統(tǒng)的維數(shù)，有時需要用特殊方法加以擴充，如動態(tài)擴充方法[13]，但這會增加系統(tǒng)的設(shè)計成本.這里采用通過在響應(yīng)系統(tǒng)中的適當位置上引入線性耦合的方式，將系統(tǒng)的向量相對階調(diào)整到與系統(tǒng)同維，即r1+r2+…+rm=n，使系統(tǒng)滿足狀態(tài)空間精確線性化問題的基本充要條件[13]，以便對系統(tǒng)進行全部狀態(tài)變量反饋線性化.通過李導(dǎo)數(shù)的運算[11]，得到如下m組非線性變換的函數(shù)集.

(2)

從而可把原系統(tǒng)(1)變換為m組方程：

(3)

上述的非線性坐標變換不會改變系統(tǒng)的相對階.方程組(3)中的最后一式展開寫為矩陣形式：

(4)

由于系統(tǒng)的向量相對階等于系統(tǒng)的維數(shù)，則式(4)中的矩陣A(ξ)在e0=φ-1(ξ0)的鄰域內(nèi)是非奇異的.因此，若令控制器形式為

u=A-1(ξ)(vi-b(ξ)).

(5)

則原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為Brunovsky標準型：

(6)

即實現(xiàn)了精確反饋線性化.其中,vi是施加的外環(huán)反饋控制[13]，目的是在與線性耦合系數(shù)的共同調(diào)節(jié)下使上述線性化后的系統(tǒng)漸進穩(wěn)定于誤差動力學(xué)系統(tǒng)的零點，即實現(xiàn)兩個混沌系統(tǒng)的同步.vi的形式:

(7)

2 同結(jié)構(gòu)超混沌Chen系統(tǒng)混沌同步

分別作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的超混沌Chen系統(tǒng):

(8)

當參數(shù)a=35、b=3、c=12、d=7和r=0.5時，超混沌Chen系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).式(8)中的u1和u3是待定控制器，u2=k1(y1-x1)和u4=k2(y3-x3)是根據(jù)系統(tǒng)非線性特征而在適當位置引入的線性耦合控制，在它們與u1和u3的共同作用下以及對于相應(yīng)誤差動力學(xué)系統(tǒng)中選擇的輸出相配合可以將誤差系統(tǒng)的向量相對階調(diào)整至與系統(tǒng)維數(shù)相同，還可以為系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定提供調(diào)節(jié)參數(shù).由狀態(tài)變量誤差的定義e=y-x得到如下相應(yīng)于式(1)的仿射型多輸入多輸出誤差動力學(xué)系統(tǒng).

(9)

其中,

(10)

選擇兩個輸出函數(shù)L1=h1(e)=e2和L2=h2(e)=e4，可以驗證，對于這兩個輸出通道的相對階分別為r1=2和r2=2，即該系統(tǒng)的向量相對階與系統(tǒng)維數(shù)相同，滿足反饋線性化的基本充要條件.由此獲得相應(yīng)于式(2)的坐標變換和反饋線性化過程中式(4)的結(jié)果.

(11)

(12)

其中,

(13)

(14)

(15)

由式(12)可以獲得精確反饋線性化的控制器.則

(16)

其中,

(17)

圖1 兩個超混沌系統(tǒng)的誤差變量隨時間的演化Fig.1 Evolution of the error variables between two chaotic systems with time

3 結(jié) 論

微分幾何理論應(yīng)用于混沌同步控制中，具有控制區(qū)域大，動態(tài)響應(yīng)迅速的特點.在響應(yīng)系統(tǒng)中的適當位置引入線性耦合控制的方式可以靈活地改變誤差動力學(xué)系統(tǒng)的向量相對階，適應(yīng)不同多輸出的選擇，使在控制器的設(shè)計中能夠?qū)⑷空`差狀態(tài)變量精確反饋線性化，避免處理內(nèi)動態(tài)問題.模擬仿真的結(jié)果表明，盡管混沌系統(tǒng)具有較為復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)，但基于微分幾何理論的精確反饋線性化通過與其他傳統(tǒng)控制方法相結(jié)合，對于多輸入多輸出仿射型混沌系統(tǒng)的各類混沌同步控制問題有著較為廣泛的適用性.

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Chaos synchronization by the exact feedback linearization for the coupled hyperchaotic system

LIGang,WEIShuang,QIAOHongyu,KANGYiwei,WANGZhongxin,MAXiang,ZHANGXiaoxuan

(School of Physics and Electronic Technology, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

Based on the differential geometry theory, the linearly coupled control is introduced into the MIMS affine error dynamical system to extend its vector relative degree so that the system can be transformed as a linearly controllable one by the exact feedback linearization.Then,the chaos synchronization is realized by the hybrid control of the coupling and outer loop.The controllers are designed for the hyperchaotic Chen system as an example. The simulation results indicate that the proposed scheme works well.This method is suitable for the chaos synchronization between the different chaotic systems and for the different type.

chaos synchronization;differential geometry;exact feedback linearization;vector relative degree

2016-12-28

李鋼(1959-)，男(朝鮮族)，黑龍江綏化人，遼寧師范大學(xué)教授.E-mail:lglhc@163.com

1000-1735(2017)02-0182-05

10.11679/lsxblk2017020182

O415.5

A