戴連榮, 孫悅玲, 蘇 杭, 黃彩鳳

(遼寧師范大學 物理與電子技術(shù)學院， 遼寧 大連 116029)

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帶有奇異夸克的雙重子隱色道

戴連榮, 孫悅玲, 蘇 杭, 黃彩鳳

(遼寧師范大學 物理與電子技術(shù)學院， 遼寧 大連 116029)

在手征SU(3)夸克模型下討論了如何在共振群方法下研究帶有奇異夸克的雙重子隱色道問題,詳細給出了隱色道部分涉及的自旋空間、同位旋空間和顏色空間相互作用矩陣元的計算過程.此工作將有助于研究帶有奇異夸克的雙重子態(tài)的隱色道效應(yīng),從而深入認識帶奇異夸克的多夸克結(jié)構(gòu).

共振群方法；奇異夸克；雙重子；隱色道

多夸克態(tài)的結(jié)構(gòu)一直引起人們極大的興趣和關(guān)注,源于這是一類全新的物質(zhì).目前量子色動力學(QCD)理論被公認為描述強相互作用的基本理論,它很早就預言了物質(zhì)的多夸克態(tài)結(jié)構(gòu).最早的理論預言工作是在1964年Dyson給出的ΔΔ雙重子態(tài)[1],后來Jaffe又預言了H雙重子態(tài)[2].在過去的幾十年里,科學家們在實驗和理論方面均投入了大量的精力,直到2014年的COSY實驗才首次宣布發(fā)現(xiàn)了自旋為S=3且同位旋為T=0的多夸克雙重子態(tài)即ΔΔ六夸克態(tài)[3].事實上,國際上很多研究組從理論上提出過各種不同的模型來預言可能存在的六夸克態(tài)[4-18],其中，最為成功的理論模型之一是1999年張宗燁研究組提出的手征SU(3)夸克模型,這一模型并結(jié)合處理集團相互作用成熟的共振群方法(RGM)預言了此態(tài)的存在[10].后來在此基礎(chǔ)上,提出了擴展手征SU(3)夸克模型[19]并進一步預言了此ΔΔ雙重子態(tài)[20],理論上計算給出的結(jié)合能為84 MeV.這一預言值與10年后COSY的實驗值非常驚人的一致,由此更進一步證實了筆者提出的手征夸克模型是合理的和有效的,因而更具有理論的預言能力.研究還發(fā)現(xiàn)隱色道(CC)的耦合效應(yīng)對自旋為S=3且同位旋為T=0的ΔΔ雙重子態(tài)結(jié)構(gòu)的影響很大[10,20].那么隱色道對其他雙重子態(tài)結(jié)構(gòu)會有怎樣的影響,毫無疑問是值得關(guān)注的問題.然而,研究這一問題,首先必須解決如何構(gòu)造隱色道波函數(shù)和相關(guān)的矩陣元計算.最近,筆者已經(jīng)在不包含奇異夸克的情況下,對自旋S=0且同位旋T=3的ΔΔ雙重子態(tài)(它是最近COSY實驗發(fā)現(xiàn)的ΔΔ雙重子態(tài)[3]的鏡像態(tài))進行了研究,詳細研究如何構(gòu)造隱色道波函數(shù)和計算隱色道矩陣元[21].并利用此結(jié)果進一步研究了此鏡像態(tài)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),得到了極有意義的研究結(jié)果,發(fā)現(xiàn)隱色道對其結(jié)合能的影響很大[22].在此基礎(chǔ)上,進一步深入研究包含奇異夸克的雙重子態(tài)問題,不論是理論上,還是實驗上,都是目前感興趣的前沿研究方向. 然而,對包含奇異夸克的雙重子態(tài),首要的工作是解決如何構(gòu)造隱色道波函數(shù)及相關(guān)的隱色道矩陣元計算問題.由于奇異夸克的質(zhì)量和非奇異夸克的質(zhì)量是不同的,因而給RGM處理帶來了復雜性,必須嚴格區(qū)分奇異夸克在集團中所處的具體位置.文獻[21]中研究了非奇異夸克情況下雙重子態(tài)隱色道問題,本文將要推廣這一工作到奇異夸克情況,具體介紹如何在RGM下實現(xiàn)對奇異夸克的處理.文中選取了Ξ*Ω雙重子六夸克系統(tǒng)作為例子,它是一個含5個奇異夸克且自旋S=0及同位旋T=1/2的雙重子態(tài).

1 手征SU(3)夸克模型

重子-重子系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為

(1)

(2)

(3)

在RGM框架下,兩集團波函數(shù)為

(4)

(5)

2 共振群方法

重子是由3個夸克組成,每個夸克的自旋為半整數(shù),描述雙重子的波函數(shù)必須是由6個費米子構(gòu)成的全反對稱化波函數(shù),包括軌道空間、自旋空間、同位旋空間、味道空間和顏色空間,其中重子顏色空間為[111],表示單個重子是無色的.和文獻[21]一樣,在具體RGM計算中,需要將哈密頓量式(1)中的動能算符和勢能算符分別計算直接項和交換項的相互作用矩陣元,如圖1所示.

圖1 RGM下計算的歸一化項、動能項和相互作用項矩陣元Fig.1 The RGM matrix elements for norm,kinetic and interaction terms

3 構(gòu)造隱色道波函數(shù)

每個隱色態(tài)的重子也是由3個夸克構(gòu)成,但是顏色空間為[21]即色八重態(tài)表示.每個夸克的軌道空間波函數(shù)仍然采用諧振子的基態(tài)波函數(shù),軌道部會分開考慮， 本文后面的計算將不涉及軌道空間.定義去掉了軌道空間后的反對稱化算符為

(6)

(7)

設(shè)隱色道波函數(shù)為

|CC〉=a|Ξ*Ω〉+bASTC|Ξ*Ω〉,

(8)

a和b為待定參數(shù),可由正交關(guān)系

(9)

及歸一化條件

(10)

(11)

4 計算矩陣元

總自旋S=0時的自旋空間波函數(shù)為

↑↑↓↓↓↑-↑↓↑↑↓↓-↑↓↑↓↑↓-↑↓↑↓↓↑-↓↑↑↑↓↓-↓↑↑↓↑↓-

↓↑↑↓↓↑+↑↓↓↑↑↓+↑↓↓↑↓↑+↑↓↓↓↑↑+↓↑↓↑↑↓+

↓↑↓↑↓↑+↓↑↓↓↑↑+↓↓↑↑↑↓+↓↓↑↑↓↑+↓↓↑↓↑↑〉，

(12)

顏色空間波函數(shù)為

(13)

(14)

對于Ξ*Ω系統(tǒng),味道波函數(shù)中有5個s夸克和一個u夸克.在RGM計算中,必須區(qū)分s夸克和u夸克的不同質(zhì)量,因而必須區(qū)分它們所處的不同位置.我們必須在區(qū)分不同u夸克位置的情形下,分別計算對應(yīng)算符的矩陣元.由于考慮了隱色道組態(tài),下面將分3種情況加以討論.

利用式(12)的自旋空間波函數(shù),可以得到自旋空間矩陣元

(15)

利用式(13)的顏色空間波函數(shù),可以得到顏色空間矩陣元

(16)

但是,對味道空間矩陣元,涉及s夸克和u夸克,必須區(qū)分u夸克所處的不同位置,因而在RGM計算,按照u所處的不同位置將分為6個部分：

位置1即usssss處于第1個位置,

(17a)

位置2即sussss處于第2個位置,

(17b)

位置3即ssusss處于第3個位置,

(17c)

位置4即sssuss處于第4個位置,

(17d)

位置5即ssssus處于第5個位置,

(17e)

位置6即sssssu處于第6個位置,

(17f)

若只計算算符P36的矩陣元，可以將上面6項求和,得到

(18)

由式(15),式(16)和式(18)得到

(19)

從之前的研究經(jīng)驗知道,式(19)這個數(shù)值說明了Ξ*Ω系統(tǒng)具有特殊的對稱性,有利于形成束縛態(tài)結(jié)構(gòu).

繼續(xù)重復上面類似的步驟,可以得到其他算符在不同自旋、顏色和同位旋空間下的矩陣元結(jié)果,分別列在表1中,其中味道部分區(qū)分了不同u夸克所處的位置.

表 1 不同自旋、顏色和同位旋空間〈Ξ*Ω|P36Pij|Ξ*Ω〉矩陣元

利用式(11)和反對稱化算符定義(6),可以得到

(20)

把式(15),式(16)和式(17a)代入到式(20)中得到

位置1即usssss處于第1個位置,

〈Ξ*Ω|P36|CC〉=

(21a)

以此類推,把式(15),式(16)和式(17b)代入到式(20)中得到位置2即sussss處于第2個位置,

〈Ξ*Ω|P36|CC〉=

(21b)

類似地,位置3即ssusss處于第3個位置,

〈Ξ*Ω|P36|CC〉=

(21c)

位置4即sssuss處于第4個位置,

〈Ξ*Ω|P36|CC〉=

(21d)

位置5即ssssus處于第5個位置,

〈Ξ*Ω|P36|CC〉=

(21e)

位置6即sssssu處于第6個位置,

〈Ξ*Ω|P36|CC〉=

(21f)

利用類似的方法,得到對應(yīng)同位旋、自旋和顏色空間所需要的矩陣元,分別在表2、表3和表4列出.

表2 自旋空間〈Ξ*矩陣元

表3 自旋空間〈Ξ*矩陣元

表4 同位旋空間〈Ξ*矩陣元 (u處于任意位置)

利用式(11)展開，得到

〈CC|P36|CC〉=

(22)

將表2、表3和表4結(jié)果代入到式(22),得到：

位置1即usssss處于第1個位置,

〈CC|P36|CC〉 =

同理,對于其他5種情況,結(jié)果都相同,這里不再詳細給出計算過程.

對于手征SU(3)夸克模型哈密頓量中各類不同算符相互作用矩陣元的計算,均可以實施和上面同樣的計算方法和技巧,這里不再贅述.

綜上,本文選取了目前實驗和理論均感興趣的Ξ*Ω系統(tǒng)作為例子,詳細地介紹了如何在RGM下實現(xiàn)對奇異夸克位置的處理,其中選取了含5個奇異夸克和1個非奇異夸克的Ξ*Ω系統(tǒng)作為例子.應(yīng)該指出,文獻[21]首次利用波函數(shù)展開方法詳細討論了非奇異雙重子態(tài)隱色道的計算,這一方法避免了處理復雜的角動量耦合和夸克置換算符等帶來的麻煩問題.本文在文獻[21]基礎(chǔ)上,進一步推廣到奇異雙重子態(tài)隱色道的計算.從研究中可以看到,由于奇異夸克和非奇異夸克質(zhì)量的不同,的確給RGM處理帶來了復雜性,因為計算中必須嚴格區(qū)分奇異夸克在集團中所處的具體位置.文獻[21]中得到的結(jié)果已經(jīng)得到有意義的應(yīng)用即已經(jīng)在手征SU(3)夸克模型下研究了隱色道對最近COSY實驗發(fā)現(xiàn)的非奇異雙重子態(tài)鏡像態(tài)結(jié)構(gòu)的影響，發(fā)現(xiàn)隱色道對此態(tài)結(jié)合能影響很大[22].接下來，利用本文推廣到奇異雙重子態(tài)系統(tǒng)的自旋、同位旋和顏色空間隱色道矩陣元的結(jié)果,去進一步研究隱色道對其他感興趣奇異雙重子態(tài)結(jié)構(gòu)的影響，是值得期待的未來計劃.

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The hidden color channel and strange dibaryon

DAILianrong,SUNYueling,SUHang,HUANGCaifeng

(School of Physics and Electronic Technology, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

In the present work we present a detailed method of calculating the matrix element of hidden color channel in spin,isospin and color spaces in the chiral SU(3) quark model.It is the first time to extend the method from nonstrange dibaryon into strange dibaryon within the Resonating Group Method.This will be helpful to further study the effect from hidden color channel and understand the nature of multiquarrk state with strangeness.

Resonating Group Method；strange quark;dibaryon;hidden color channel

2017-01-24

國家自然科學基金資助項目(11575076)；遼寧省高等學校優(yōu)秀科技人才支持計劃項目(LR2015032)

戴連榮(1968-)，女,遼寧開原人,遼寧師范大學教授,博士,博士生導師.E-mail:dai_lianrong@163.com

1000-1735(2017)02-0173-09

10.11679/lsxblk2017020173

O572.2

A