孔 洋，阮懷寧，黃雪峰

擴(kuò)展的朗格繆爾模型在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究

孔 洋1，阮懷寧1，黃雪峰2

（1.河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，江蘇 南京 210098；2.蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

依據(jù)三個(gè)不同行業(yè)工程的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用常用的幾類沉降預(yù)測(cè)模型與最近幾年學(xué)者提出沉降預(yù)測(cè)新方法，提出在沉降預(yù)測(cè)中適用性較強(qiáng)的擴(kuò)展的朗格繆爾模型。經(jīng)對(duì)比分析驗(yàn)證，該模型具有精度高、可靠性高、適用性強(qiáng)的特點(diǎn)，可以推廣使用。

沉降預(yù)測(cè)；擴(kuò)展的朗格繆爾模型；新模型；高填方工程；沉降量與時(shí)間關(guān)系

沉降預(yù)測(cè)是工程項(xiàng)目設(shè)計(jì)、施工與使用階段的重要研究?jī)?nèi)容，沉降預(yù)測(cè)方法主要包含兩個(gè)方面，第一類是基于土的固結(jié)理論，利用室內(nèi)試驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)并結(jié)合各種土的本構(gòu)模型，進(jìn)行沉降量預(yù)測(cè)。但室內(nèi)試驗(yàn)的預(yù)測(cè)方法并不可靠，僅可以作為設(shè)計(jì)、施工的參考。第二類是基于現(xiàn)場(chǎng)的初期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用沉降預(yù)測(cè)模型對(duì)總沉降以及工后沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)。王麗琴等[1-2]由冪函數(shù)分析提出了適用于黃土路基工后沉降預(yù)測(cè)的似固結(jié)模型；趙明華等[3]基于成長(zhǎng)曲線，提出表示沉降-時(shí)間關(guān)系的Usher模型，Usher模型具有較高的適用型；陳遠(yuǎn)洪等[4]根據(jù)泰勒公式提出冪多項(xiàng)式模型，適用于軟土路堤的工后沉降預(yù)測(cè)，低階數(shù)值就可以獲得較高的精度；陳善雄等[5]把三點(diǎn)法的理論引入指數(shù)曲線模型提出了三點(diǎn)修正的指數(shù)模型，適用于預(yù)測(cè)沉降量數(shù)值較小、沉降數(shù)據(jù)起伏波動(dòng)比較大的情況。沉降預(yù)測(cè)模型還包含三參數(shù)沉降預(yù)估模型、六參數(shù)沉降預(yù)估模型、灰色理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[6-14]，但這些模型在不同工程中的適用性不盡相同，故沉降預(yù)測(cè)模型研究尚未形成統(tǒng)一的理論體系。本文依據(jù)三項(xiàng)工程的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用工程上常用的幾類沉降預(yù)測(cè)模型與最近幾年學(xué)者提出的新辦法，提出在沉降預(yù)測(cè)中適用性較強(qiáng)的擴(kuò)展的朗格繆爾模型，通過(guò)其分析在實(shí)際工程中的應(yīng)用效果，確定該模型的合理性。

1 擴(kuò)展的朗格繆爾模型的建立

1.1 理論基礎(chǔ)

根據(jù)土力學(xué)理論，典型的沉降-時(shí)間曲線表現(xiàn)為沉降量瞬時(shí)線性增加，初期逐漸增加，中期加速增加，后期緩慢增加到某一極限值，現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的沉降-時(shí)間曲線也表現(xiàn)出高度的非線性的遞增關(guān)系。高路堤，高填深溝谷、邊坡等項(xiàng)目的出現(xiàn)，凸顯了高填方工程中工后沉降預(yù)測(cè)的重要性。工后沉降預(yù)測(cè)模型的建立，基本都是以公式（1）為基礎(chǔ)，公式（1）的表示形式如下所示[1-2]。

其中：St為所求任意時(shí)刻的沉降量；Si為瞬時(shí)沉降量；S∝為最終沉降量；f(t)為待定的時(shí)間函數(shù)。

工后沉降預(yù)測(cè)是假設(shè)瞬時(shí)沉降量為0，可得：

由公式（2）及大量實(shí)測(cè)時(shí)間-沉降曲線的特征可以看出，沉降預(yù)測(cè)模型建立的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造一個(gè)值域?yàn)閇0，1]且單調(diào)遞增的凸函數(shù)f(t)。

1.2 提出新模型

美國(guó)人朗格繆爾在1916年推導(dǎo)出朗格繆爾等溫吸附式：q=bp/(1+bp)，引入?yún)?shù)c，可得

通過(guò)計(jì)算一階、二階導(dǎo)數(shù)可以看出當(dāng)b ＞ 0時(shí)，是值域?yàn)閇0，1]且單調(diào)遞增的凸函數(shù)。則沉降量與時(shí)間關(guān)系的表達(dá)式為

其中：a為最終沉降量S∝，b＞0，c＜0。公式（4）即為擴(kuò)展的朗格繆爾模型。1.3 新模型特點(diǎn)

通過(guò)對(duì)模型的簡(jiǎn)單分析可以看出該模型通過(guò)原點(diǎn)，曲線單調(diào)遞增（St'＞0），有界（t→0，St→a），改變參數(shù)時(shí)具有良好的適用性。

1.4 新模型求解

最小二乘法是一種常用的數(shù)學(xué)優(yōu)化辦法，在非線性曲線的擬合中應(yīng)用廣泛，本文求解待定的a、b、c即是采用此類辦法。

由最小二乘法擬合的定義：在函數(shù)S(t)的最優(yōu)平方逼近中，如果函數(shù)僅在定義域內(nèi)的某個(gè)離散的集合{ti，i=0，1，2，…，n}上給定，即是數(shù)據(jù)(ti，Si)在集合{ti，i=0，1，2，…，n}上的曲線擬合。最小二乘法擬合的原則是使總殘差平方和的值為最小，假定擬合函數(shù)為S*(t)，則擬合殘差ei為ei=S(ti)-S*(ti)，其中i=0，1，2，…，n，同時(shí)e=(e0，e1，…，en)T，假設(shè)φ0(t)，φ1(t)，…，φn(t)是函數(shù)定義域上線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，在φ=span{φ0(t)，φ1(t)，…，φn(t)}上構(gòu)造擬合函數(shù)S*(t)，使總殘差的平方和最小，殘差平方和的表示形式：

一般最小二乘法擬合中都會(huì)考慮定義域上的加權(quán)函數(shù)ω(ti)，構(gòu)成殘差的加權(quán)平方和，加權(quán)函數(shù)是表示不同點(diǎn)數(shù)據(jù)的比重差異，然后將殘差的加權(quán)平方和轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)極小值點(diǎn)(a0*，a1*，…，an*)的問(wèn)題，多元函數(shù)的表達(dá)形式：

多元函數(shù)求極值的必要條件是一階導(dǎo)數(shù)為零，

假定擬合曲線中數(shù)據(jù)(ti，Si)的殘差平方和為I，分別求得I對(duì)a、b、c的偏導(dǎo)數(shù)并令其分別等于0，則可以得到關(guān)于a、b、c的三元非線性方程組，求解此方程組即可。

Matlab軟件具有強(qiáng)大的處理功能，通過(guò)建模，并使用求和命令、求偏導(dǎo)數(shù)命令、化簡(jiǎn)函數(shù)命令、用迭代的方法求解三元非線性方程組的命令等，即可求解a、b、c。Origin軟件使用基于LMA算法的非線性的最小二乘法擬合，只要在公式命令中輸入擬合模型，在大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上可以自動(dòng)給出最佳的擬合數(shù)值。

2 工程實(shí)例

2.1 公路軟土路基

某公路路基主要是軟土路基，設(shè)計(jì)、施工中為了減少路基的沉降量采用了等載預(yù)壓的方式，從2002年8月19號(hào)至2002年12月14號(hào)為止的80天內(nèi)，對(duì)NH標(biāo)k95+520斷面進(jìn)行了沉降觀測(cè)，路堤分八層填土，累計(jì)高度為5.70 m[3]，依據(jù)本次監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，本文對(duì)比分析了趙明華等[3]提出的Usher模型以及Logistic、Gompertz模型，并采用擴(kuò)展的朗格繆爾模型得到沉降-時(shí)間關(guān)系曲線如圖1所示。

圖1 實(shí)測(cè)曲線與各模型預(yù)測(cè)曲線示意圖Fig.1 Schematic diagram of the measured data curve and the predicted data curve of each model

由圖1可以看出：擴(kuò)展的朗格繆爾方程，最大相對(duì)誤差值僅為5.20%，且相對(duì)誤差的絕對(duì)值＞5.00%的僅有兩個(gè)點(diǎn)，其他均在2.72%以下，預(yù)測(cè)精度明顯高于其他模型，并且殘差平方和也明顯小于其他模型，因此不論在預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差或在殘差平方和方面，其擬合效果都好于Logistic模型、Gompertz模型與Usher模型。

從實(shí)測(cè)曲線的走勢(shì)來(lái)看，擴(kuò)展的朗格繆爾方程也可以很好的反映實(shí)際曲線的發(fā)展情況，對(duì)于某一特定時(shí)間的沉降量或者最終沉降量預(yù)測(cè)都具有較高的精度。

基于以上幾點(diǎn)優(yōu)勢(shì)，本文認(rèn)為擴(kuò)展的朗格繆爾方程在公路軟土路基的沉降預(yù)測(cè)方面具有良好的適用性。

2.2 鐵路黃土路基

某鐵路處于濕陷性黃土地區(qū)，設(shè)計(jì)、施工中為了減少路基的沉降量采用了灰土擠密樁法進(jìn)行加固，從2004年8月18號(hào)至2006年11月1號(hào)為止的805天內(nèi)，對(duì)DK101+070斷面進(jìn)行了沉降觀測(cè)[1,2]，依據(jù)本次監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，本文對(duì)比分析了王麗琴等[1,2]提出的似固結(jié)模型與常用經(jīng)典模型，并采用擴(kuò)展的朗格繆爾模型得到沉降-時(shí)間關(guān)系曲線如圖2所示。

從圖2可以看出：泊松模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值相差較大，且殘差平方和為所用模型中最大的；指數(shù)法模型預(yù)測(cè)結(jié)果的殘差平方和比泊松模型小很多，說(shuō)明指數(shù)法相對(duì)較優(yōu)，但是從圖1中發(fā)現(xiàn)指數(shù)預(yù)測(cè)曲線在觀測(cè)期約為500 d之前的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)沉降有較大偏差，不是最優(yōu)的擬合模型。

似固結(jié)模型預(yù)測(cè)的沉降結(jié)果殘差平方和小，預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)曲線的擬合程度非常接近，預(yù)測(cè)精度高于前述模型，說(shuō)明可以應(yīng)用在鐵路路基沉降預(yù)測(cè)。

圖2 實(shí)測(cè)曲線與各模型預(yù)測(cè)曲線示意圖Fig.2 Schematic diagram of the measured data curve and the predicted data curve of each model

擴(kuò)展的朗格繆爾方程的預(yù)測(cè)曲線與似固結(jié)模型的預(yù)測(cè)曲線幾乎是重合的，同時(shí)殘差平方和與相對(duì)誤差值相對(duì)較低，說(shuō)明擴(kuò)展的朗格繆爾模型有不低于似固結(jié)模型的預(yù)測(cè)精度。

基于以上幾點(diǎn)優(yōu)勢(shì)，本文認(rèn)為擴(kuò)展的朗格繆爾方程在鐵路黃土路基的沉降預(yù)測(cè)方面具有良好的適用性。

2.3 寬谷機(jī)場(chǎng)高填方

某黃土機(jī)場(chǎng)高填方場(chǎng)地地貌復(fù)雜，人工填土主要是粉質(zhì)粘土、砂和卵礫，沖洪積粉質(zhì)粘土與含粉質(zhì)粘土層主要分布在谷底，同時(shí)周圍有風(fēng)成型黃土分布，從2002年10月中旬到2003年分3月進(jìn)行了為期5個(gè)月的沉降觀測(cè)[6]。依據(jù)本次監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，本文對(duì)比分析了常用經(jīng)典模型與擴(kuò)展的朗格繆爾模型，得到沉降-時(shí)間關(guān)系曲線如圖3所示。

由圖3可以看出：各模型的擬合數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)差值都不大，基本上可以反映實(shí)測(cè)曲線的實(shí)際發(fā)展情況。對(duì)比各模型最大相對(duì)誤差值與殘差平方和發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展的朗格繆爾模型是其中精度最高的，在觀測(cè)前期與末期，此類模型的擬合效果都是最佳的。

圖3 實(shí)測(cè)曲線與各模型預(yù)測(cè)曲線示意圖Fig.3 Schematic diagram of the measured data curve and the predicted data curve of each model

沉降模型的選擇要根據(jù)填料的變形特性選擇，對(duì)于砂礫石要根據(jù)壓縮流變曲線選擇合適的模型。

基于以上分析，本文認(rèn)為擴(kuò)展的朗格繆爾方程在溝谷型高填方地基的沉降預(yù)測(cè)方面具有良好的適用性。

3 結(jié)語(yǔ)

1）在本文對(duì)比分析的10種預(yù)測(cè)模型中，擴(kuò)展的朗格繆爾模型是精度最高，穩(wěn)定性最好，適用性最強(qiáng)的預(yù)測(cè)模型。

2）擴(kuò)展的朗格繆爾模型可以應(yīng)用在公路軟土路基、鐵路黃土路基、寬谷型機(jī)場(chǎng)高填方等建設(shè)項(xiàng)目的總沉降量、沉降與時(shí)間的關(guān)系等方面作出預(yù)測(cè)，具有很強(qiáng)適用性，可以推廣使用。

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（責(zé)任編輯 王利君）

Study on application of the Extended Langmuir Model on construction settlement prediction

KONG Yang1, RUAN Huaining1, HUANG Xuefeng2
(1. Institute of Geotechnical Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2. School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Based on the field measured data from three projects in different industries, by the use of several types of commonly used settlement prediction model and the new prediction method proposed in recent years, this paper proposes the Extended Langmuir Model of settlement prediction with a widely applicability. Through the comparative analysis and validation, the model has the advantages of higher accuracy, reliability and applicability, so that, it can be widely used.

settlement prediction; the Extended Langmuir Model; new model; high-filled project; the relationship between settlement and time

TU47

A

1673-9469（2017）02-0022-04

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.02.005

2017-03-17

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2016B43414）

孔洋(1989-)，男，山東寧陽(yáng)人，博士，主要從事特殊土工程性狀與柱狀節(jié)理巖體水力特性方面的研究工作。