徐 朋 程錦翔 應明峰 李 奎

(南京航空航天大學機電學院， 南京 210016)

冗余鋪絲機械手逆運動學的拓撲流形分析

徐 朋 程錦翔 應明峰 李 奎

(南京航空航天大學機電學院， 南京 210016)

針對優(yōu)化的梯度投影算法在冗余鋪絲機械手逆運動學求解問題中不一定存在最優(yōu)解的問題，提出了一種拓撲流形算法。將冗余鋪絲機械手的位形空間看作一個光滑流形，對耦合的位置逆解和姿態(tài)逆解進行解耦，然后分別針對位置子流形和姿態(tài)子流形進行仿真分析得到其相應的仿真拓撲流形。該方法可以將鋪絲機械手的運動學問題抽象為數學中的曲面拓撲流形來研究，為鋪絲機械手運動學在流形上分析提供了理論基礎，同時也為后續(xù)鋪絲機械手的最優(yōu)化自運動控制提供了一種新的方法。最后以飛機S形進氣道為例進行仿真，驗證了所提方法的正確性。

機械手； 冗余； 拓撲； 流形； 進氣道

引言

復合材料纖維鋪放成型技術(Fiber placement, FP)是一種精確的復合材料先進制造技術[1-2]，既可以鋪放規(guī)則曲面，也可以鋪放不規(guī)則的自由曲面，同時大大提高了復合材料的性能，降低了復合材料的生產成本，減輕了復合材料成型制品的質量，不僅適合于航空航天、尖端武器裝備等高科技產品的應用，同時也適合于工業(yè)、農業(yè)、醫(yī)療等高端機械領域的應用[3]。所以對于復合材料纖維鋪放成型技術的工作母機——冗余鋪絲機械手的研究已經成為當今先進制造技術的一個新的研究方向[4]。

鋪絲機械手的運動學逆解是實現整個鋪絲過程運動規(guī)劃和運動控制的基礎[5-6]，對于冗余鋪絲機械手的逆運動學求解問題一般采用基于廣義逆的梯度投影算法[7-8]，基于梯度函數的不同選擇又出現了加權最小范數、最小奇異值、最小條件數、拉格朗日乘子等優(yōu)化算法，根據梯度的定義可知以上算法所得逆運動學解不一定是冗余機械手的全局最優(yōu)逆解，而冗余機械手拓撲流形包含了全部逆運動學解，所以得到了逆解的自運動流形[9-10]，就可以利用拓撲流形的性質從數學的角度來研究冗余鋪絲機械手運動學的操作性能指標。

拓撲流形是一個沒有全局坐標，局部坐標與歐式空間同態(tài)的拓撲空間[11]。以拓撲流形為核心和基礎的現代微分幾何學，在冗余機械手研究方面有著越來越多的應用和研究，特別是在復雜冗余機構中的非線性問題[12]，更容易得到具有幾何和物理意義的結果，為后續(xù)自運動控制提供一定的理論基礎。冗余機械手基于拓撲流形逆運動學求解問題，國內外諸多學者提出了很多算法[13-16]。

本文首先描述特殊結構8自由度串聯鋪絲機械手的拓撲結構[17-19]，在此基礎上分別描述位置和姿態(tài)空間的拓撲流形，其次利用旋量理論結合參數方程的方法得到冗余鋪絲機械手逆運動學解析解表達式[20-21]，最后通過仿真得到冗余鋪絲機械手的位置空間流形和姿態(tài)空間流形，然后利用飛機S形進氣道為例驗證所提方法的正確性。

1 冗余鋪絲機械手拓撲結構

圖1中，滑動導軌、6自由度庫卡機械手和旋轉芯模共同組成了8自由度串聯冗余機械手的閉環(huán)系統(tǒng)，由于冗余度的存在該系統(tǒng)有無數多個逆運動學解，逆解的變化呈現出拓撲流形的結構，通過對拓撲流形的研究可以更好地理解運動學逆解的數學本質，圖2為其相應的拓撲結構。

圖1 8自由度冗余鋪絲機械手模型Fig.1 An 8-DOF redundant fiber placement manipulator model

圖2 8自由度冗鋪絲機械手拓撲結構Fig.2 Topological structure of 8-DOF fiber placement manipulator

2 解空間拓撲流形

定義關節(jié)構型空間

C=C1C2C3C4C5C6C7C8

(1)

式中C1——移動關節(jié)構型空間C2～C7——各轉動關節(jié)構型空間C8——末端旋轉關節(jié)構型空間

定義f為關節(jié)構型空間C到工作空間W的映射函數，f由運動學正解可以得到，由于f是微分同態(tài)映射，則f:C→W和f-1:W→C是各階偏導都存在的光滑映射，所以機械手關節(jié)所起的作用相當于數學中的函數，它實現了關節(jié)構型空間和末端執(zhí)行器位姿工作空間之間的映射與逆映射。當滑軌和末端旋轉關節(jié)運動時，8自由度鋪絲機械手逆解將會呈現出曲面拓撲流形的結構，它是關于C的一個8維流形，包括了冗余鋪絲機械手的全部逆解。

定義位置關節(jié)構型空間

Cwz=C1C2C3C4C5C6C7C8

(2)

定義位置關節(jié)工作空間流形

(Cwl,Fwl)={(θwl,fwl(θwl))/fwl(θwl)=P,θwl∈Cwz}

(3)

式中P——工具坐標系在慣性坐標系中的位置矢量

Fwl——運動學正解映射集合

fwl——運動學正解映射

θwl——位置關節(jié)運動流形

Cwl——位置關節(jié)工作空間流形，是一個8維拓撲流形

矢量P主要由位置關節(jié)d1、θ2、θ3、θ4、θ8決定，同時受到姿態(tài)關節(jié)θ5、θ6、θ7的影響。由于末端操作器工具坐標系與腕點第7關節(jié)坐標系連接固定，所以由工具坐標系可以得到鋪絲機械手腕點第7關節(jié)坐標系的姿態(tài)和位置。

為了能將位置流形映射到三維空間，利用腕點矢量重新定義位置關節(jié)工作空間流形

C′wz=C1C2C3C4C8

(4)

(C′wl,F′wl)=(θ′wl,f′wl(θwl))/f′wl(θ′wl)=low(θ′wl∈C′wz)

(5)

式中l(wèi)ow——從基坐標系原點到鋪絲機械手腕點的矢量

C′wl——位置關節(jié)工作空間流形，是一個5維拓撲流形

以d1、θ8作為冗余變量可以將位置關節(jié)θ2、θ3、θ4映射到三維空間。

定義姿態(tài)關節(jié)構型空間

Czt=C2C3C4C5C6C7C8

(6)

定義姿態(tài)關節(jié)工作空間流形

(Czl,Fzl)=(θzl,fzl)/fzl(θzl)=(p,xT,zT) (θzl∈Czt)

(7)

式中xT、zT——末端工具坐標系的姿態(tài)Czl——姿態(tài)工作空間流形

由于Czl是一個7維拓撲流形，同樣不能在三維空間直觀展示，所以將位置關節(jié)θ2、θ3、θ4對腕關節(jié)姿態(tài)的影響歸結為一個關節(jié)的影響，定義為θ′4。

重新定義姿態(tài)關節(jié)工作空間流形

C′zt=C′4C5C6C7C8

(8)

(C′zl,F′zl)=(θ′zl,f′zl)/f′zl(θ′zl)=(low,x7,z7) (θ′zl∈C′zt)

(9)

式中x7、z7——第7關節(jié)沿x軸和y軸方向單位矢量，代表了第7關節(jié)姿態(tài)

C′zl——姿態(tài)關節(jié)工作空間流形

C′zl也是一個5維拓撲流形，以θ′4、θ8作為冗余變量同樣可以將姿態(tài)關節(jié)θ5、θ6、θ7映射到三維空間。

重新定義的位置空間拓撲流形C′wl和姿態(tài)空間拓撲流形C′zl就可以分別表示為以腰肩肘關節(jié)θ2、θ3、θ4和以腕關節(jié)θ5、θ6、θ7為主的曲面流形的結構。

3 逆運動學求解

利用旋量理論對8自由度冗余鋪絲機械手逆運動學進行求解，機械手的初始狀態(tài)及各連桿間的尺寸參數如圖3所示。

圖3 冗余鋪絲機械手初始狀態(tài)Fig.3 Initial state of redundant fiber placement manipulator

初始狀態(tài)工具坐標系{T}和慣性坐標系{S}之間的變換為

(10)

一般工作狀態(tài)工具坐標系和慣性坐標系之間的變換為

gst(θ)=

(11)

式中θ8——第8關節(jié)旋轉角度α——壓輥軸線與芯模軸線的夾角r——鋪絲軌跡點處的芯模半徑a1～a6——鋪絲機械手結構參數

將冗余關節(jié)設定為鋪絲軌跡點在慣性坐標系下的橫坐標d1和θ8，根據旋量理論及已知的Paden-Kahan子問題可以求得腰肩肘和腕部各關節(jié)解析表達式

θ2=arctan2(?(qx-d1),±qy)

(12)

(13)

(14)

θ5=arctan2(q′x-d1,q′z-a3-a4)

(15)

(16)

θ7=arctan2(d1-q″x,a2+a5-q″y)

(17)

當冗余關節(jié)d1、θ8在規(guī)定范圍內變化時，本文所得到的逆運動學解θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7均是以d1、θ8為變量的函數。冗余鋪絲機械手8個關節(jié)變量都可以作為冗余變量，不同冗余變量下冗余鋪絲機械手的運動構型是一致的，但是不同冗余變量下冗余機械手對應的自運動流形是不同的，為了實際鋪絲過程中方便測量和計算，本文以d1、θ8作為冗余變量來計算逆解及拓撲流形分析，其中θ8耦合于gst(θ)。

4 仿真分析

定義臂形標志

基于以上分析分別得到腰肩肘關節(jié)在不同臂形標志下的位置工作空間仿真拓撲流形，如圖4所示。

圖4 不同臂形標志下的位置空間仿真拓撲流形Fig.4 Position space simulation topological manifolds in different arm configurations

由圖4所示的位置拓撲流形可以看到當鋪絲機械手處于右上臂形和左上臂形時位置關節(jié)θ2、θ3、θ4具有較大的活動空間和靈活性，正常鋪絲工作一般在上臂形進行。

腕關節(jié)θ5、θ6、θ7在不同臂形標志下的姿態(tài)工作空間仿真拓撲流形分別如圖5、6所示。

圖5 右臂形狀態(tài)下的姿態(tài)空間仿真流形Fig.5 Posture space simulation topological manifolds for right arm configuration

圖6 左臂形狀態(tài)下的姿態(tài)空間仿真流形Fig.6 Posture space simulation topological manifolds for left arm configuration

由圖5、6可知當針對特定鋪絲軌跡點時，鋪絲機械手腕關節(jié)姿態(tài)處于右上臂形和左上臂形時具有較大靈活性，綜合位置關節(jié)考慮可知當鋪絲機械手處于右上臂形不翻腕的狀態(tài)下具有最大工作空間，同時靈活性和避障礙能力也越強，在此基礎之上可以利用拓撲流形的性質來研究鋪絲機械手的關節(jié)逆解。拓撲流形用來研究由一組變量組成的空間特性，其上每一點處的切向量表征了該點的速度矢量，所有切向量的集合定義為該點的切空間，切空間與光滑函數的結合可以研究鋪絲機械手的運動學性能指標，更有利于對鋪絲過程的全局性優(yōu)化。同時為了驗證所得拓撲流形的正確性，在鋪絲機械手處于右上臂形不翻腕的情況下，以飛機S形進氣道軌跡曲線為例來驗證所得拓撲流形的正確性，同時也利用拉格朗日優(yōu)化的梯度投影算法得到了相應的仿真曲線作為對比，如圖7所示。

圖7 飛機S形進氣道仿真軌跡Fig.7 Simulation path for plane S-shaped inlet

由圖7可知本文所用拓撲流形方法相比于拉格朗日優(yōu)化的梯度投影法更接近于期望軌跡，證明了本文所用拓撲流形方法的正確性和合理性，同時本文在冗余鋪絲機械手逆運動學和拓撲流形之間建立了合適的橋梁，為后續(xù)優(yōu)化逆解的求取和最優(yōu)自運動控制的選擇奠定了基礎。

5 結論

(1) 應用拓撲流形方法研究了冗余鋪絲機械手的逆運動學解，分別在其位置工作空間和姿態(tài)工作空間得到了相應的仿真流形，將鋪絲機械手的運動學問題成功轉換為數學中的拓撲流形問題，這樣就可以通過對拓撲流形的研究來得到鋪絲機械手的最優(yōu)逆解，為后續(xù)最優(yōu)的自運動控制奠定基礎。

(2)通過對飛機S形進氣道仿真軌跡的對比，拓撲流形方法得到的逆運動學解相比于拉格朗日優(yōu)化的梯度投影算法更適合于鋪絲軌跡的要求，同時有效提高了鋪絲過程的精確度。

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Topological Manifolds Analysis for Inverse Kinematics of Redundant Fiber Placement Manipulator

XU Peng CHENG Jinxiang YING Mingfeng LI Kui

(CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)

A new topological manifolds method was proposed to solve the inverse kinematics problem of the redundant fiber placement manipulator. It improved the calculation precision compared with the optimized projected gradient method. A structure of smooth topological manifolds was presented by the inverse kinematics solution of redundant fiber placement manipulator, the simulation topological manifolds were obtained when the position sub-manifolds and posture sub-manifolds had a different simulation analysis for the redundant fiber placement manipulator model, it was like the function mapping in the mathematics from the manipulator joints space to the working space of the end effector. The tangent vector described velocity vector for each point on the topological manifolds, the gather of all these tangent vectors were defined as the tangent vector space on the point. The kinematics problems of the redundant fiber placement manipulator were abstracted to mathematically curved surface topological manifolds problem in the new method, it provided a new theoretical basis for manifolds analysis of the redundant fiber placement manipulator. Thus the subsequent optimization of inverse kinematics solutions manifolds problems were obtained by using self-motion curved surface manifolds theory in the mathematics, it provided a new method for improving the subsequent optimization self-motion control of the redundant fiber placement manipulator. The whole operating performance of the redundant fiber placement manipulator was improved greatly, and it would play a great role in promoting the quantity in the working fiber placement. The new method was verified by simulation of plane S-shaped inlet.

manipulator; redundancy; topology; manifolds; inlet

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.06.051

2016-09-20

2016-10-19

國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2014CB046501)

徐朋(1982—)，男，博士生，主要從事冗余鋪絲機械手的逆解及自運動流形研究，E-mail: xpnuaa@163.com

TP242.2

A

1000-1298(2017)06-0387-05