王煒堃，江錄春，高大偉

（北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京 100044）

平面六邊形運動學優(yōu)化設(shè)計與分析

王煒堃，江錄春，高大偉

（北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京 100044）

基于平面六邊形的分析，提出了平面六邊形靜運動學優(yōu)化分析。首先我們從靜力學入手，采用窮舉法對六邊形的步態(tài)進行初步分析，并且給出了優(yōu)化的三個指標，分別為節(jié)能性、速度性和穩(wěn)定性，通過這三個方面，對平面六邊形的步態(tài)優(yōu)劣進行分析。從靜運動學考慮到動力學的分析，根據(jù)實時zmp判斷其是否存在翻倒步態(tài)。通過三個方面的綜合考量得出最終優(yōu)化后的步態(tài)，再考慮其可行性。

平面六邊形機構(gòu)；靜運動學；優(yōu)化指標；滾動機構(gòu)

六邊形相對于四邊形，離近似圓形的狀態(tài)接近，所以不必和四邊形機構(gòu)一樣只能依靠滾動模式向前運動，六邊形通過角度的變化，可以實現(xiàn)滾動與類履帶式穩(wěn)定運動的結(jié)合。本文主要深入剖析-六邊形的運動模式，并給出足夠的數(shù)據(jù)分析。我們通過運動學正解與反解給出六邊形一定的幾何規(guī)律，并以此作為基礎(chǔ)，對各個指標進行準確的計算，從理想假定的優(yōu)化情況對所舉列出的所有步態(tài)進行綜合考量，得出近似的符合條件的運動模式。再通過計算更加精確地得出每一步所需角度變化，最后通過數(shù)據(jù)反推計算和仿真模擬確定方案的正確性。

1 六邊形的靜運動學分析

1.1 運動學正解

靜運動學的正解主要是基于質(zhì)心和各個角度的關(guān)系，通過向量的求解，在給出任意角度時給出其質(zhì)心的位置。

對于任意的六邊形，存在限制方程，即x、y方向上的向量和為零，故給出三個角度即可準確確定其質(zhì)心的位置。

2 六邊形的動力學分析

2.1 拉格朗日函數(shù)求解驅(qū)動力矩的確定

在得到最優(yōu)步態(tài)后，需要求解出最優(yōu)步態(tài)下對應(yīng)的驅(qū)動力矩來實現(xiàn)目標運動。

首先求解出各桿件的角速度。

由矢量方程：

我們得到：

求解出各桿件的角速度后利用拉格朗日方程求解驅(qū)動力矩：

各桿件具有相對地面運動的動能與各構(gòu)件之間相對轉(zhuǎn)動的動能。所以整個系統(tǒng)的動能可以寫出為：

公式中各數(shù)據(jù)均可由解析法分析六桿機構(gòu)得出。

描述整個構(gòu)件的勢能時，選取桿1所在的平面（即水平面）為零勢能面，則勢能函數(shù)為：

將動能函數(shù)（3）與勢能函數(shù)（4）代入拉格朗日函數(shù)（1）后可求得：

可見為了實現(xiàn)相應(yīng)的運動步態(tài)我們能求出對應(yīng)的驅(qū)動力矩，證明了運動步態(tài)的可實現(xiàn)性。

2.2 ZMP點的求解

ZMP準則可以判斷機構(gòu)的穩(wěn)定性，對于平面六連桿機構(gòu)，可采用ZMP準則判定其是否翻倒，ZMP的計算公式為：

當ZMP點在機構(gòu)支撐范圍內(nèi)，機構(gòu)不會發(fā)生傾倒；ZMP點在機構(gòu)支撐范圍外，機構(gòu)將發(fā)生傾倒。

3 基于速度、能量、平穩(wěn)性指標下的優(yōu)化

3.1 節(jié)能性步態(tài)優(yōu)化

在窮舉法的判定中，我們得出六邊形轉(zhuǎn)變?yōu)槲暹呅巫顑?yōu)的步態(tài)為如下：

在此優(yōu)化條件下，可以根據(jù)靜運動學中關(guān)于質(zhì)心的正解，以每個角度運動速度為勻速過程，給出運動過程中微量變化后質(zhì)心的圖像，如下圖1所示。

由圖像可以得出質(zhì)心的變化范圍在0.866l～0.94l之間，較為穩(wěn)定。

3.2 穩(wěn)定性步態(tài)優(yōu)化

穩(wěn)定最優(yōu)，我們給定的判斷條件是，質(zhì)心在y方向上的變化量△y 為最小時，判定其穩(wěn)定性最優(yōu)，機構(gòu)在運動中與地面的沖擊力越小，穩(wěn)定性能越好。

圖1

我們將運動模型進行理想化分析，假定在一個步態(tài)的運動過程中，質(zhì)心y的值始終保持在同一直線上。以x=0.5l；y=0.866l，即正六邊形為起始狀態(tài)，采用靜運動學中關(guān)于質(zhì)心的反解，得出各個角度的對應(yīng)值。所得如圖2所示。

圖2

初步帶入數(shù)值進行驗證，xc=0.5l時各個角度相交于120°，判定曲線大致正確，再運用曲線的擬合得出每個角度的變化情況。

4 結(jié)語

（2）基于給定的指標，給定了對應(yīng)的最優(yōu)步態(tài)，并通過動力學的計算驗證了運動的可實現(xiàn)性，通過模擬仿真驗證步態(tài)的正確性。

（3）六桿機構(gòu)應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，研究出的步態(tài)具有可實現(xiàn)性。同時平面運動步態(tài)的研究為相應(yīng)的空間運動步態(tài)研究打下基礎(chǔ)。

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