向 玲， 高雪媛

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，河北保定 071003)

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考慮非線性油膜力的裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性仿真

向 玲， 高雪媛

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，河北保定 071003)

在考慮裂紋軸時(shí)變剛度和非線性油膜力的基礎(chǔ)上，建立了含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用數(shù)值積分方法對(duì)其求解，結(jié)合分岔圖、軸心軌跡圖、Poincaré截面圖和三維譜圖等，分析了轉(zhuǎn)速、裂紋深度和不平衡對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)、分岔情況以及穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明：該類系統(tǒng)出現(xiàn)了多周期、擬周期、混沌等豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為；在裂紋較深的情況下，在較低轉(zhuǎn)速便會(huì)發(fā)生倍周期分岔和多周期運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的非線性和不穩(wěn)定性增強(qiáng)；不平衡力的增大簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，使系統(tǒng)失穩(wěn)滯后，但不影響油膜振蕩.

轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)； 裂紋； 非線性油膜力； 分岔； 混沌

由于轉(zhuǎn)子材料本身的缺陷和長(zhǎng)時(shí)間的工作，會(huì)逐漸產(chǎn)生疲勞裂紋，進(jìn)而擴(kuò)展，導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸剛度降低，從而引起其橫向振動(dòng)變大，影響機(jī)組的正常工作與安全.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)含有裂紋故障的轉(zhuǎn)子進(jìn)行了一系列研究[1-5].甕雷等[6]研究了含汽輪機(jī)非線性間隙氣流激振力的裂紋轉(zhuǎn)子，討論了該激振力和裂紋深度對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響.何成兵等[7]建立了剛性支承的純彎曲振動(dòng)、彎扭耦合振動(dòng)和軸承支承的彎扭耦合振動(dòng)3種裂紋轉(zhuǎn)子模型，對(duì)比分析了系統(tǒng)響應(yīng)的分岔、混沌特性.Ricci等[8]提出了一種新的多自由度裂紋轉(zhuǎn)子模型，采用Floquet理論討論了各向異性和裂紋位置對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.秦衛(wèi)陽(yáng)等[9-10]以雙盤懸臂裂紋轉(zhuǎn)子為模型，主要分析了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)入混沌道路的影響.筆者主要以對(duì)稱布置的雙盤轉(zhuǎn)子為模型，更為全面地分析了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式、頻率特征的影響.劉長(zhǎng)利等[11]采用有限元方法建立了雙盤雙呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，給出了不同裂紋深度和裂紋夾角對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響.于海等[12]通過(guò)改進(jìn)的正交模態(tài)分解技術(shù)(POD)將26自由度的含有裂紋故障的高維系統(tǒng)降為具有2個(gè)自由度含有裂紋故障的低維模型，并利用C-L方法對(duì)其進(jìn)行了分岔分析.

已有的關(guān)于含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的文獻(xiàn)較少，大部分又是用有限元法而非數(shù)值方法.因此，筆者建立了油膜支承下含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，考慮轉(zhuǎn)軸的裂紋時(shí)變剛度，采用Runge-Kutta法進(jìn)行求解，討論轉(zhuǎn)速、裂紋深度以及偏心量變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，為實(shí)際中轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析提供了一定的理論依據(jù).

1 含裂紋故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

所研究的含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子兩端采用對(duì)稱結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)軸承支承，如圖1所示.Oi(i=1,4)為軸端軸承內(nèi)瓦幾何中心，Oi(i=2,3)為轉(zhuǎn)子幾何中心；轉(zhuǎn)子在軸承處的集中質(zhì)量為m1和m4，轉(zhuǎn)軸中央圓盤等效質(zhì)量為m2和m3，并在靠近左端圓盤處有一橫向弓形裂紋，如圖1所示；k為無(wú)裂紋時(shí)轉(zhuǎn)軸剛度，ci(i=1,4)為轉(zhuǎn)子在軸承處的結(jié)構(gòu)阻尼，ci(i=2,3)為轉(zhuǎn)子圓盤處的結(jié)構(gòu)阻尼.Fxi(i=1,4)和Fyi(i=1,4)為滑動(dòng)軸承作用在轉(zhuǎn)軸上的非線性油膜力，軸承半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，軸承間隙為c.

圖1 含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)

1.1 裂紋模型

圖2所示為轉(zhuǎn)軸裂紋處橫截面，其中xoy為絕對(duì)坐標(biāo)系，ξo′η為固定在圓盤上并隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系，o′ξ為裂紋擴(kuò)展方向，o′η為裂紋擴(kuò)展垂直方向.ψ為轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)角，θ=ωt為自轉(zhuǎn)角，其中，ω為轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率，φ=θ-ψ為轉(zhuǎn)渦差角，e為質(zhì)量偏心，β為裂紋方向與不平衡方向之間的夾角.則在考慮呼吸裂紋后的轉(zhuǎn)軸剛度矩陣[13]可表示為

(1)

圖2 開(kāi)閉裂紋模型示意圖

1.2 油膜力模型

本文滑動(dòng)軸承處所產(chǎn)生的油膜力具有強(qiáng)非線性，理論分析中采用經(jīng)典的Capone圓軸承理論[14]，該模型精度較高，具體表達(dá)式如下：

(2)

式中：fx、fy分別為無(wú)量綱非線性油膜力在x與y方向上的分量；σ為Sommerfeld修正數(shù).

(3)

(4)

其中，

式中:x，y為軸承位移；μ為潤(rùn)滑油黏度.

1.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

假設(shè)含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)兩端軸頸的徑向位移為x1、y1、x4和y4，中央圓盤處的徑向位移為x2、y2、x3和y3，忽略陀螺力矩和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，只考慮系統(tǒng)的橫向振動(dòng)，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如式(6)所示.

2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程求解

2.1 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的無(wú)量綱處理

式(6)中給出了含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，綜合考慮了剛度的變化和非線性油膜力的影響，將式(1)中的剛度模型和式(4)中的油膜力代入式(6)中，同時(shí)引入無(wú)量綱變換：

則無(wú)量綱后的運(yùn)動(dòng)微分方程如式(7)所示.

(6)

(7a)

(7b)

2.2 參數(shù)設(shè)置

表1給出了含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的主要參數(shù).由于式(7)(包括式(7a)和式(7b))表示一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，采用四階Runge-Kutta法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值積分求解，并舍去前300個(gè)周期的結(jié)果以消除瞬態(tài)響應(yīng)，進(jìn)而得到系統(tǒng)的分岔圖等.

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

3 仿真與分析

3.1 轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖3給出了系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖，此時(shí)裂紋剛度變化比Δkζ=0.1，偏心量取0.1 mm，其他參數(shù)如表1所示.由圖3可知，系統(tǒng)歷經(jīng)P-1→ P-2→P-4→混沌→P-8→P-4→P-2→多周期→混沌.系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔的分岔點(diǎn)轉(zhuǎn)速為ω=390 rad/s，開(kāi)始出現(xiàn)油膜渦動(dòng)，從單周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入到雙周期P-2運(yùn)動(dòng)，如圖4(a)所示，ω=400 rad/s時(shí)，時(shí)域波形為周期信號(hào)，軸心軌跡為兩圓疊交，頻譜圖上存在油膜失穩(wěn)頻率、基頻以及倍頻nX/2(n=3,4,5…)，且油膜失穩(wěn)頻率為基頻的0.5倍，Poincaré截面圖上存在2個(gè)孤立的相點(diǎn).

而在轉(zhuǎn)速ω=855 rad/s時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，如圖4(c)所示，當(dāng)ω=1 000 rad/s時(shí)，軸心軌跡呈花環(huán)狀，頻譜圖上存在油膜失穩(wěn)頻率、基頻、基頻的分?jǐn)?shù)階和高階倍頻，油膜失穩(wěn)頻率約為基頻的0.38倍，Poincaré截面圖上出現(xiàn)“鎖相”現(xiàn)象，此時(shí)油膜渦動(dòng)發(fā)展成為油膜振蕩，故障加重，系統(tǒng)進(jìn)行擬周期運(yùn)動(dòng).在轉(zhuǎn)速范圍1 660～1 705 rad/s內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)短暫的P-3運(yùn)動(dòng)，圖4(d)中ω=1 670 rad/s時(shí)，時(shí)域圖規(guī)則，頻譜圖上主要是油膜振蕩頻率和基頻，油膜振蕩頻率為基頻的0.33倍，Poincaré截面圖鎖相為3個(gè)相點(diǎn).

圖3 系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

3.2 裂紋深度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖5、圖6分別為Δkζ=0.5和0.9時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖.由圖5和圖6可知，系統(tǒng)首次分岔點(diǎn)分別變?yōu)棣?455 rad/s和ω=340 rad/s，結(jié)合圖3可知系統(tǒng)首次分岔點(diǎn)的轉(zhuǎn)速先增大后減小，說(shuō)明裂紋從輕度發(fā)展到中度過(guò)程中，裂紋的存在會(huì)干擾油膜渦動(dòng)的形成，而在裂紋進(jìn)行到重度情況時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定性增強(qiáng)，在較低轉(zhuǎn)速時(shí)便會(huì)發(fā)生倍周期分岔和多周期運(yùn)動(dòng).另外，裂紋深度的增加對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響還表現(xiàn)在中高速區(qū)域.對(duì)比圖3、圖5和圖6可以看出，隨著裂紋深度的增加，系統(tǒng)中速區(qū)發(fā)展為更明顯的多周期、擬周期交替運(yùn)動(dòng)；高速區(qū)的P-3運(yùn)動(dòng)窗口不僅變寬，而且有所前移.這些現(xiàn)象均說(shuō)明裂紋的發(fā)展會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的非線性和不穩(wěn)定性增強(qiáng).

圖4 不同轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)響應(yīng)

圖5 Δkζ=0.5時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖6 Δkζ=0.9時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

3.3 不平衡對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

在實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于轉(zhuǎn)子本身加工誤差導(dǎo)致的質(zhì)量不均勻、安裝偏心等原因，不可避免的存在轉(zhuǎn)子不平衡情況，此處將分析不平衡力對(duì)含裂紋故障的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響，而在一定轉(zhuǎn)速下，偏心量的大小決定了不平衡力的大小.

圖7和圖8為裂紋剛度變化比Δkζ=0.1，偏心量e=0.2 mm和0.3 mm時(shí)的系統(tǒng)分岔圖.對(duì)比圖3、圖7和圖8可知，隨偏心量的增大，不平衡力也會(huì)增大，較大的不平衡力會(huì)簡(jiǎn)化系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式，系統(tǒng)的分岔情況相對(duì)變得簡(jiǎn)單.從圖3、圖7和圖8可以看出，系統(tǒng)首次分岔點(diǎn)的轉(zhuǎn)速發(fā)生后移，從圖3中的ω=390 rad/s變?yōu)棣?850 rad/s和ω=1 030 rad/s，說(shuō)明偏心量的增大會(huì)使系統(tǒng)失穩(wěn)滯后.其次，原中速區(qū)的混沌窗口縮小并且后移，高速區(qū)的P-3運(yùn)動(dòng)窗口也發(fā)生后移.圖9給出了偏心量取0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm時(shí)系統(tǒng)的三維譜圖，圖中可觀察到油膜失穩(wěn)頻率f0、基頻fr以及基頻的多個(gè)高階倍頻(fr+f0,2fr).此外，偏心量的增大使出現(xiàn)油膜渦動(dòng)頻率的轉(zhuǎn)速增大，但并沒(méi)有影響油膜振蕩，這一點(diǎn)與圖7和圖8的結(jié)果相符.

圖7 e=0.2 mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖8 e=0.3 mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

(a) e=0.1 mm

(b) e=0.2 mm

(c) e=0.3 mm

4 結(jié) 論

(1) 在轉(zhuǎn)速的影響下，系統(tǒng)出現(xiàn)了多周期、擬周期、混沌等豐富的動(dòng)力學(xué)行為，并歷經(jīng)多次倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)和Hopf分岔進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng).

(2) 隨著裂紋深度的增加，裂紋干擾了油膜渦動(dòng)的形成，使系統(tǒng)首次分岔點(diǎn)的轉(zhuǎn)速增大，但在裂紋較深的情況下，在較低轉(zhuǎn)速便會(huì)發(fā)生倍周期分岔和多周期運(yùn)動(dòng)，并且在中速區(qū)發(fā)生更加明顯的多周期、擬周期交替運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的非線性和不穩(wěn)定性增強(qiáng).

(3) 不平衡力的增加會(huì)簡(jiǎn)化系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，使系統(tǒng)失穩(wěn)滯后，且原中速區(qū)的混沌窗口會(huì)縮小、后移.后續(xù)將在轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)，研究各參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，以對(duì)比、驗(yàn)證該模型下的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

[1] DIMAROGONAS A D. Vibration of cracked structures: a state of the art review[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1996, 55(5): 831-857.

[2] SINOU J J, LEES A W. The influence of cracks in rotating shafts[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 285(4/5): 1015-1037.

[3] 朱厚軍, 趙玫, 王德洋. Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性的研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2001, 20(1): 1-4.

ZHU Houjun, ZHAO Mei, WANG Deyang. A study on the dynamics of a cracked Jeffcott rotor[J]. Journal of Vibration and Shock, 2001, 20(1): 1-4.

[4] 史進(jìn)淵. 核電汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子在低周疲勞與高周疲勞交互作用下裂紋擴(kuò)展壽命的研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2015, 51(22): 152-158.

SHI Jinyuan. Study on crack propagation life under low cycle fatigue and high cycle fatigue of nuclear steam turbine rotors[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(22): 152-158.

[5] 宋光雄, 陳松平, 宋君輝, 等. 汽輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子裂紋故障研究及分析[J]. 動(dòng)力工程學(xué)報(bào), 2012, 32(4): 289-295.

SONG Guangxiong, CHEN Songping, SONG Junhui, et al. Cause analysis of rotor cracks in turbine-generator units[J]. Journal of Chinese Society of Power Engineering, 2012, 32(4): 289-295.

[6] 甕雷, 楊自春, 曹躍云. 汽輪機(jī)非線性間隙氣流激振力作用下含裂紋轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2016, 35(5): 89-95.

WENG Lei, YANG Zichun, CAO Yueyun. Bifurcation characteristic of a cracked rotor-bearing system under air-exciting forces of steam turbine[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(5): 89-95.

[7] 何成兵, 顧煜炯, 宋光雄. 裂紋轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)非線性特性分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(9): 33-38.

HE Chengbing, GU Yujiong, SONG Guangxiong. Nonlinear analysis on coupled flexural and torsional vibrations of cracked rotor[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(9): 33-38.

[8] RICCI R, PENNACCHI P. Discussion of the dynamic stability of a multi-degree-of-freedom rotor system affected by a transverse crack[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 58: 82-100.

[9] 秦衛(wèi)陽(yáng), 孟光, 任興民. 雙盤裂紋轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)與混沌[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 20(3): 378-382.

QIN Weiyang, MENG Guang, REN Xingmin. On nonlinear response of a cracked rotor with two disks[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2002, 20(3): 378-382.

[10] 陳宏, 李鶴, 張曉偉, 等. 雙盤懸臂裂紋轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2005, 18(1): 113-117.

CHEN Hong, LI He, ZHANG Xiaowei, et al. Dynamics analysis of a dual-disk over-hung rotor-bearing system with crack[J]. Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(1): 113-117.

[11] 劉長(zhǎng)利, 周邵萍, 江君, 等. 雙盤雙呼吸型裂紋轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)特性[J]. 振動(dòng): 測(cè)試與診斷, 2012, 32(S1): 136-140.

LIU Changli, ZHOU Shaoping, JIANG Jun, et al. Nonlinear dynamics analysis of double-disc rotor with two breathing cracks[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012, 32(S1): 136-140.

[12] 于海, 陳予恕, 曹慶杰. 多自由度裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(7): 92-98.

YU Hai, CHEN Yushu, CAO Qingjie. Nonlinear dynamic behavior analysis for a cracked multi-DOF rotor system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(7): 92-98.

[13] 劉元峰, 趙玫, 朱厚軍. 考慮碰摩的裂紋轉(zhuǎn)子非線性特性研究[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2003, 16(2): 203-206.

LIU Yuanfeng, ZHAO Mei, ZHU Houjun. Nonlinear characteristics of a cracked rotor with rub-impact[J]. Journal of Vibration Engineering, 2003, 16(2): 203-206.

[14] DING Q, COOPER J E, LEUNG A Y T. Hopf bifurcation analysis of a rotor/seal system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 252(5): 817-833.

Simulation on Dynamic Characteristics of a Cracked Rotor Considering Nonlinear Oil Film Force

XIANG Ling, GAO Xueyuan

(Department of Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, Hebei Province, China)

Considering the time varying stiffness and nonlinear oil film force, a dynamic model was established for the double disc rotor-bearing system with crack faults, and subsequently numerical integration method was used to solve the model, so as to study the effects of rotating speed, crack depth and unbalance force on the response, instability and bifurcation of the system by using bifurcation diagram, axis orbits, Poincaré maps and cascade spectrum. Results show that when the rotating speed changes, rich nonlinear dynamic behaviors would occur to the system, such as multiple periodic, quasi-periodic and chaotic motions. Under deep crack conditions, double period bifurcation and multi period motion would appear at a lower speed, when the system nonlinearity and instability tend to be enhanced. The increase of unbalance force simplifies the dynamic behavior of the system, makes the appearance of system instability lag behind, but does not affect the oil-whip.

rotor dynamics; crack; nonlinear oil film force; bifurcation; chaos

2016-06-20

2016-07-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51675178)

向 玲(1971-),女,湖北隨州人,教授,博士,研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)和故障診斷.電話(Tel.)：15032496266; E-mail：ncepuxl@163.com.

1674-7607(2017)06-0454-07

TH113

A

470.30