方案設(shè)計(jì)題的分類解答

責(zé)任編輯：王二喜

解答方案設(shè)計(jì)型問題需要根據(jù)問題所提供的信息，運(yùn)用學(xué)過的技能和方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)與操作，經(jīng)過分析、計(jì)算、證明等，確定最佳方案.方案設(shè)計(jì)題有以下幾種類型.

一、利用方程設(shè)計(jì)方案

例1（2016年牡丹江卷）某綠色食品有限公司購進(jìn)A和B兩種蔬菜，B種蔬菜每噸的進(jìn)價(jià)比A種蔬菜每噸的進(jìn)價(jià)多0.5萬元，經(jīng)計(jì)算用4.5萬元購進(jìn)A種蔬菜的噸數(shù)與用6萬元購進(jìn)B種蔬菜的噸數(shù)相同.請(qǐng)解答下列問題：

（1）求A，B兩種蔬菜每噸的進(jìn)價(jià)；

（2）該公司計(jì)劃用14萬元同時(shí)購進(jìn)A，B兩種蔬菜，若A種蔬菜以每噸2萬元的價(jià)格出售，B種蔬菜以每噸3萬元的價(jià)格出售，且全部售出.請(qǐng)求出所獲利潤W（萬元）與購買A種蔬菜的資金a（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，要求A種蔬菜的噸數(shù)不低于B種蔬菜的噸數(shù)，若公司欲將（2）中的最大利潤全部用于購買甲、乙兩種型號(hào)的電腦贈(zèng)給某中學(xué)，甲種電腦每臺(tái)2100元，乙種電腦每臺(tái)2700元.請(qǐng)直接寫出有幾種購買電腦的方案．

解：（1）設(shè)A種蔬菜每噸的進(jìn)價(jià)為x萬元，則B種蔬菜每噸的進(jìn)價(jià)為（x+0.5）萬元.

解得x=1.5，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1.5是原方程的解，

∴x+0.5=2，

∴A種蔬菜每噸的進(jìn)價(jià)為1.5萬元，B種蔬菜每噸的進(jìn)價(jià)為2萬元.

∴當(dāng)a=6時(shí)，W有最大值，最大值為-1+7=6（萬元）.

設(shè)購買甲種電腦c臺(tái)，乙種電腦b臺(tái)，則2100c+2700b=60 000，

∵c和b均為正整數(shù)，

∴c=26，b=2；c=17，b=9；c=8，b=16.

有三種購買方案．

點(diǎn)評(píng)：利用方程設(shè)計(jì)方案需要建立方程，確定方程的解，進(jìn)而由整數(shù)的意義并結(jié)合題意，確定方案.

二、利用不等式設(shè)計(jì)方案

例2（2016年恩施卷）在清江河污水網(wǎng)管改造建設(shè)中，需要確保在汛期來臨前將建設(shè)過程中產(chǎn)生的渣土清運(yùn)完畢，每天至少需要清運(yùn)渣土12 720m3.施工方準(zhǔn)備每天租用大、小兩種運(yùn)輸車共80輛，已知每輛大車每天運(yùn)送渣土200m3，每輛小車每天運(yùn)送渣土120m3，大車、小車每天每輛租車費(fèi)用分別為1200元、900元，且要求每天租車的總費(fèi)用不超過85 300元.請(qǐng)解答下列問題：

（1）施工方共有多少種租車方案？

（2）哪種租車方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？

解：（1）設(shè)施工方租用大車x輛，小車(80-x)輛.

∵x為整數(shù)，

∴x=39，40，41，42，43，44.

施工方共有6種租車方案：①大車39輛，小車41輛；②大車40輛，小車40輛；③大車41輛，小車39輛；④大車42輛，小車38輛；⑤大車43輛，小車37輛；⑥大車44輛，小車36輛.

（2）設(shè)租車費(fèi)用為y.由已知得，

y=1200x+900（80-x）=72000+300x，

∴當(dāng)x最小時(shí),y最小,即方案①租大車39輛，小車41輛的費(fèi)用最低.

最低費(fèi)用為39×1200+41×900＝83 700（元）.

點(diǎn)評(píng)：解不等式的方案設(shè)計(jì)問題，一般可轉(zhuǎn)化為求不等式組的整數(shù)解，有時(shí)需要從表格中獲取相關(guān)信息.要認(rèn)真審題，理解各數(shù)量之間的關(guān)系.

三、利用函數(shù)設(shè)計(jì)方案

例3（2016年鹽城卷）某地?cái)M召開一場(chǎng)安全級(jí)別較高的會(huì)議，預(yù)估將有4000至7000人參加會(huì)議.為了確保會(huì)議的安全，會(huì)議組委會(huì)決定對(duì)每位入場(chǎng)人員進(jìn)行安全檢查．現(xiàn)有門式安檢儀和手持安檢儀兩種：門式安檢儀每臺(tái)3000元，需安檢員2名，每分鐘可通過10人；手持安檢儀每臺(tái)500元，需安檢員1名，每分鐘可通過2人.該會(huì)議中心共有6個(gè)不同的入口，每個(gè)入口都有5條通道可供使用，每條通道只可安放一臺(tái)門式安檢儀或一臺(tái)手持安檢儀.每位安檢員的勞務(wù)費(fèi)用均為200元.（安檢總費(fèi)用包括安檢設(shè)備費(fèi)用和安檢員的勞務(wù)費(fèi)用.）

與會(huì)人員從上午9∶00開始入場(chǎng)，到上午9∶30結(jié)束入場(chǎng)，6個(gè)入口都采用相同的安檢方案，所有人員須提前到達(dá)并根據(jù)會(huì)議通知從相應(yīng)入口進(jìn)入.

（1）如果每個(gè)入口處，只有2個(gè)通道安放門式安檢儀，而其余3個(gè)通道均為手持安檢儀.在這個(gè)安檢方案下，請(qǐng)問：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可通過多少名人員？安檢總費(fèi)用為多少元？

（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)安檢方案，確保安檢工作的正常進(jìn)行，同時(shí)使得安檢總費(fèi)用盡可能少.

解：（1）可通過人數(shù)：（2×10+3×2）×30×6=4680（人）．

一個(gè)入口的安檢費(fèi)用：2×3000+3×500+（2×2+3）×200=8900（元），

總安檢費(fèi)用：8900×6=53400（元）.

（2）設(shè)每個(gè)入口處安放x臺(tái)門式安檢儀，（5-x）臺(tái)手持安檢儀，通過的總?cè)藬?shù)為y，總安檢費(fèi)用為w，則有

y＝[x×10+（5-x）×2]×30×6=1440x+1800，

由于可能有4000至7000人參加會(huì)議，

又∵x≤5，∴x=4或5.

w=[x×3000+（5原x）×500+（2x+5原x）×200]×6＝16 200x+21 000，x越小，w越小，

∴當(dāng)x=4時(shí)，即每個(gè)入口處安放4臺(tái)門式安檢儀，1臺(tái)手持安檢儀，安檢總費(fèi)用較少.

另外，每個(gè)入口處安放4臺(tái)門式安檢儀，剩余1個(gè)通道封閉，可通過的總?cè)藬?shù)為4×10× 30×6=7200，∵7200＞7000，且費(fèi)用更少，也滿足方案設(shè)計(jì)的需要.

綜上所述，安檢方案為：每個(gè)入口處安放4臺(tái)門式安檢儀，剩余的1個(gè)通道關(guān)閉.

評(píng)點(diǎn)：根據(jù)背景材料或圖表信息，確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合自變量的取值范圍求解.

四、利用圖形設(shè)計(jì)方案

例4（2015年義烏卷）某校規(guī)劃在一塊長(zhǎng)AD為18m，寬AB為13m的長(zhǎng)方形ABCD場(chǎng)地上，設(shè)計(jì)分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮．

（1）如圖1，若設(shè)計(jì)三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN=8∶9.問通道的寬是多少？

（2）為了建造花壇，要修改（1）中的方案，如圖2，將三條通道改為兩條通道，縱向的寬度改為橫向?qū)挾鹊?倍，其余四塊草坪相同，且每一塊草坪均有一邊長(zhǎng)為8m.在草坪上建造花壇，如圖3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于點(diǎn)E，CF⊥PQ于點(diǎn)F援求花壇RECF的面積．

圖1

圖2

圖3

解：（1）設(shè)通道的寬為xm，AM=8ym.

答：通道的寬是1m.

（2）四塊相同草坪中的每一塊，有一條邊長(zhǎng)為8m，

若RP=8，則AB＞13，不合題意，

∴RQ=8.

∴縱向通道的寬為2m，橫向通道的寬為1m，

∴RP=6.

∵RE⊥PQ，四邊形RPCQ是長(zhǎng)方形，

同理可得QF=3.6，

即花壇RECF的面積為13.44m2.

點(diǎn)評(píng)：求出RP的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.