張偉俊

再現(xiàn)真實(shí)過(guò)程重在思維提升
——“函數(shù)（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

張偉俊

一、教材分析

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一，是在數(shù)、式、方程、不等式、平面直角坐標(biāo)系等內(nèi)容的基礎(chǔ)上展開的，同時(shí)也是學(xué)生后繼學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

八年級(jí)學(xué)生看問(wèn)題往往是局部的、靜止的，不善于把抽象概念與具體事例聯(lián)系起來(lái)。學(xué)生之前學(xué)的都是常量數(shù)學(xué)，研究對(duì)象多為孤立的、靜止的，引入變量給函數(shù)下定義，顯得抽象、復(fù)雜，因此，本課的教學(xué)應(yīng)重視通過(guò)大量實(shí)例，在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物變化的過(guò)程中有效地滲透、逐步地揭示函數(shù)的本質(zhì)特征。

三、教學(xué)目標(biāo)

了解常量、變量的意義和函數(shù)的概念，能舉出函數(shù)的實(shí)例；經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出函數(shù)概念的過(guò)程，體會(huì)“變化”與“對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，會(huì)判斷函數(shù)關(guān)系；在探索函數(shù)概念的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和事物之間相互聯(lián)系并不斷運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的哲學(xué)思想。

四、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：了解函數(shù)的概念和自變量的意義，會(huì)判斷函數(shù)關(guān)系；難點(diǎn)：從具體實(shí)例中抽象出函數(shù)的本質(zhì)，理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系”。

五、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，明確研究方向。

引例1《名偵探柯南》中有這樣一個(gè)情境：柯南根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的腳印，鎖定疑犯的身高。你知道其中的道理嗎？

引例2北京時(shí)間2013年6月13日13時(shí)18分，天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器與神舟十號(hào)飛船成功實(shí)現(xiàn)自動(dòng)交會(huì)對(duì)接。天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器與神舟十號(hào)飛船為什么能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)交會(huì)對(duì)接呢？

設(shè)計(jì)意圖：從生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生意識(shí)到研究“變量”的必要性和重要性。同時(shí)有意識(shí)地指明“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”的研究思路，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

2.初步感受變化，引入變量概念。

實(shí)例1電影院以20元每張的票價(jià)出售電影票，在售票的過(guò)程中，涉及哪些量？其中，哪些量沒(méi)有變化？哪些量不斷變化？

實(shí)例2一輛列車勻速?gòu)某Ｖ蓠傁蚰暇?，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，涉及哪些量？其中，哪些量沒(méi)有變化？哪些量不斷變化？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生初步感受生活中的變化，體會(huì)不變的量和變化的量，引進(jìn)常量和變量的概念。

3.探究變化規(guī)律，提煉函數(shù)模型。

實(shí)例3新中國(guó)成立以來(lái)，我國(guó)已經(jīng)進(jìn)行了六次人口普查。下表是我國(guó)六次人口普查的人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表。

（1）在這一變化過(guò)程中，有幾個(gè)變量？（2）1953年，中國(guó)人口數(shù)為多少？2010年，中國(guó)人口數(shù)為多少？（3）在這一變化過(guò)程中，變量之間有怎樣的依存關(guān)系？

實(shí)例4在一根彈簧的下端懸掛重物，在彈簧的彈性限度內(nèi)，每1kg重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm。彈簧原長(zhǎng)10cm，設(shè)重物質(zhì)量為mkg,受力后的彈簧長(zhǎng)度為lcm。

（1）在這一變化過(guò)程中，有幾個(gè)變量？（2）你能用m表示l嗎？當(dāng)m=1時(shí)，l為多少？當(dāng)m=3時(shí)，l為多少？（3）在這一變化過(guò)程中，變量之間有怎樣的依存關(guān)系？

實(shí)例5某地一天的氣溫變化如下圖。

（1）在這一變化過(guò)程中，有幾個(gè)變量？（2）任意給出某一時(shí)刻t，你能說(shuō)出這一時(shí)刻的氣溫T嗎？（3）在這一變化過(guò)程中，變量之間有怎樣的依存關(guān)系？

思考：上述的3個(gè)變化過(guò)程有什么共同點(diǎn)？

先小組交流，再大班展示，最后師生共同總結(jié)出3個(gè)要點(diǎn)：1個(gè)變化過(guò)程、2個(gè)相關(guān)變量、單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：借助表格、表達(dá)式、圖像這3種形式的典型實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“在每個(gè)變化過(guò)程中，兩個(gè)變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”，為提煉函數(shù)概念做好準(zhǔn)備。

4.界定函數(shù)概念，剖析函數(shù)表述。

教師首先規(guī)范表達(dá)函數(shù)定義，讓學(xué)生嘗試復(fù)述，緊扣“關(guān)鍵詞”，引導(dǎo)學(xué)生真正理解兩個(gè)變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。然后，舉例說(shuō)明函數(shù)概念：

（1）在一個(gè)變化過(guò)程中，變量x、y之間滿足y=x2。①y是x的函數(shù)嗎？為什么？②x是y的函數(shù)嗎？為什么？

（2）小明說(shuō)：“正方體的棱長(zhǎng)為a，正方形的體積v是a的函數(shù)?！毙×琳f(shuō)：“長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為a，寬為b，高為4，長(zhǎng)方形的體積v是a的函數(shù)?！彼麄冋f(shuō)得正確嗎？為什么？仿照范例，自己編一個(gè)表示函數(shù)關(guān)系的實(shí)例。（學(xué)生先獨(dú)立完成，再小組交流，最后展示。）

設(shè)計(jì)意圖：在提煉實(shí)例共同點(diǎn)的基礎(chǔ)上，引進(jìn)函數(shù)模型，并通過(guò)從正反兩方面舉例的方式引導(dǎo)學(xué)生初步理解函數(shù)的概念。

5.介紹函數(shù)歷史，促進(jìn)理解函數(shù)。

教師向?qū)W生介紹“函數(shù)”一詞的來(lái)源。

設(shè)計(jì)意圖：促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，激發(fā)學(xué)生的研究興趣。

6.精心剖析例題，鞏固函數(shù)概念。

例1用一根1m長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形。（1）當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為0.1m時(shí)，長(zhǎng)為多少？（2）當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為0.2m時(shí)，長(zhǎng)為多少？（3）當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為am時(shí)，長(zhǎng)為多少？（4）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)y(m)是寬x(m)的函數(shù)嗎？為什么？

例2根據(jù)表格中的信息，回答問(wèn)題。

x y x y 1 2 3 4 5 6 7 1.0 8 1.5 1.0 9 1.5 1.0 10 1.8 1.0 11 2.0 1.2 12 2.0 1.2 13 2.5 1.5 14 2.5

其中，x表示乘公交車的站數(shù)（站），y表示相應(yīng)的票價(jià)（元）。（1）y是x的函數(shù)嗎?為什么？（2）x是y的函數(shù)嗎?為什么？

變式：在國(guó)內(nèi)投寄平信應(yīng)付郵資如下表。

4 0＜m≤6 0 1 . 6 0信件質(zhì)量m郵資y 0＜m≤2 0 0 . 8 0 2 0＜m≤4 0 1 . 2 0

郵資y（元）是信件質(zhì)量m（克）的函數(shù)嗎?為什么？

例3（延伸拓展）在下列表示關(guān)于y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖像中，哪些可以看成y是x的函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)典型例題的精心剖析，在表達(dá)式、表格、圖像等3種不同的背景下，引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)關(guān)系，內(nèi)化對(duì)函數(shù)概念的理解。

7.課堂回顧總結(jié)，暢談學(xué)習(xí)感悟。

8.分層布置作業(yè)，促進(jìn)分層提高。

六、教學(xué)反思

面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念，我的教學(xué)主張是要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式，讓概念教學(xué)成為過(guò)程教學(xué)，而不是告知式的結(jié)果教學(xué)。因此，本節(jié)課以大量的生活實(shí)例為素材，按照“問(wèn)題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開，充分展現(xiàn)了函數(shù)概念的形成與應(yīng)用過(guò)程，并努力在函數(shù)概念引入、形成、表述、解釋、應(yīng)用的過(guò)程中，讓學(xué)生了解函數(shù)模型、體會(huì)數(shù)學(xué)思想、感受數(shù)學(xué)文化。

1.目標(biāo)的呈現(xiàn)，彰顯現(xiàn)實(shí)需要。

通過(guò)對(duì)柯南破案和太空之“吻”兩個(gè)實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究變量之間關(guān)系的必要性，并類比方程的研究思路，明確運(yùn)用“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”的思路研究變量之間的關(guān)系。

2.概念的引入，凸顯共同屬性。

從具體情境到數(shù)學(xué)知識(shí)的形式化，需要教師為學(xué)生搭建合適的“腳手架”，提出能引發(fā)學(xué)生思考的問(wèn)題。在具體情境的探究過(guò)程中，我通過(guò)問(wèn)題串的形式，讓學(xué)生的思維不斷聚焦并逐步意識(shí)到，從宏觀上看，探究的總體框架是1個(gè)變化過(guò)程、2個(gè)相關(guān)變量、1種對(duì)應(yīng)關(guān)系；從微觀上看，在認(rèn)識(shí)常量和變量后，集中精力探究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系——單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。概念的形成是一個(gè)積累、漸進(jìn)的過(guò)程，在這樣一種指向明確的探究過(guò)程中，學(xué)生不斷地思考提煉，有利于讓概念成為學(xué)生主動(dòng)思維的結(jié)果。

3.概念的形成，體現(xiàn)親切自然。

學(xué)生從大量的同類事物的不同例證中，抽象出兩個(gè)變量之間關(guān)系的“共同屬性”后，為了表示這樣的“兩個(gè)變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”，很自然地就引進(jìn)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型“函數(shù)”。這樣的概念不是教師講出來(lái)的，而是靠學(xué)生自己去感悟、體驗(yàn)出來(lái)的，顯得親切自然。

4.概念的理解，抓住關(guān)鍵字詞。

函數(shù)概念是一個(gè)比較抽象的概念，學(xué)生理解有困難。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生抓住“每一個(gè)值”“唯一的值”“對(duì)應(yīng)”等關(guān)鍵詞，再結(jié)合數(shù)學(xué)史、具體實(shí)例進(jìn)行解讀，能收到化難為易的效果。

5.概念的應(yīng)用，回歸本質(zhì)理解。

學(xué)習(xí)函數(shù)概念的根本目的是讓學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)生活中變化的事物，能識(shí)別具體情境中的函數(shù)關(guān)系。在函數(shù)概念的應(yīng)用環(huán)節(jié)，通過(guò)大量的正反例和變式訓(xùn)練，反復(fù)讓學(xué)生進(jìn)行分析、比較、鑒別、歸納，揭示函數(shù)概念的本質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解。

在這節(jié)課的教學(xué)中，我試圖從“追求思路自然、再現(xiàn)真實(shí)過(guò)程”和“立足方法引領(lǐng)、重在思維提升”兩個(gè)方面立意，力爭(zhēng)讓每一個(gè)學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，學(xué)習(xí)興趣得到提升，研究方法得到優(yōu)化，數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展。