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        淺談兩個(gè)重要極限的應(yīng)用型教學(xué)

        2017-06-22 13:53:28孫芳菲
        山西農(nóng)經(jīng) 2017年8期
        關(guān)鍵詞:底數(shù)陜西一致性

        □孫芳菲

        (陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽(yáng) 712046)

        淺談兩個(gè)重要極限的應(yīng)用型教學(xué)

        □孫芳菲

        (陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽(yáng) 712046)

        兩個(gè)重要極限在高等數(shù)學(xué)中占著非常重要的位置,不僅是函數(shù)求極限的一種方法,而且它的應(yīng)用思想——湊形式,在以后的教學(xué)中將會(huì)被廣泛應(yīng)用。本文主要講述這兩個(gè)重要極限的推廣型與應(yīng)用性,對(duì)于第一個(gè)極限的應(yīng)用(型)在湊形式時(shí)要保證變量的一致性和變量趨于零,對(duì)于第二個(gè)極限的應(yīng)用(1∞型)在湊形式時(shí)要抓兩點(diǎn)“:1+”和“互倒”。

        重要極限;湊形式;型;1∞型

        1 第一個(gè)重要極限

        此極限公式的推導(dǎo)依據(jù)是應(yīng)用極限存在第一準(zhǔn)則——夾逼準(zhǔn)則,各類高等數(shù)學(xué)教材上對(duì)于此推導(dǎo)過(guò)程都有詳細(xì)的講解[1],故此處不再詳述。不過(guò),在此推導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)的相對(duì)重要的幾個(gè)性質(zhì)應(yīng)不容忽視。分別是:

        而在本篇文章里,主要是詳細(xì)解說(shuō)一下此極限公式的推廣與應(yīng)用。

        1.1 形式的推廣

        從上例中不難看出,如果分子中三角函數(shù)sin后面的變量形式u(x)與分母的變量形式一致且u(x)→0,可采用變量代換思想轉(zhuǎn)化為第一個(gè)重要極限從而求出其結(jié)果,即極限形式的推廣形為:

        上述推廣形中一定要保證兩點(diǎn):u(x)的形式一致性、u(x)→0,尤其是最后一個(gè),是一些學(xué)生容易忽略的。

        1.2 形式的應(yīng)用

        分析:x→0時(shí)x2→0,cosx→1,1-cosx→0,故為型且含有三角函數(shù),因此不妨應(yīng)用半角公式轉(zhuǎn)化為正弦類型,再湊推廣形。

        2 第二個(gè)重要極限

        同樣,此極限的推導(dǎo)依據(jù)是極限存在準(zhǔn)則——單調(diào)有界準(zhǔn)則[1],這里也同樣不再詳述,我們主要關(guān)注此極限公式的推廣與應(yīng)用。

        2.1 形式的推廣

        首先,不難看出此極限類型:底數(shù)為1+無(wú)窮小量,冪次部分為無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱1∞型。且底數(shù)形式中有“1+”,“1+”后的變量與冪次變量“互倒”,抓住這三點(diǎn),就不難得出其推廣形式。其推廣形的抽象概括形式為:

        在這里,學(xué)生易把此極限類型與其他相似型(如(1+無(wú)窮小量)α型)混淆,從而得出結(jié)果為1的錯(cuò)誤答案,例如(α為任意常數(shù))??傊?,對(duì)此類極限一定要注意其型,然后根據(jù)相應(yīng)的型來(lái)解決。

        2.2 形式的應(yīng)用

        分析:為1∞型,在構(gòu)造推廣形時(shí)抓兩點(diǎn):“1+”與“互倒”。

        從上面兩個(gè)例子中可以看出,一旦湊出底數(shù)的“1+”和冪次部分滿足與底數(shù)“1+”后面部分互為倒數(shù),那么此種形式的極限值一定存在,且為自然對(duì)數(shù)e。而且不難發(fā)現(xiàn),兩個(gè)例子中最后湊出的最外部?jī)绱尾糠譃槌?shù),利用極限的四則運(yùn)算就可得到結(jié)果。

        但是,在實(shí)際應(yīng)用中,不乏會(huì)出現(xiàn)最外部?jī)绱尾糠譃楹瘮?shù)的形式,此時(shí)應(yīng)該怎么辦呢?這里,由函數(shù)的連續(xù)性我們可得到如下定理:

        定理[1]:對(duì)于形如u(x)v(x)(u(x)>0,u(x)≠1)的函數(shù)(通常稱為冪指函數(shù)),在同一自變量變化過(guò)程中,如果有

        通俗來(lái)說(shuō),對(duì)冪指函數(shù)求極限,就是對(duì)底數(shù)和冪次分別求極限。但要注意底數(shù)的極限值必須大于零。

        總之,無(wú)論什么樣的形式,只要抓住三點(diǎn),首先判定是1∞型,在應(yīng)用第二個(gè)重要極限構(gòu)造湊形式時(shí)一定要保證底數(shù)部分的“1+”以及冪次和“1+”后面量的“互倒”,然后應(yīng)用冪指函數(shù)求極限或者冪次函數(shù)求極限,那么問(wèn)題就迎刃而解了。

        對(duì)于兩個(gè)重要極限的應(yīng)用,湊形式是很有用的方法,不僅在本文這里,在后面導(dǎo)數(shù)的求解、積分的求解中應(yīng)用性都非常廣泛。對(duì)于型且含三角類型的,要保證變量一致性和變量趨于零,對(duì)于1∞型,要保證底數(shù)“1+”和底數(shù)和冪次變量“互倒”。

        1004-7026(2017)08-0114-02

        O13;G642

        A

        10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.08.089

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