李超華 熱買提江 岳仲謀 吳喜洋

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

方 偉

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234；上海市星系和宇宙學(xué)半解析研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200234)

基于Tracker軟件的馬格努斯滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)分析

李超華 熱買提江 岳仲謀 吳喜洋

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

方 偉

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234；上海市星系和宇宙學(xué)半解析研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200234)

利用Tracker視頻分析軟件對馬格努斯滑翔機(jī)的軌跡進(jìn)行描述，并通過逐幀分析確定滑翔機(jī)角速度隨時(shí)間演化的關(guān)系式，進(jìn)而通過建立理論模型推導(dǎo)出滑翔機(jī)的軌跡公式，使得不易直接測量的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)更加可操縱和量化；手機(jī)、數(shù)碼設(shè)備的普遍化使得學(xué)生能夠隨時(shí)隨地拍視頻，Tracker軟件給學(xué)生的物理實(shí)驗(yàn)研究帶來了便利.

馬格努斯效應(yīng) Tracker 角速度

1 引言

1.1 馬格努斯效應(yīng)研究現(xiàn)狀

當(dāng)流體在橫向流過一個(gè)繞著自己的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱體時(shí)，類似于繞翼型的環(huán)量也要產(chǎn)生(由于粘性的作用)，并且在這種情形下產(chǎn)生一個(gè)橫向力(圖1)，它的量值在流動(dòng)的垂直方向的每單位長度圓柱上是ρτv(ρ代表滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)的空氣密度，τ代表滑翔機(jī)周圍流體產(chǎn)生的環(huán)量，v代表滑翔機(jī)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度).這種力的方向總是從來流與環(huán)量流動(dòng)的方向是相反的那一邊指向是相同的另一邊．這個(gè)現(xiàn)象就以其發(fā)現(xiàn)者馬格努斯(1852年)為名，稱為馬格努斯效應(yīng)[1].

圖1 馬格努斯效應(yīng)示意圖

近些年來，不斷有研究者圍繞馬格努斯效應(yīng)的力學(xué)模型以及各方面的應(yīng)用進(jìn)行研究.大部分是從伯努利原理出發(fā)研究馬格努斯效應(yīng)的受力機(jī)制或是直接對物體進(jìn)行受力分析研究其運(yùn)動(dòng)的軌跡[2～6].由于條件限制均沒有考慮空氣阻力下角速度的變化.本文的創(chuàng)新之處在于建立理論模型時(shí)不僅考慮到空氣阻力對馬格努斯滑翔機(jī)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響，也考慮了空氣阻力對滑翔機(jī)轉(zhuǎn)速的衰減作用.除了理論模型與實(shí)際更接近之外，本文中我們引入了可進(jìn)行視頻分析的Tracker軟件.基于實(shí)驗(yàn)的前提，我們利用Tracker軟件對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行了分析，試圖從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面對馬格努斯滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行詳盡討論.

1.2 Tracker軟件研究背景

Tracker軟件是由國外設(shè)計(jì)的應(yīng)用于物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一個(gè)免費(fèi)視頻分析軟件，其主要功能是對視頻中物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，特別是為物理實(shí)驗(yàn)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型，如自由落體運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)、單擺等的研究提供了極大的便利.

國內(nèi)已經(jīng)有一些學(xué)者利用Tracker軟件來研究物理問題，如文獻(xiàn)[7]利用Tracker測量液體粘度來減少實(shí)驗(yàn)中的誤差；文獻(xiàn)[8]用它來分析氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子的阻尼運(yùn)動(dòng)，利用軟件自帶的功能擬合出振動(dòng)曲線方程和包絡(luò)線方程，從而計(jì)算出氣墊導(dǎo)軌的阻尼常數(shù)；文獻(xiàn)[9]以拋體運(yùn)動(dòng)和簡諧運(yùn)動(dòng)為例分析了Tracker軟件在物理教學(xué)中功能——幫助學(xué)生探尋規(guī)律、輔助實(shí)驗(yàn)觀察與教學(xué)以及研究性學(xué)習(xí)的有力工具；文獻(xiàn)[10]則更為詳細(xì)地解釋了Tracker軟件的特點(diǎn)、使用方法和教學(xué)中的應(yīng)用，為更多有興趣使用Tracker的人提供了便利.本文要研究的馬格努斯滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)之前沒有人利用Tracker軟件研究過.

2 用tracker軟件分析馬格努斯滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)

2.1 馬格努斯滑翔機(jī)的制作及拍攝

馬格努斯滑翔機(jī)的做法是把兩個(gè)一次性杯子杯底對杯底粘在一起，本實(shí)驗(yàn)用的杯子是白色的紙杯，為了方便后面觀察分析滑翔機(jī)的角速度，特意把一個(gè)杯子的一面涂成了紅色，如圖2所示.拿一根有彈性的皮筋繞在滑翔機(jī)的中心，留下橡皮筋的一端用手拉住，另一只手握住馬格努斯滑翔機(jī).水平拉長橡皮筋后釋放滑翔機(jī)，滑翔機(jī)便會(huì)旋轉(zhuǎn)著飛出去，其運(yùn)動(dòng)軌跡是先上升到一定高度再斜向下落.

圖2 馬格努斯滑翔機(jī)

拍攝滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)視頻時(shí)，要注意從兩個(gè)角度同時(shí)拍攝.一是釋放前開始從側(cè)面拍攝滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡；二是從釋放前開始正面拍攝滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)，前者用來描繪運(yùn)動(dòng)軌跡，后者用來測定角速度的衰變.

2.2 Tracker軟件對馬格努斯滑翔機(jī)的分析過程

2.2.1 對滑翔機(jī)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)分析

把側(cè)面拍攝的滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)視頻導(dǎo)入Tracker軟件，把視頻中的黑板的長度定為已知尺寸，經(jīng)測量黑

板長度為3 m，在工具欄選取創(chuàng)建—Calibration Tools—定標(biāo)尺，把定標(biāo)尺起始點(diǎn)與黑板下底邊兩端點(diǎn)對齊，單擊定標(biāo)尺上的數(shù)字刪除并輸入數(shù)字3，到此比例標(biāo)度得以確定.

第二步建立直角坐標(biāo)系，以滑翔機(jī)開始運(yùn)動(dòng)的位置為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)視頻拍攝角度微調(diào)坐標(biāo)系，使坐標(biāo)系橫軸與視頻中黑板的長邊平行.接下來拉動(dòng)視頻播放進(jìn)度條觀察滑翔機(jī)開始飛行的時(shí)間點(diǎn)，并把它設(shè)置為起始幀，視頻結(jié)束時(shí)的一幀設(shè)置為結(jié)束幀.創(chuàng)建質(zhì)點(diǎn)模型，以滑翔機(jī)的中心為質(zhì)點(diǎn)對象對滑翔機(jī)進(jìn)行逐幀標(biāo)記，質(zhì)點(diǎn)軌跡的形狀和顏色都可以自由選擇.

把每一幀都標(biāo)記后，滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)的軌跡便可以清晰地顯示出來，如圖3所示，同時(shí)在軟件界面右下角會(huì)顯示滑翔機(jī)每幀定格時(shí)對應(yīng)的時(shí)間t，坐標(biāo)x和坐標(biāo)y的數(shù)據(jù)表格.利用軟件中的速度矢量功能，點(diǎn)擊顯示速度矢量，可以看到軟件計(jì)算出的每一點(diǎn)的速度大小(圖4)，本次實(shí)驗(yàn)中滑翔機(jī)的初速度大小v1=5.713 m/s.

圖3 Tracker軟件標(biāo)記的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 Tracker軟件分析結(jié)果一覽圖

2.2.2 對滑翔機(jī)的正面運(yùn)動(dòng)分析

把正面拍攝滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)的視頻導(dǎo)入Tracker軟件中，選取滑翔機(jī)開始運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)(在開始運(yùn)動(dòng)的幾幀中選取容易觀察辨別的位置)，對滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行逐幀分析，記下滑翔機(jī)每轉(zhuǎn)一圈的幀數(shù).本實(shí)驗(yàn)中以78幀為起點(diǎn)，120幀為終點(diǎn)，幀率為29.97 /s，幀間間隔為0.033 s，這一過程中滑翔機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期發(fā)生了兩次變化，以78幀時(shí)為零時(shí)刻計(jì)算.

具體分析如表1所示.

表1 滑翔機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)周期與轉(zhuǎn)速

利用Excel表格對t中間和角速度進(jìn)行處理，以x軸為時(shí)間t，y軸為角速度ω建立坐標(biāo)系并描點(diǎn)(圖5)，分別添加線性趨勢線和指數(shù)趨勢線，對比可以發(fā)現(xiàn)角速度隨時(shí)間的變化關(guān)系更接近于指數(shù)關(guān)系，并且指數(shù)函數(shù)為ω=69.532e-0.5t.

圖5 角速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系

3 根據(jù)原理推導(dǎo)馬格努斯滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡公式

馬格努斯滑翔機(jī)基于兩個(gè)原理：一是馬格努斯效應(yīng)(前面已指出)；二是伯努利原理，也就是流體的機(jī)械能守恒，動(dòng)能+重力勢能+壓力勢能=常數(shù).我們可以把馬格努斯滑翔機(jī)看作是一個(gè)圓柱體，則此圓柱體繞自身軸線旋轉(zhuǎn)并且有流體在垂直于該軸線方向流過時(shí)，受到一個(gè)垂直于流動(dòng)方向的橫向力[4].這個(gè)力叫做馬格努斯力，也稱為升力.

給滑翔機(jī)一水平速度并使其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則在滑翔機(jī)周圍流體中將會(huì)產(chǎn)生環(huán)量Γ=∮cv流·dl，若滑翔機(jī)質(zhì)心的速度為v，周圍的空氣密度為ρ，空氣速度為零，由運(yùn)動(dòng)的相對性，滑翔機(jī)單位長度上的升力大小FM=ρvΓ，則長度為h的滑翔機(jī)受到升力的大小FM=ρhvΓ，賦予上式中升力方向，因其與滑翔機(jī)質(zhì)心速度v和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω均垂直，判斷滑翔機(jī)所受升力的方向?yàn)榻撬俣圈嘏c質(zhì)心速度v叉乘的方向，表示為

其中k表示角速度的方向[2].

對滑翔機(jī)側(cè)面圖建模，看作一個(gè)圓面，對其進(jìn)行受力分析，如圖6所示，考慮空氣粘滯阻力Fd的作用，速度大小為v，方向與x軸正方向成θ角時(shí)，滑翔機(jī)受到重力、升力和空氣粘滯阻力的作用.

圖6 滑翔機(jī)受力分析

建立動(dòng)力學(xué)方程式FM+Fd+G=ma,則有

(1)

其中

FM=ρhvΓ=ρhv∮v流·dl=2πr2hρvω

(2)

式中h表示滑翔機(jī)的線度.

滑翔機(jī)在空氣中受到的粘滯阻力與無量綱雷諾系數(shù)相關(guān)，當(dāng)雷諾系數(shù)Re小于1時(shí)，空氣粘滯阻力可以用斯托克斯公式

f=6πηrv

表示,當(dāng)雷諾系數(shù)Re≈103～105時(shí)，空氣粘滯阻力可以用公式

表示,其中Cd是曳引系數(shù)，ρ為空氣密度，v為滑翔機(jī)質(zhì)心速度，S為滑翔機(jī)迎風(fēng)面面積，雷諾系數(shù)[11,12]

查詢資料可知，室溫條件下，空氣密度約為ρ=1.23 kg/m3，空氣的粘性系數(shù)η=1.82×10-5Pa·s，d為滑翔機(jī)的直徑，經(jīng)測量計(jì)算為0.031 75 m，滑翔機(jī)在空氣中飛行的速度在5～8 m/s，所以雷諾系數(shù)

在103～105范圍內(nèi)，因此滑翔機(jī)受到的空氣阻力為

(3)

負(fù)號(hào)表示與速度方向相反.

把式(2)、(3)代入式(1)中的兩式得

(4)

令

又

則式(4)變?yōu)?/p>

(5)

4 確定參數(shù)求出軌跡方程

測量一次性杯子的上下底半徑、高度和質(zhì)量分別如表2所示.

表2 滑翔機(jī)自身參數(shù)測量數(shù)據(jù)

馬格努斯滑翔機(jī)是由兩個(gè)杯子對底粘在一起，所以其長度

l=2h=0.17 m

半徑

滑翔機(jī)質(zhì)量

M=2m=0.02 kg

面積

拍攝視頻時(shí)的溫度約為14 ℃，所以空氣密度約為1.23 kg/m3.將以上參數(shù)代入滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程中,求出B和γ的數(shù)值，即

又ω=69.532e-0.5t,所以軌跡方程為

(6)

5 用Maple軟件驗(yàn)證求出的軌跡方程

將求出的軌跡方程(6)輸入到Maple軟件中，反求此方程組的軌跡圖像，結(jié)果如圖7所示.

圖7 用Maple軟件描繪的軌跡圖像

從圖像7中可以看出用所求軌跡方程(6)描繪的圖像與實(shí)際軌跡圖像(圖8)已經(jīng)非常貼近，證實(shí)了用Tracker軟件得出的角速度和考慮空氣阻力下推導(dǎo)出來的馬格努斯滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡具有高度的合理性.但是由于測量誤差以及拍攝視頻所用攝像機(jī)的像素不夠高等原因仍存在偏差，若使用高頻攝像機(jī)和更加精細(xì)的測量工具，相信能得到更加符合實(shí)際的軌跡圖像.

圖8 Tracker軟件描繪的實(shí)際軌跡圖像

6 結(jié)束語

本文通過實(shí)驗(yàn)的方法來研究馬格努斯滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)，主要工作在于利用視頻分析軟件Tracker，對實(shí)驗(yàn)同時(shí)拍攝的兩種視頻進(jìn)行逐幀分析，找出角速度隨時(shí)間衰變的關(guān)系式和馬格努斯滑翔機(jī)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡；考慮了滑翔機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的阻力，并確定阻力的適用方程；通過建立力學(xué)模型推導(dǎo)出滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程；最后利用數(shù)學(xué)軟件Maple畫出所求軌跡方程的曲線，來驗(yàn)證理論分析的正確性.經(jīng)驗(yàn)證，本文中用理論推導(dǎo)出來的馬格努斯滑翔機(jī)軌跡方程所描繪的運(yùn)動(dòng)路徑與實(shí)際路徑非常接近吻合.本研究的實(shí)際意義在于利用Tracker軟件作為聯(lián)系理論與實(shí)驗(yàn)兩方面的橋梁，鍛煉中學(xué)生和大學(xué)生在理論建模、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與操作、數(shù)據(jù)處理與分析等全方位的能力.這樣的思路可以用來設(shè)計(jì)開放式、創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)，在培養(yǎng)學(xué)生的物理核心素養(yǎng)、鍛煉學(xué)生能力方

面起到積極的作用.同時(shí),我們的工作為馬格努斯效應(yīng)的研究提供了一種更為高效便利的研究方法，并且考慮了空氣阻力對馬格努斯滑翔機(jī)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩方面的影響，使得理論的建模與實(shí)際情況更為接近，具有一定的參考意義.

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AnalysisontheMotionofMagnusGliderBasedonTrackerSoft

LiChaohuaReMaitijiangYueZhongmouWuXiyang

(MathematicalandPhysicalCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234)

FangWei

(MathematicalandPhysicalCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234;ShanghaiKeyLabforAstrophysics,Shanghai200234)

This manuscript describes Magnus glider trajectory by using Tracker (a video analysis software), and finds out the relation of the glider angular velocity evolving with time through the frame by frame analysis , then deduces glider trajectory formula through the establishment of theoretical model, which makes the dynamic data that is difficult to measure directly be manipulated and quantitative; Mobile digital devices of generalization enables the students to shoot video at what time and under what circumstances, Accordingly, Tracker brings facilitation students to do physical experiment research.

Magnus effect; Tracker; angular velocity

李超華(1989- )，女，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)閷W(xué)科教學(xué)(物理).

方偉(1981- )，男，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事天體物理、宇宙學(xué)及物理教學(xué)與課程論方面的研究.

2016-11-24)