李 潔 梁冬梅 羅志榮

(玉林師范學院物理科學與工程技術(shù)學院 廣西 玉林 537000)

MATLAB在質(zhì)點運動軌跡中的應(yīng)用*

李 潔 梁冬梅 羅志榮

(玉林師范學院物理科學與工程技術(shù)學院 廣西 玉林 537000)

在物理教學中，質(zhì)點運動軌跡問題是一個常見的問題.根據(jù)質(zhì)點的運動方程，應(yīng)用Matlab軟件的繪圖功能繪制出質(zhì)點的運動軌跡，能夠讓學生更容易理解和掌握物理規(guī)律，領(lǐng)會其中的奧妙.

質(zhì)點 運動軌跡 Matlab

物理學中，質(zhì)點是一個比較普遍的研究對象，有些質(zhì)點的運動方程比較復雜，學生難以根據(jù)運動方程構(gòu)建質(zhì)點的空間運動軌跡.本文對質(zhì)點的運動軌跡問題進行分析討論，應(yīng)用Matlab描繪出質(zhì)點的運動軌跡.Matlab軟件具有功能強大、簡單易學、界面友好、圖像清晰直觀等特點，在工程計算、數(shù)值分析領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用[1].在大學物理教學中應(yīng)用Matlab來輔助教學，不僅可以將抽象問題形象化，而且能夠增強學生對物理的直觀感性認識，激發(fā)學生的學習興趣，提高教學效果[2,3].

1 應(yīng)用實例

案例1：在光滑水平面上有一個半徑為R，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)，在環(huán)內(nèi)壁有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點做無摩擦的滑動(M>m).以環(huán)心O為原點，如圖1所示，建立xOy固定地面坐標系.開始時，圓環(huán)靜止，質(zhì)點位于(0，R)處，速度沿x軸正方向，大小為v0.求該質(zhì)點、環(huán)心在固定地面坐標系xOy，以及質(zhì)點相對于環(huán)心的運動軌跡[4].

圖1 光滑水平面上的圓環(huán)

題意分析：圓環(huán)質(zhì)量分布均勻，可看成質(zhì)量集中于O點.圓環(huán)和質(zhì)點組成的質(zhì)心系的質(zhì)心C到O的距離為rC，質(zhì)點和環(huán)心到質(zhì)心的距離為rm和rM，有

(1)

根據(jù)動量守恒得

(M+m)vC=mv0

(2)

式中，vC是系統(tǒng)的質(zhì)心速度.

整個系統(tǒng)不受水平外力的作用，根據(jù)角動量定理，可得環(huán)心和質(zhì)點繞質(zhì)心C的角速度ω為

(3)

根據(jù)式(1)～(3)，可求得質(zhì)點、環(huán)心在固定地面坐標系xOy及質(zhì)點相對于環(huán)心的運動方程，它們分別為

(4)

(5)

(6)

根據(jù)式(4)～(6)，取m=10 kg，M=20 kg，v0=5 m/s，R=5 m，ω=1 rad/s，利用Matlab編程可得質(zhì)點運動軌跡y1和環(huán)心運動軌跡y2，如圖2所示，質(zhì)點相對于環(huán)心的運動軌跡，如圖3所示.

圖2 質(zhì)點和環(huán)心的運動軌跡

圖3 質(zhì)點相對于環(huán)心的運動軌跡

由圖2可見，質(zhì)點、環(huán)心做周期運動.應(yīng)用Matlab進行數(shù)值模擬可直接求得當x=10.472 0 m時，質(zhì)點、環(huán)心剛好運動了一個周期.質(zhì)點從x=0開始運動，到達最低點后，沿著關(guān)于x=5.236 0 m對稱的軌跡繼續(xù)運動，完成一個周期.環(huán)心從x=0開始運動，在一個周期內(nèi)，隨著x的增大，y2先增大后減小.由圖3可見，質(zhì)點相對于環(huán)心的運動軌跡是一個圓.

案例2：如圖4所示，質(zhì)點A做半徑為R的勻速圓周運動，角速度為ω1，質(zhì)點B繞質(zhì)點A做半徑為r的勻速圓周運動，角速度為ω2，求質(zhì)點B在xOy坐標系中的運動軌跡[5].

圖4 質(zhì)點B繞質(zhì)點A做勻速圓周運動

題意分析：質(zhì)點B繞質(zhì)點A做勻速圓周運動，質(zhì)點A又繞O做勻速圓周運動，得質(zhì)點B在xOy坐標系中的運動方程為

(7)

(a)R=10 m,r=10 m

(b)R=10 m,r=5 m圖5 質(zhì)點B的運動軌跡

此外，當ω1與ω2比值不同時，質(zhì)點的回旋個數(shù)也不同.此情況下質(zhì)點B的運動軌跡如圖6所示.圖6(a)、(b)、(c)中質(zhì)點回旋個數(shù)分別為2，5，6.可見，質(zhì)點的回旋個數(shù)等于角速度比之差的絕對值.

圖5和圖6中質(zhì)點的軌跡還可以在Matlab的figure窗口做動態(tài)演示.只需在Matlab的Command Window中改變參數(shù)ω1，ω2，R，r的值，就可得到質(zhì)點B不同的運動軌跡，從而探究質(zhì)點的運動規(guī)律.

(a)ω1∶ω2=1∶3

(b)ω1∶ω2=1∶6

(c)ω1∶ω2=1∶7圖(a)、(b)R=10 m,r=10 m;圖(c)R=10 m,r=5 m圖6 ω1與ω2比值不同時質(zhì)點B的運動軌跡

案例3：兩相互垂直的簡諧振動的運動學方程為x=A1cos(ω1t+α1)，y=A2cos(ω2t+α2)，若質(zhì)點同時參與上述二振動，求質(zhì)點的運動軌跡[7].

題意分析：已知質(zhì)點的二分振動運動學方程為

(8)

式(8)中，取A1=2 m，A2=3 m，利用Matlab編程可得質(zhì)點的運動軌跡，如圖7所示的李薩如圖.由圖7(a)、(c)可見，當初相位差α1-α2相同，ω1與ω2不同時,質(zhì)點的運動軌跡變得復雜.由圖7(b)可見，α1-α2=0時，改變ω1和ω2的值可得質(zhì)點不同的運動軌跡.

可見，該質(zhì)點運動軌跡曲線與初相位差和角速度密切相關(guān).

(a)ω1=ω2=1

(b)α1-α2=0

(c)初相位差及ω1，ω2均不同圖中ω1和ω2的單位為rad/s圖7 不同情況下質(zhì)點的運動軌跡

2 總結(jié)

由上述案例分析可見，根據(jù)質(zhì)點的運動方程，利用Matlab強大的繪圖功能，可以繪制出質(zhì)點的運動軌跡曲線.同時也可以在Matlab的figure窗口做動態(tài)演示，進一步探討質(zhì)點運動軌跡中的規(guī)律.在物理教學中應(yīng)用Matlab來輔助教學，通過形象的圖形將抽象問題直觀化，有助于增加學習的趣味性，讓學生更容易理解和掌握物理規(guī)律，領(lǐng)會其中的奧妙.

1 張志涌,楊祖櫻.MATLAB教程.北京:北京航空航天大學出版社,2010

2 周小奮.Matlab在中學物理教學中的應(yīng)用初探.物理通報,2011,40(10):68～71

3 魏麗霞,勞家盛,黎雪,等.Matlab在電磁學最值問題中

的應(yīng)用.物理通報,2016,35(9):62～64 4 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程.合肥：中國科學技術(shù)大學出版社,2013.79～81

5 江浩寧,江博淵.參數(shù)方程——“攻克”相對運動的“利器”.物理教學,2016,38(1):16～16

6 姜付錦.月球繞太陽運動軌跡的研究.2011年中國教育學會物理教學專業(yè)委員會年會暨全國物理教學研討會.http://www.pep.com.cn/gzwl/jszx/ztts/2011hybd/2z/201202/t20120223_1102973.htm

7 漆安慎,杜嬋英.普通物理學教程：力學(第3版).北京:高等教育出版社,2012.12

ApplicationonMATLABinParticleMotionTrajectory

LiJieLiangDongmeiLuoZhirong

(CollegeofPhysicsScienceandEngineering,YulinNormalUniversity,Yulin,Guangxi537000)

Particle motion trajectory is a common problem in the physics teaching. This article in accordance with the motion equation of trajectory, by using the drawing function of Matlab, to draw the motion trajectory of particle, so that physics law can be understood and mastered more easily by the students, and then get the secret of it.

particle; motion trajectory; Matlab

*廣西高等教育本科教學改革工程項目，項目編號：2016JGA308；廣西高校大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目，項目編號：201510606165,201510606170

李潔(1997- )，女，在讀本科生，物理專業(yè).

羅志榮(1981- )，男，博士，副教授，主要從事大學物理的教學及材料微觀結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬研究.

2016-10-31)