李涵琪

(江蘇省姜堰第二中學(xué) 江蘇 泰州 225500)

彈簧雙振子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一般性研究
——基于質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的分析

李涵琪

(江蘇省姜堰第二中學(xué) 江蘇 泰州 225500)

1 問(wèn)題的提出

彈簧雙振子是彈簧問(wèn)題中較為復(fù)雜的一類問(wèn)題，以此模型設(shè)置成的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題在大學(xué)自主招生、物理競(jìng)賽中常有涉及.由于其物理過(guò)程非常復(fù)雜、運(yùn)動(dòng)情景難以想象，因而對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力提出了很高的要求.

對(duì)于彈簧雙振子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的分析，目前大部分參考資料都是以質(zhì)心為參考系(非慣性系)，借助于慣性力對(duì)幾種特殊的彈簧雙振子模型的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行分析，并用運(yùn)動(dòng)的合成求振子的運(yùn)動(dòng)方程、速度等物理量，并未對(duì)一般情況下的雙振子問(wèn)題進(jìn)行研究.另外,在用非慣性系分析彈簧雙振子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，要想快速而準(zhǔn)確地確定物體在非慣性系中的平衡位置,以及物體離開平衡位置的位移等相關(guān)物理量時(shí),有一定的難度，且列出的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式也略顯繁瑣，尤其是遇到多個(gè)恒力作用或者振子具有一定的初速度等類型的彈簧雙振子.

那么一般情況下彈簧雙振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是什么？除了應(yīng)用非慣性系，我們能否有其他較為簡(jiǎn)便的方法研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢？

本文擬在地面坐標(biāo)系中，借助于質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理分析一般情況下彈簧雙振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，作為對(duì)以上方法的一個(gè)補(bǔ)充.

2 彈簧雙振子的一般模型

如圖1所示，光滑水平面上有兩個(gè)質(zhì)量分別為mA和mB的物體A和B,兩物體固連在輕質(zhì)彈簧兩端，彈簧的勁度系數(shù)為κ，自由長(zhǎng)度為l0，初始時(shí)刻的長(zhǎng)度為l.物體A和B在恒力FA和FB的作用下分別以初速度vA0和vB0沿水平方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，試分析任一時(shí)刻兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

圖1 彈簧雙振子模型

3 運(yùn)動(dòng)方程的分析

3.1 質(zhì)心位置的確定

建立地面坐標(biāo)系Ox，原點(diǎn)O在A的初始位置.在時(shí)刻t，用xA和xB分別表示A，B兩個(gè)物體的位置，可知

xA(0)=0xB(0)=l

質(zhì)心C的坐標(biāo)

且初始時(shí)刻

初速度

系統(tǒng)的合外力為FA+FB，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知

FA+FB=(mA+mB)aC

結(jié)合初始時(shí)刻，可得

(1)

3.2 振子的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于A，有

(2)

對(duì)于B，有

(3)

將式(3)乘以mA，式(2)乘以mB，并相減，有

-κ(mA+mB)(xB-xA-l0)+mAFB-mBFA

整理得

(4)

應(yīng)用數(shù)學(xué)變換，將上式進(jìn)一步寫成

(5)

令

則式(5)可寫成

這是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，其解可寫作

z=Acos(ωt+φ0)

(6)

其中A和φ0是待定常數(shù)，由初始條件來(lái)決定.

mAxA+mBxB=

(7)

將式(6)與式(7)聯(lián)立，可得A，B兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程分別為

(8)

(9)

下面結(jié)合初始條件來(lái)求A和φ0.

當(dāng)t=0時(shí)，有

即

(10)

又因?yàn)?/p>

vB-vA=-Aωsin(ωt+φ0)

有

vB0-vA0=-Aωsinφ0

(11)

(12)

(13)

以上分析過(guò)程思路清晰、簡(jiǎn)單，而如果在非慣性系中求解上述兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，其分析和運(yùn)算過(guò)程將異常繁瑣，讀者可以一試進(jìn)行比較.

4 速度和加速度的變化規(guī)律

將式(8)和式(9)分別對(duì)時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，即可得到振子的速度和加速度的方程.

下面列舉一例說(shuō)明以上規(guī)律的應(yīng)用.

圖2 例題圖

解析：本題中，F(xiàn)A=EqA，F(xiàn)B=EqB，vA0=vB0=0.

當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)，有

κ(l-l0)=EqB

得

由式(12)和式(13)可得

代入式(8)和式(9)，可得振子的運(yùn)動(dòng)方程為

5 結(jié)束語(yǔ)

以上我們?cè)诘孛孀鴺?biāo)系中用質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理并結(jié)合適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換得出了一般情況下彈簧雙振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，所采用的方法和得到的結(jié)論具有普適性，一般參考資料中所列的只不過(guò)是其中的一些特殊情況而已.

對(duì)于具體問(wèn)題中的彈簧雙振子，我們只需根據(jù)題中所給的條件，代入前面所求的表達(dá)式即可求得振子的運(yùn)動(dòng)方程及相關(guān)物理量.需要注意的是：

(1)此處的地面坐標(biāo)系Ox，原點(diǎn)O在A的初始位置，而非質(zhì)心C處；

(2)如果振子所受的外力、初速度方向與圖1中方向相反，則在計(jì)算時(shí)該外力和初速度應(yīng)取負(fù)值代入.

當(dāng)然，對(duì)于本文所得出的結(jié)論，我們沒有必要去記住其表達(dá)式的具體內(nèi)容，這里僅僅提供一種方法，供讀者參考.

2016-12-07)