王 超 金盈楠 謝 妙 陳英才

(臺州學院物理系 浙江 臺州 318000)

水火箭運動的理論研究

王 超 金盈楠 謝 妙 陳英才

(臺州學院物理系 浙江 臺州 318000)

通過理論推導和數(shù)值計算對水火箭的運動進行了研究，主要討論了水火箭運動過程特征以及初始裝水量對噴水時間、最大速度和最大高度的影響.研究結果有助于水火箭的設計以及獲得最大發(fā)射高度.

水火箭 運動過程 動量定理 最佳裝水量

1 引言

水火箭制作簡單，取材方便，是深受青少年學生喜愛的科技制作項目，同時也是各級青少年科技競賽的常見項目.目前關于水火箭的文獻多集中于火箭的設計、實踐以及相對簡化的理論討論，缺乏對水火箭運動進行深入、全面的理論研究[1～7].本文綜合運用質(zhì)點系力學、流體力學和熱學知識對單級水火箭的運動進行理論討論，并針對火箭加速度、速度、飛行高度隨時間的演化以及最佳裝水量等問題進行數(shù)值計算模擬.研究結果有助于加深對水火箭運動的認識并為實際實驗提供指導.

2 理論推導分析

水火箭主要由整流罩、配重物、推進器(可樂瓶)、瓶塞等部分組成，其結構示意圖如圖1所示.發(fā)射時，首先在推進器內(nèi)裝入一定量水并豎直放置，然后利用充氣泵向推進器充氣，當推進器內(nèi)壓強足夠大時瓶塞和水被高速噴出，同時火箭在反沖作用下開始上升.

①整流罩及配重物；②空氣；③推進器(可樂瓶)； ④水；⑤瓶塞；⑥充氣管圖1 單級水火箭結構示意圖

水火箭的整個上升過程可分為兩個階段，即初期的噴水階段和后期的慣性上升階段.在噴水階段，推進器內(nèi)空氣壓強大于外界大氣壓從而使水不斷噴出，火箭因此受到反沖作用而獲得發(fā)射驅(qū)動力，并在短時間內(nèi)獲得較大的運動速度.在慣性上升階段，火箭停止噴水，并在重力和空氣阻力作用下以噴水階段的末速度為初速度繼續(xù)上升，最終達到最高點.

2.1 噴水階段

t時刻火箭系統(tǒng)的質(zhì)量m可表示為

m=m0+ρS2l

(1)

其中m0表示空火箭(含空推進器和配重物)的質(zhì)量，ρ為水的密度，S2為推進器橫截面積，l為推進器內(nèi)水柱的高度.

t時刻推進器內(nèi)空氣的體積V可表示為

V=(l0-l)S2

(2)

其中l(wèi)0表示推進器的總長度.

在噴水階段，火箭受噴水的推力、重力以及空氣阻力的作用.根據(jù)質(zhì)點系動量定理(取向上為正方向)有[8]

(3)

Fr=0.5Crρ0S2v2

(4)

其中Cr為空氣阻力系數(shù)，其與物體的形貌有關；ρ0為空氣的密度.為了下面表達方便，用η表示0.5Crρ0S2，即

Fr=ηv2

假定在噴水階段推進器內(nèi)的水做定常流動，則以推進器為參考系(非慣性系)水流的伯努利方程可表示為[9]

(5)

v1S1=v2S2

(6)

其中S1為推進器噴口橫截面積.

在噴水階段，推進器內(nèi)的空氣快速膨脹，因而可視為絕熱過程.假定推進器內(nèi)的空氣為理想氣體，則存在絕熱過程方程

(7)

其中pi和Vi分別表示初始時刻推進器內(nèi)空氣壓強和體積，γ表示氣體摩爾熱容比，C0為一常量，其取決于pi和Vi.

對上述公式進行聯(lián)立求解可以得到噴水階段各運動學參量(如高度h，速度v，加速度a等)隨時間的變化關系.考慮到這些函數(shù)關系的解析表達式很難得到，本文將由初始條件通過數(shù)值迭代計算模擬火箭在噴水階段的運動過程，進而得到每個時刻各運動學參量的值.在數(shù)值計算時，我們依據(jù)推進器內(nèi)的壓強和水柱的高度來判斷噴水階段是否結束.具體地，噴水階段結束的標志為：推進器內(nèi)的壓強大于外界大氣壓，但水柱的高度已為零，或者，水柱的高度不為零，但推進器內(nèi)的壓強開始小于外界大氣壓.

2.2 慣性上升階段

在慣性上升階段，火箭以噴水階段的末速度為初速度繼續(xù)上升直至到達最高點.在此過程中，火箭僅受重力和空氣阻力作用，故有動力學方程

(8)

由式(8)通過積分可以得到速度v隨時間t的變化關系：v=v(t)，再次積分可以得到高度h隨時間t的變化關系：h=h(t)，其中所用到的積分初始條件為：tm時刻火箭的質(zhì)量為m，速度為vm，高度為hm.這里tm為噴水階段所經(jīng)歷的總時間，m，vm和hm則分別表示噴水階段結束時火箭的質(zhì)量、速度和高度.另外，將v=v(t)反代入式(8)也可以得到加速度a隨時間t的變化關系.當火箭飛行到達最高點時速度v= 0，由此利用函數(shù)關系v=v(t)可求出對應時刻T，進而代入函數(shù)關系h=h(t)得到火箭的最大高度hmax=h(T).上述各運動參量在各個時刻的值也通過數(shù)值計算得到.

3 計算結果討論

表1 水火箭模型參數(shù)

圖2(a)、(b)和(c)分別給出了火箭加速度、速度和高度隨時間的演化.由圖2(a)和(b)可以很明顯看出，火箭的運動包含兩個不同的階段，即前面提到的噴水階段和慣性上升階段.在噴水階段，火箭質(zhì)量不斷減小.同時，推進器內(nèi)氣體壓強不斷減小，從而導致火箭噴水速度不斷減小，火箭受到的推力不斷減小.但這并不意味著火箭的加速度也隨時間不斷減小.計算結果表明噴水階段火箭加速度變化比較復雜，且與初始裝水量有關，如圖2(a)中的插圖所示.由圖可以看出：當k比較小時，a隨t單調(diào)增大；當k比較大時，a隨t單調(diào)減??；當k取中等值時，a隨t先減小再增大.關于a隨t的變化可做如下定性理解：當k比較小時，在氣體快速膨脹過程中，氣體壓強減小較慢，因此水流的噴射速度大且減小慢，從而導致火箭質(zhì)量減小快，但推力減小慢，即加速度不斷增大；而當k比較大時，在氣體快速膨脹過程中，氣體壓強減小較快，因此水流的噴射速度小且減小快，從而導致火箭質(zhì)量減小慢，但推力減小快，即加速度不斷減小.特別地，在噴水階段后期，火箭受到的推力有可能小于重力與空氣阻力的合力，從而使加速度出現(xiàn)負值，如圖2(a)插圖中k= 0.8圖線所示.在慣性上升階段，火箭主要受重力和空氣阻力(比較小)的作用，因此火箭加速度維持在-9.8 m/s2(重力加速度)附近.與加速度對應，當k不太大時，火箭速度在噴水階段快速增大并達到最大值，而后在慣性上升階段不斷減??；而當k比較大時，火箭速度在噴水階段先增大然后減小，并在慣性上升階段進一步減小，如圖2(b)所示.在整個上升運動過程中，火箭高度始終隨時間的增大而增大，直至達到最高點，如圖2(c)所示.需要說明的是：由于噴水階段是一個時間極短的過程，因此火箭在此階段上升的高度是非常有限的，火箭的最終高度主要取決于其在慣性上升階段的飛行距離.以圖2中pi=6p0，k=0.4為例，噴水階段時間為0.116 s，火箭上升的高度為1.33 m，而火箭達到最高點所需要的總時間為2.28 s，高度為25.22 m.

圖2 火箭的a,v,h隨t的演化

由圖2可以看出，火箭的噴水時間長短、最大速度以及最大高度均與初始裝水量有關.圖3給出了初始壓強取不同值時，火箭噴水階段所用時間tm隨初始裝水量k的變化.由圖可以看出，對于任意給定的pi，tm總是隨k的增大先增大再減小，且在k=k*時tm達到最大值.這意味著并不是裝水越多噴水時間就越長.火箭停止噴水需滿足下面兩種條件中的一種：(1)推進器內(nèi)的水已噴完；(2)推進器內(nèi)氣體壓強開始小于外界大氣壓，此時推進器內(nèi)仍留有部分水(實際上，在推進器內(nèi)氣體壓強等于外界大氣壓時，推進器內(nèi)的部分水會在重力作用下流出，但此時對火箭沒有推力作用).我們計算發(fā)現(xiàn)：當k≤k*時，火箭停止噴水滿足上述條件(1)，而當k>k*時，火箭停止噴水則滿足上述條件(2)；在k=k*位置，火箭把水噴完時推進器內(nèi)氣體壓強剛好等于外界大氣壓，即

從而導致k*隨pi的增大而增大，如圖3所示.

圖3 初始壓強pi取不同值時，噴水時間tm隨 初始裝水量k的變化

圖4(a)和(b)分別給出了初始壓強pi取不同值時，火箭的最大速度vmax以及最終高度hmax隨初始裝水量k的變化.由圖可以看出：對于任意給定的pi，vmax和hmax隨k的變化滿足相似的規(guī)律，即它們都隨著k的增大先增大再減小，而且總存在一個確定的最佳值k=kc，在此附近vmax和hmax均達到極大值.由前面的結果可知，火箭的加速過程非常短暫，火箭最終達到的高度主要取決于其在減速上升過程中的飛行距離，因此最大速度vmax越大火箭的最終高度hmax也越大.隨著pi的增大，最佳裝水量kc不斷增大，并逐漸趨向于0.5，如圖4(b)插圖所示，這與以往的計算結果一致[6，7].

圖4 初始壓強pi取不同值時，vmax和hmax隨k的變化圖像

4 結論

綜合運用質(zhì)點系動量定理、理想氣體絕熱膨脹、伯努利流體力學方程等理論對水火箭運動進行了理論研究，計算并得到了水火箭運動過程中加速度、速度和高度等運動量隨時間的演化曲線，揭示了水火箭的運動特征；計算并討論了初始裝水量對火箭噴水時間、最大速度和最大高度的影響，發(fā)現(xiàn)最佳裝水量隨初始壓強的增大而增大并最終趨于0.5.研究結果對水火箭的設計及獲得最大發(fā)射高度具有一定的指導意義.

1 王香芝.水火箭研究初探.中學物理教學參考,2002(4):17～17

2 梁法庫,梁帥.可以任意角度發(fā)射的水火箭.物理實驗,2010(10):31～32

3 方紅霞.關于水火箭水平射程的實驗研究.物理實驗,2011(12):17～19

4 汪海.二級加壓水火箭的制作方法.物理實驗,2012(6):23～26

5 宣樹德,顏季州.水火箭的半定量研究和改進.物理通報,1996(9):31～32

6 廖立楊,楊曉冬.對水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究.物理與工程,2016(3):82～86

7 候沐朗.模塊化多級水火箭設計與模擬.兵器裝備工程學報,2016(9):188～192

8 馬文蔚,周雨青.物理學(上).北京:高等教育出版社,2014.65

9 顧書龍.非慣性參照系中的伯努利方程.物理與工程,2003(1):1～3

TheoreticalStudyontheMovementoftheWaterRocket

WangChaoJinYingnanXieMiaoChenYingcai

(PhysicsDepartmentofTaizhouUniversity,Taizhou,Zhejiang318000)

The movement of the water rocket was studied by theoretical analysis and numerical calculation. The characters of the movement process and the effect of the initial water quantity on the squirted time, the maximum velocity and the maximum height were mainly discussed. The results are useful for designing water rocket and obtaining the maximum launch height.

water rocket; movement process; theorem of momentum; optimal water quantity

2016-12-08)