趙志宏，劉桂宏,2，譚現(xiàn)鋒，張平平

(1.清華大學土木工程系，北京 100084；2.中國礦業(yè)大學力學與建筑工程學院，江蘇 徐州 221116；3.中國地質(zhì)大學(武漢)工程學院，湖北 武漢 430074；4.山東省魯北地質(zhì)工程勘察院，山東 德州 253072)

基于等效滲流通道模型的地熱尾水回灌理論模型

趙志宏1，劉桂宏1,2，譚現(xiàn)鋒3,4，張平平4

(1.清華大學土木工程系，北京 100084；2.中國礦業(yè)大學力學與建筑工程學院，江蘇 徐州 221116；3.中國地質(zhì)大學(武漢)工程學院，湖北 武漢 430074；4.山東省魯北地質(zhì)工程勘察院，山東 德州 253072)

深層地熱能是一種清潔環(huán)保的可再生能源，尾水回灌是深層地熱可持續(xù)開發(fā)利用的重要保證，但目前國內(nèi)地熱尾水回灌還處在起步階段，地熱尾水回灌方案優(yōu)化設(shè)計的理論模型尚不成熟。文章結(jié)合示蹤試驗，提出了基于等效滲流通道模型的熱儲參數(shù)反演與開采井熱突破預(yù)測的完整理論框架。應(yīng)用多孔介質(zhì)溶質(zhì)運移理論，修正了等效滲流通道中的溶質(zhì)濃度解析解，并聯(lián)合移動漸近線法提出了熱儲參數(shù)反演理論模型；推導(dǎo)了等效滲流通道中的對流傳熱解析模型，可對開采井中的水溫變化進行預(yù)測。依托山東省德州市平原縣魏莊社區(qū)地熱對井示蹤試驗，應(yīng)用該理論框架進行了示蹤試驗反演及開采井熱突破預(yù)測，并對影響開采井熱突破的主要因素進行了敏感性分析。

尾水回灌；砂巖熱儲；示蹤試驗；參數(shù)反分析；熱突破

深層地熱資源是一種清潔環(huán)保的可再生能源，而地熱尾水回灌是深層地熱可持續(xù)開發(fā)利用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。目前，能準確指導(dǎo)地熱尾水回灌方案優(yōu)化設(shè)計的理論模型尚不成熟，相關(guān)工作多依據(jù)經(jīng)驗進行，故長期尾水回灌造成開采井熱突破的風險較高。準確掌握回灌井與開采井之間的水力連通情況是地熱尾水回灌科學管理的前提，但由于埋深和現(xiàn)場測量困難等限制，直接探明地熱井間的水力連通情況還比較困難?；谑聚櫾囼灥乃牡刭|(zhì)參數(shù)反分析是解決上述問題的有效手段之一，并已在地熱田管理中得到了應(yīng)用[1]。

Axelsson等[2]利用碘化鉀和熒光素鈉在冰島的Laugaland地熱田進行了三次示蹤試驗，采用等效滲流通道模型分析了采灌井之間的連通程度，并對開采井的熱突破以及開采能量進行了預(yù)測。曾梅香等[3]利用碘化鉀和放射性同位素35S在天津市王蘭莊地熱田進行了示蹤試驗，通過分析示蹤劑回收曲線的峰值濃度，計算了回灌流體的“概化”速度，初步判斷了采灌井之間熱儲層的連通性。龐菊梅等[4]利用熒光素鈉在雄縣地熱田進行了示蹤試驗，分析了回灌井與多口開采井之間存在多滲流通道的情況，并對通道距離與滲流速度進行了反分析。李元杰[5]利用鉬酸銨和碘化鉀在北京城區(qū)地熱田進行了示蹤試驗，結(jié)合抽水試驗數(shù)據(jù)，構(gòu)造了高斯-塞德爾迭代公式進行參數(shù)反演計算，并對熱儲溫度場進行了模擬研究。王樹芳等[6]利用熒光素鈉在雄縣地熱田進行了示蹤試驗，計算了示蹤劑在通道中的最大流速以及地熱水的流向，并運用水平裂隙型介質(zhì)模型分析了不同對井間距對熱突破的影響。

以上研究在地熱田示蹤試驗方面積累了豐富的經(jīng)驗，但對于示蹤劑在熱儲滲流通道中的運移規(guī)律及開采井熱突破預(yù)測等理論模型方面的研究尚不完善。本文結(jié)合現(xiàn)場示蹤試驗，提出了基于等效滲流通道模型的熱儲參數(shù)反演與開采井熱突破預(yù)測的完整理論框架。依托山東魯北地質(zhì)工程勘察院在德州市平原縣魏莊社區(qū)的地熱對井系統(tǒng)，應(yīng)用該理論框架對砂巖熱儲地熱尾水回灌進行了示蹤試驗反演及開采井熱突破預(yù)測，并對影響開采井熱突破的主要因素進行了敏感性分析。

1 理論模型

1.1 等效滲流通道模型

等效滲流通道模型假設(shè)地熱對井之間存在若干優(yōu)勢滲透通道，其主導(dǎo)了熱儲中的地熱水滲流(圖1)。優(yōu)勢滲流通道可能是近乎垂直的斷裂帶的一部分，或是水平巖層的一部分，并且優(yōu)勢流動通道內(nèi)的滲流可近似等效為一維達西流[1]。

圖1 等效滲流通道模型示意圖Fig.1 Sketch of the equivalent flow channel model

1.2 溶質(zhì)運移理論

示蹤劑在一維等效滲流通道中的主要運移機理為對流和水動力彌散。若忽略通道與其它熱儲巖石間的擴散過程及通道內(nèi)的橫向水動力彌散作用，等效滲流通道內(nèi)的示蹤劑運移過程可由經(jīng)典的多孔介質(zhì)中對流-擴散方程來描述[7]：

(1)

式中：C——等效滲流通道中的示蹤劑濃度/(kg·m-3)；

t——時間/s；

x——通道軸向坐標/m；

D——通道軸向彌散系數(shù)/(m2·s-1)；

u——通道中的平均流速/(m·s-1)。

在t=0時刻從回灌井瞬時投入質(zhì)量為M的示蹤劑，其他初始條件和邊界條件可以表示為：

C(x,y,t=0)=C0;C(x=0,y,t)=0;

C(x,y=∞,t)=0

(2)

式中：y——通道縱坐標/m。

結(jié)合初始條件和邊界條件，偏微分方程(1)的解為：

(3)

其中：

(4)

D=αLu

(5)

式中：Mc——進入滲流通道中的示蹤劑質(zhì)量/kg；A——滲流通道的截面積/m2；φ——孔隙度；qc——滲流通道中的回灌率/(kg·s-1)；ρ——水的密度/(kg·m-3)；αL——縱向彌散度/m。

考慮到開采井中示蹤劑的質(zhì)量守恒，在開采率為Q(kg·s-1)的情況下，有下列關(guān)系成立：

C(t)·qc=c(t)·Q

(6)

開采井中示蹤劑的濃度表達式為：

(7)

式中：c——開采井中示蹤劑的濃度/(kg·m-3)。

Axelsson[1,8]曾提出過以下相似的表達式：

(8)

但上式左右兩端的量綱不統(tǒng)一。龐菊梅等[7]給出的開采井中示蹤劑濃度表達式為：

(9)

其將式(7)中x/t一項替換成了u，雖然對量綱沒有影響，但式(8)中的x與t均為變量，與通道中的平均流速u不能相互替換。關(guān)于式(7)與式(9)在應(yīng)用方面的具體差別，將在2.2節(jié)中詳述。

如果地熱對井之間存在有n條流動通道，開采井中示蹤劑的濃度表達式為：

(10)

其中：

(11)

(12)

Di=αLiui

(13)

(14)

式中：xi——第i條滲流通道的軸向坐標/m；qi——第i條滲流通道中的回灌率/(kg·s-1)；qin——回灌率/(kg·s-1)；ui——第i條滲流通道中的流速/(m·s-1)；αLi——第i條滲流通道中的縱向彌散度/m；Ai——第i條滲流通道的截面積/m2；Mi——第i條滲流通道中示蹤劑的質(zhì)量/kg。

1.3 反演模型

式(10)中的未知參數(shù)(如通道長度xi、平均流速ui、彌散度αi以及通道截面積Ai等)無法直接測定，需通過示蹤試驗反演求得。本文引入移動近似法(The Method of Moving Asymptotes，MMA)建立熱儲參數(shù)反分析理論框架。目標函數(shù)即原始優(yōu)化問題P可定義為：

Subjectto:h1(x)≥0

(15)

擬合優(yōu)度R2是衡量擬合程度的重要指標，其定義如下[9]：

(16)

其中

(17)

R2的取值范圍為[0,1]，R2的值越接近1，說明擬合程度越好；反之，R2的值越接近0，說明擬合程度越差。

MMA算法由Svanberg提出[10]，特別適合應(yīng)用于多變量的優(yōu)化問題。MMA算法需要先指定優(yōu)化變量的上下界，之后按照如下步驟進行優(yōu)化計算：

①選擇初始計算點x(1)。

②計算在該迭代點處的目標函數(shù)和約束函數(shù)各自的函數(shù)值fi(x(k))和梯度值▽fi(x(k))。

④求解子問題P(k)，并令所得到的最優(yōu)解成為下一個迭代點x(k+1)，然后重復(fù)步驟②～④。

⑤滿足收斂判據(jù)時，迭代停止。計算所得子問題P(k)的最優(yōu)解就是原始問題P的唯一最優(yōu)解。

Svanberg[11]給出了如下收斂判據(jù)的形式：

(18)

其中，ε對于所有的j=1,…,n是一個極小值。

Axelsson[1]曾開發(fā)了基于非線性最小二乘法的示蹤試驗分析軟件TRINV來進行示蹤試驗反分析，但對復(fù)雜問題非線性最小二乘法易出現(xiàn)迭代不收斂的情況，而MMA算法的優(yōu)勢在于可同時優(yōu)化多個變量，對優(yōu)化變量的上下界不敏感，且極少出現(xiàn)迭代不收斂的情況。

1.4 對流傳熱理論

假設(shè)水-巖界面溫度相等，等效滲流通道中的對流換熱控制微分方程為：

(19)

其中：

(ρc)f=ρwcwφ+ρrcr(1-φ)

(20)

式中：T——溫度/℃； (ρc)f——滲流通道中材料的體積熱容/(J·m-3·℃-1)；

kr——熱儲巖石的導(dǎo)熱系數(shù)/(W·m-1·℃-1);

b——滲流通道的寬度/m；

ρw——水的密度/(kg·m-3)；

ρr——熱儲巖石密度/(kg·m-3)；

cw——水的質(zhì)量熱容/(J·kg-1·℃-1)；

cr——熱儲巖石的質(zhì)量熱容/(J·kg-1·℃-1)。

式(19)可進一步化簡為如下形式：

(21)

令

(22)

式中：h——滲流通道的高度/m。

則式(21)可化簡為：

(23)

當h>>b時，初始條件和邊界條件為：

T(x,y,t=0)=T0;T(x=0,y,t)=Tin;

T(x,y=∞,t)=T0

(24)

所以，滲流通道中水的溫度表達式為：

T(x,t)=T0+(Tin-T0)·

(25)

其中，erfc()為誤差補函數(shù)，它與誤差函數(shù)erf()的關(guān)系為：

(26)

所以，式(25)可以寫為

(27)

Axelsson[1,8]等人曾提出過以下相似的表達式：

(28)

其中，α為熱擴散系數(shù)，可具體表示為：

(29)

所以，式(28)最后可以化為：

(30)

筆者認為，(ρc)f表示流動通道中材料的體積熱容，這其中的材料不僅有水，還有多孔的熱儲巖石，因此，kr/(ρc)f這一項其實是考慮了流動通道中材料的熱擴散系數(shù)。而kr/ρrcr只是考慮了熱儲巖石的熱擴散系數(shù)，整個熱儲層是由熱儲巖石和地下水共同組成的，因此，在理論上，考慮整個熱儲層的熱擴散系數(shù)要更嚴謹一些。關(guān)于式(27)和式(30)的具體區(qū)別，將在2.4節(jié)詳述。

考慮到開采率為Q，則在不同時刻開采井中的水溫Tp為：

(31)

如果兩井之間有i條流動通道，則開采井中的水溫Tp可以通過以下表達式計算：

(32)

2 工程實例

2.1 示蹤試驗

試驗場地位于山東省德州市平原縣魏莊社區(qū)，取水層為新近系館陶組熱儲，開采井深1 450 m，回灌井深1 400 m，兩井直線距離231 m。2015年1月20日至3月16日，采用鉬酸銨為示蹤劑在該地熱對井系統(tǒng)開展了示蹤試驗。2015年1月20日在回灌井一次性投入鉬酸銨50 kg，從2015年1月26日起，每天取兩件水樣；隨著時間的推移，取樣頻率逐漸加密，至2月17日，每兩小時取樣一件；后期隨著示蹤劑含量的降低，取樣頻率減小；至2015年3月16日試驗結(jié)束，共收集水樣273件。測試數(shù)據(jù)整理后形成了地熱水中鉬含量與時間關(guān)系散點分布圖(圖2)。鉬元素的濃度峰值大概在750 h左右到達開采井，由于本次試驗是生產(chǎn)性回灌，供暖需于2015年3月15日24點停暖，不再進行地熱回灌試驗，示蹤試驗也到此終止。但至供暖結(jié)束時鉬含量有升高跡象，表明回灌水中鉬酸銨第二次到達了開采井中。

2.2 參數(shù)反演結(jié)果與分析

由鉬元素的兩個濃度峰值推測該地熱對井之間存

圖2 示蹤試驗數(shù)據(jù)和擬合曲線對比圖Fig.2 Profiles showing model data(open circles)for tracer testing and model fits for Eqs. (7) and (9)

在2條優(yōu)勢滲流路徑，參數(shù)反演中設(shè)定的參數(shù)取值范圍如表1所示。分別采用式(7)與式(9)對示蹤試驗結(jié)果進行擬合。綜合表1與圖2可以看出：采用式(7)得到的擬合曲線的擬合優(yōu)度R2=0.613>0.6，擬合程度較好。兩條滲流通道的長度約為241 m和304 m，說明該地熱對井之間存在一條較為直接的滲流路徑和另外一條較為曲折的滲流路徑。長度較大的滲流通道內(nèi)水流速度和彌散度都較小，但通道截面積較大。采用式(9)得到的擬合曲線與采用式(7)得到的擬合曲線相近似，參數(shù)優(yōu)化結(jié)果與式(7)相比，最大差別不超過4%，但計算所得式(9)曲線的擬合優(yōu)度R2=0.577<0.613，這說明式(7)不僅在理論上比式(9)更嚴謹，而且也能更好地用于示蹤試驗反演。

表1 參數(shù)取值范圍及反演結(jié)果Table 1 Best-fit parameters for the equivalent flow channels between geothermal wells

2.3 熱突破預(yù)測結(jié)果與分析

回灌的“冷水”通過滲流通道被加熱，這取決于滲流通道的表面積而不是它們的體積，因此，必須對流動通道的幾何特征做出一定的假設(shè)。考慮到初始條件和邊界條件存在的前提是h>>b，結(jié)合示蹤試驗反分析出的參數(shù)取值，對開采井中水的溫度變化進行預(yù)測，相關(guān)參數(shù)取值如表2所示。

通過分析示蹤試驗數(shù)據(jù)可以得到示蹤劑的回收率Mi/M，計算所得示蹤劑回收率為0.4323%，計算所得開采水溫在100 a內(nèi)的變化情況如圖3所示。本文采用的熱突破定義為：回灌引起開采井水溫降低[8]。示蹤劑回收率較低表明采灌井之間的水力聯(lián)系較差，開采井熱突破時間約為20 a?；谀壳暗难芯款A(yù)測，該地熱對井系統(tǒng)在長期回灌條件下開采水溫降低并不明顯，100 a之后僅降低了0.5 ℃。但是，需指出以上熱突破預(yù)測的正確性還需要結(jié)果開采井水溫的監(jiān)測數(shù)據(jù)進行校正，由于該地熱對井運行時間只有2 a，相關(guān)數(shù)據(jù)很多，這方面的研究留待今后進行。

表2 參數(shù)取值列表Table 2 List of parameter values

圖3 開采井溫度變化曲線Fig.3 Temperature change in the production well

2.4 參數(shù)敏感性分析

為了對比式(27)和式(30)的區(qū)別，同時討論滲流通道寬度b、回灌量q和對井間距x的大小對熱突破的影響程度。下面將用通道1的相關(guān)數(shù)據(jù)對以上參數(shù)進行敏感性分析，為進一步優(yōu)化地熱回灌提供理論依據(jù)。

(1)計算當b取0.1 m、0.3 m、0.5 m，對應(yīng)的h取6.4 m、2.13 m、1.28 m時開采井中溫度的變化情況，結(jié)果見圖4。運用式(27)和式(30)所計算的開采井水溫變化曲線的趨勢基本一致，式(27)所計算的溫度變化幅度略小于式(30)的結(jié)果，最大差值在0.15 ℃左右，但從理論上而言，式(27)比式(30)要更嚴謹一些。此外，還可以看出，隨著b的不斷增大，開采溫度下降幅度越大，這是由于該模型只考慮上下平板的熱傳導(dǎo)作用，當b越大，上下平板的間距就越大，在相同時間內(nèi)通過滲流通道的水被加熱得就越不充分，開采水溫下降的幅度就越大。

圖4 開采井中溫度隨時間變化規(guī)律Fig.4 Prediction of temperature in the production well

(2)開采量保持65 m3/h(18.06 kg/s)不變，回灌量分別取值20 m3/h(5.56 kg/s)、40 m3/h(11.12 kg/s)、60 m3/h(16.68 kg/s)時開采井溫度在10 a內(nèi)的變化曲線如圖5所示。隨著回灌量的不斷增大，開采井溫度下降幅度也在不斷增大(表3)。這是由于采灌井之間流動通道中的回灌水流速大小主要由回灌量大小決定，由式(22)、式(27)可知，在開采量保持不變的情況下，回灌量q越大，則β越大，因此，t就越小，回灌水到達開采井的時間就越短，換熱時間越短，故溫度下降幅度也就越大。

圖5 不同回灌量下開采井溫度變化曲線Fig.5 Changes in temperature in the production well under different reinjection rates

q/(m3·h-1)204060ΔT/℃46110175

(3)開采量保持不變65 m3/h(18.06 kg/s)，回灌量保持20 m3/h(5.56 kg/s)不變，對井間距x分別取值300 m、600 m、900 m時開采井溫度在10 a內(nèi)的變化曲線見圖6。隨著對井間距的不斷增大，開采溫度變化的幅度在不斷減小。根據(jù)式(27)得出，在β保持不變的前提下，x值越大，則t越大，因此，回灌水到達開采井的時間就越慢，在流動通道中被加熱的時間越長，最后開采溫度變化幅度也就越小(表4)。

圖6 不同對井間距下開采溫度變化曲線Fig.6 Changes in temperature in the production well considering different well distances

x/m300600900ΔT/℃422311

3 結(jié)論

(1)示蹤試驗反演分析中得到的擬合優(yōu)度R2=0.613>0.6，說明優(yōu)化結(jié)果的擬合程度較好；運用修正前的公式進行相同的試驗數(shù)據(jù)進行反分析，計算所得的R2=0.577<0.6，說明本文提出的修正模型可更好地運用于示蹤試驗反分析。

(2) 示蹤劑回收率較低表明采灌井之間的水力聯(lián)系較差，本文初步計算開采井熱突破時間約為20 a，但該地熱對井系統(tǒng)在長期回灌條件下開采水溫降低并不明顯。

(3)流通道寬度b越大，開采井溫度下降的幅度就越大，故在熱突破預(yù)測中b的取值要合理；回灌量q越大，回灌地熱尾水到達開采井的時間就越短，開采井地熱水溫度下降的幅度就越大，故在實際工程中砂巖熱儲回灌量不宜過大，可采用“一采兩灌”或“兩采多灌”的砂巖熱儲地熱尾水回灌模式；對井間距x越大，回灌水到達開采井的時間就越長，開采溫度下降的幅度就越小，故在實際工程中應(yīng)盡量設(shè)計較大的采灌井間距。

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責任編輯：汪美華

Theoretical model of geothermal tail water reinjection based onthe equivalent flow channel model

ZHAO Zhihong1，LIU Guihong1,2，TAN Xianfeng3,4，ZHANG Pingping4

(1.TsinghuaUniversity，DepartmentofCivilEngineering，Beijing100084，China；2.ChinaUniversityofMiningandTechnology，SchoolofMechanicsandCivilEngineering，Xuzhou,Jiangsu221116，China；3.ChinaUniversityofGeosciences(Wuhan)，F(xiàn)acultyofEngineering，Wuhan，Hubei430074，China；4.ShandongProvincialLubeiGeo-engineeringExplorationInstitute,Dezhou,Shandong253072，China)

Deep geothermal resources are clean, environmentally friendly and renewable, and geothermal tail water reinjection plays an important role in the sustainable management of deep geothermal reservoirs. However, the progress of geothermal tail water reinjection is slow in China, and theoretical models guiding geothermal tail water reinjection is still under development. Based on tracer tests and equivalent flow channel models, this study proposes a theoretical modeling framework in order to back-calculate the unknown parameters of geothermal reservoirs and predict the thermal breakthrough in the production well. The inverse modeling module combines the analytical solution of the tracer transport equation with the method of moving asymptotes, and an analytical model considering heat advection and transfer can be used to predict the thermal breakthrough in the production well. Based on the results of tracer tests in the double geothermal wells near Dezhou of Shandong, two equivalent flow channels were determined and their average flow velocity, dispersion coefficient, section area and channel length are estimated by using this theoretical framework. The possible thermal breakthrough in the production well and its main influencing factors are also discussed.

tail water reinjection; sandstone reservoir; tracer test; inverse modelling; thermal breakthrough

2016-05-26;

2016-07-28

國家自然科學基金項目(51509138)；北京市自然科學基金項目(8152020)；北京市優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助(201400002012G115)

趙志宏(1983-)，男，博士，講師，主要從事巖石力學與地下工程方面的研究與教學工作。E-mail：zhzhao@tsinghua.edu.cn

譚現(xiàn)鋒(1977-)，男，研究員，在職博士研究生，主要從事地熱、巖鹽、頁巖氣、干熱巖的勘探開發(fā)及相關(guān)研究工作。E-mail：geotan1977@126.com

10.16030/j.cnki.issn.1000-3665.2017.03.23

P314.1

A

1000-3665(2017)03-0158-07